58 Управляемость и наблюдаемость дискретных систем
Понятия управляемости и наблюдаемости дискретных систем аналогичны понятиям, рассмотренным для непрерывных систем (см. разд. 9.8, ч.1 ЭУМК). Дискретная система, описываемая уравнениями (6.5), называется полностью управляемой, если для моментов времени t(0) и t(l) и состояниях x(t0) и
x(tl) существует управление v(k), причем
0 £ k £ l , переводящее начальное со-
стояние x(t0 ) в конечное x(tl ).
Критерий управляемости связан с невырожденностью матрицы управля-
емости |
é |
n-1 |
ù |
. Для системы с одним входом и одним выходом |
|
K y = ëBMABMLMA |
|
Bû |
|||
критерий управляемости сводится к условию: |
|
||||
|
|
|
|
det K y ¹ 0 . |
(6.23) |
Это можно доказать, воспользовавшись формулой (6.8). Приняв момент времени l = n , найдем
x(n) = An x (0) + An-1Bv(0) + ... + Bv(n -1) .
Соотношение можно представить в виде:
|
|
|
|
|
|
év(n -1)ù |
|
|
||
|
|
|
x(n) = An x(0) + éBMABMLMAn-1Bù |
êêv(n - 2)úú. |
|
|
||||
|
|
|
|
ë |
û |
ê ... |
|
ú |
|
|
|
|
|
|
|
|
êê v(0) |
úú |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ë |
|
û |
|
|
Из последнего выражения получаем: |
|
|
|
|
|
|
||||
év(n -1) |
ù |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ê |
ú |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
êv(n - 2) |
ú |
= éBMABMLMAn-1Bù |
-1 éx(n) - An x(0) |
ù = K y -1 |
éx(n) - |
An x(0) |
ù |
, |
||
ê ....... |
ú |
ë |
û |
ë |
û |
ë |
|
|
û |
|
ê |
ú |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ë v(0) |
û |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а это возможно, когда det K y |
¹ 0, поскольку K y -1 = |
1 |
K yпр . |
|
|
|||||
det K y |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.24)
(6.25)
(6.26)
Дискретная система, называется полностью наблюдаемой, если в момент наблюдения t = t(l) по данным измерения y(tl) и известным значениям v(tl) можно восстановить вектор состояния в момент k = 0. Поскольку наблюдаемость не зависит от входной переменной, можно рассматривать систему как автономную, т.е. (6.8) представить в виде:
X(n) = AnX(0). |
(6.27) |
Критерий наблюдаемости связан с невырожденностью матрицы наблю-
даемости |
K |
é |
T |
Н = ëC |
|
рий имеет вид:
T |
T |
T |
n-1 |
T ù |
Для одномерной системы этот крите- |
|
MA C |
|
MLM(A ) |
C |
û. |
||
|
|
|
det KН ¹ 0. |
(6.28) |
||
Положив l = n -1 и учитывая (6.27), найдем значения y(0), ..., y(n -1) : y(0) = C T x(0), y(1) = C T Ax(0),..., y(n -1) = C T An-1 x(0),
или в компактном виде:
é |
y(0) |
ù |
|
|
|
|
ê |
y(1) |
ú |
|
|
|
|
ê |
ú |
= éCT |
MCT AT |
MLMCT (AT )n-1 ù x(0)=K |
Н x(0) . |
|
ê ....... |
ú |
ë |
|
û |
|
|
ê |
|
ú |
|
|
|
|
ë y(n -1) |
û |
|
|
|
|
|
Если матрица KН |
обратима (det KН ¹ 0), то можно найти |
|||||
|
|
é |
y(0) |
ù |
|
|
ê |
y(1) |
ú |
x(0) = K |
Н |
-1 ê |
ú. |
|
|
ê ....... |
ú |
||
|
|
ê |
|
ú |
|
|
ëy(n -1) |
û |
|
(6.29)
(6.30)