6. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ В ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЯ
55. Уравнения состояния дискретных систем и схемы моделирования
Пусть дискретная система описывается разностным уравнением:
y(k) = 0,5v(k -1) + 0,3v(k - 2) +1,5 y(k -1) - 0,5 y(k - 2) , |
(6.1) |
где v(k) – входной сигнал системы, а y(k) – её выходная координата. Подвергнув это уравнение z-преобразованию, получим дискретную пере-
даточную функцию
K (z) = |
Y (z) |
= |
0,5z-1 |
+ 0,3z-2 |
= |
|
0,5z + 0,3 |
. |
(6.2) |
|
|
|
z2 |
-1,5z + 0,5 |
|||||
|
V (z) 1 -1,5z-1 + 0,5z-2 |
|
|
|
|||||
Разностному уравнению (6.1) или передаточной функции (6.2) могут соответствовать различные схемы моделирования (см. раздел 2.5). Одна из них приведена на рис. 6.1.
V (z) |
T |
|
0,5 |
|
Y (z) |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
T |
0,3 |
+ å |
T |
T |
|
|
|||
|
|
|
--
-1,5 |
0,5 |
Рис.6.1. Схема моделирования дискретной передаточной функции
Чтобы изобразить модель в переменных состояния системы, описываемой разностным уравнением (6.1), примем за переменную состояния выход каждого элемента задержки T . В нашем случае система имеет второй порядок, поэтому переменных состояния две: x1(k) и x2(k). Тогда схема моделирования может иметь вид рис. 6.2.
0,5
+
v(k) |
|
|
|
x2 (k) |
T |
x1 (k) |
|
+ |
å |
y(k) |
å |
|
T |
0,3 |
|||||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
--
-1,5
0,5
Рис. 6.2. Схема моделирования разностного уравнения в переменных состояния
В соответствии с этой схемой и с учетом того, что входы элементов задержки будут описаны как x1(k + 1) и x2(k + 1), уравнения состояния можно записать в виде:
ìïx1 (k +1) = x2 (k),
íx2 (k +1) = -0,5x1 (k) +1,5x2 (k) + v(k), ïîy(k) = 0,3x1 (k) + 0,5x2 (k).
В векторно-матричной форме получим:
ìéx (k +1) |
ù |
é 0 |
1 ù é x (k) ù é0ù |
|||
ï |
ê 1 |
ú |
= ê |
ú ê |
1 |
ú + ê úv(k), |
ïëx2 (k +1) |
û |
ë-0,5 1,5û ëx2 (k)û ë1û |
||||
í |
|
|
é x1 (k) ù |
|
|
|
ï |
|
|
|
|
||
ïy(k) = [0,3 |
0,5]ê |
ú. |
|
|
||
î |
|
|
ëx2 |
(k)û |
|
|
Окончательно в компактном виде:
{X (k +1) = AX (k) + Bv(k), y(k) = CX (k ).
(6.3)
(6.4)
(6.5)
Распространив эти рассуждения на самый общий случай, уравнения в переменных состояния записывают в виде:
ìX (k +1) |
= AX (k ) + BV (k ), |
|
ï |
|
(6.6) |
ïíY (k ) = CX (k ) + DV (k ), |
||
î |
|
|
где матрицы A – основная, B – входа, C – выхода, D – связи имеют размерности, как и в непрерывных системах, соответственно n ´ n, n ´ m, p ´ n, p ´ m. В реальных системах матрица связи D обычно равна нулю, поэтому в дальнейшем ее учитывать не будем.