39 Модальный метод синтеза (метод размещения полюсов)
Рассмотрим САУ с одним входом и одним выходом, будем считать v = 0. Пусть модель объекта имеет вид
X& = AX + Bu,
(9.19)
y = CX .
При этом методе синтеза закон управления выражается формулой
u = -KX , |
(9.20) |
где K -вектор коэффициентов [k1 k2 K kn ]. Структура замкнутой САУ приведена на рис. 9.10.
v = 0 + |
å |
u |
|
|
|
Oбъект |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|||
--- |
|
|
|
x |
|
|
||
|
n ggg x2 x1 |
|
||||||
kn |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k1
Рис. 9.10
Так как v = 0, то назначение САУ поддерживать значение y = 0. САУ называют регулятором состояния.
Рассмотрим пример спутника (рис. 9.11) с передаточной функцией
Такую
1
s2
[6].
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C путник |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v = 0 + |
|
|
|
u |
1 |
|
|
x2 |
|
1 |
|
x1 y |
||
|
å |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
||
|
- |
|
|
s |
|
|
|
|||||||
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
k2
k1
Рис. 9.11
Модель объекта (спутника) будет иметь вид |
|
|
|
|
|
|||||||
|
ìx&1 = x2 |
или |
& |
é0 |
1ù |
|
é0ù |
|
||||
|
í |
= u |
X = ê |
|
ú X + ê |
úu. |
|
|||||
|
îx&2 |
|
|
ë0 |
0û |
|
ë1û |
|
||||
Для замкнутой САУ, где u = -KX , имеем |
|
|
|
|
|
|
||||||
ìx&1 = x2 |
|
или |
& |
é 0 |
1 |
|
ù |
X = A3 X , |
(9.21) |
|||
íx& |
= -k x - k x |
X |
= ê |
-k |
-k |
2 |
ú |
|||||
î 2 |
1 1 |
2 2 |
|
|
ë |
|
1 |
|
û |
|
|
|
где A3 - матрица коэффициентов замкнутой САУ. Характеристическое уравнение замкнутой САУ имеет вид
|
lE - A |
|
= |
l |
-1 |
= l2 + k |
l + k = 0. |
(9.22) |
|
|
|||||||
|
3 |
|
|
k1 |
l + k2 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пусть корни его будут -l1 и -l2 , тогда характеристическое уравнение |
||||||||
желаемой замкнутой системы имеет вид |
|
|
||||||
D |
Ж |
(l) = l2 + (l + l |
2 |
)l + l l |
2 |
= 0. |
(9.23) |
||||||||
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|||||||||
Синтез системы заключается в выборе k1 и k2 в (9.22), которые бы соот- |
|||||||||||||||
ветствовали коэффициентам уравнения (9.23), т. е. : |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
k1 = l1l2 , |
|
|
(9.24) |
||||||
|
|
|
|
k2 = l1 + l2 . |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Рассмотрим общий принцип синтеза САУ. |
|
|
|
||||||||||||
Пусть |
|
|
|
X = AX + Bu, |
|
|
(9.25) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
u = -KX , K = [k1 k2 Kkn ] . |
|
(9.26) |
||||||||||||
Подставляя (9.26) в (9.25), получим |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
X = AX - BKX = (A - BK )X = A3 X . |
(9.27) |
||||||||||||||
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Характеристическое уравнение замкнутой САУ имеет вид |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
lE - A3 |
|
= |
|
lE - A + BK |
|
= 0. |
(9.28) |
||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Если корни -l1, - l2 , |
K, - ln , то желаемое характеристическое уравне- |
||||||||||||||
ние замкнутой САУ будет иметь вид |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
DЖ (l) = (l + l1)(l + l2 )K(l + ln ) = ln + a1ln-1 +K+ an = 0. |
(9.29) |
||||||||||||||
Приравнивая (9.28) и (9.29), имеем |
|
lE - A + BK = ln + a1ln-1 +K+ an . |
(9.30) |
В этом уравнении n неизвестных (k1, k2 ,K, kn ), но они могут быть найдены путем приравнивания коэффициентов при l в одинаковых степенях.
Пусть передаточная функция объекта будет иметь вид
W |
(s) = |
b0 sn-1 + b1sn-2 +K+ bn-1 |
, a |
=1. |
(9.31) |
||
|
|||||||
0 |
|
sn + a sn-1 |
+K+ a |
0 |
|
|
|
|
1 |
|
n |
|
|
||
Уравнения состояния при y = x1 , x2 = y&, x3 = &&y,K имеют вид
|
é |
0 |
1 |
|
0 |
|
|
L |
0 |
ù |
|
|
ê |
0 |
0 |
|
1 |
|
|
L |
0 |
ú |
|
& |
ê |
|
|
|
ú |
|
|||||
ê |
M |
M |
|
M |
|
|
M |
M |
ú |
X |
|
X = |
ê |
|
|
|
ú |
||||||
|
0 |
0 |
|
0 |
|
|
L |
1 |
|
||
|
ê |
|
|
|
ú |
|
|||||
|
ê-a |
-a |
- |
-a |
- |
2 |
L |
-a |
ú |
|
|
|
ë |
n |
n 1 |
n |
|
1 |
û |
|
|||
|
é0ù |
|
|
|
|
|
ê |
ú |
|
|
|
|
ê0ú |
v, y = [bn-1 |
bn-2 K b0 ]X . |
(9.32) |
|
+ |
ê |
ú |
|||
M |
ú |
|
|||
|
ê |
|
|
|
|
|
ê0ú |
|
|
|
|
|
ê1 |
ú |
|
|
|
|
ë |
û |
|
|
|
Матрица A является фробениусовой, а уравнение объекта соответствует нормальной форме.
При |
законе |
модального |
уравнения |
u = -KX |
для |
|
замкнутой |
САУ в |
||||||
|
|
|
|
|
é0ù |
|
|
é 0 |
0 |
L 0 ù |
|
|||
|
|
|
|
|
ê |
ú |
|
|
|
|||||
матрице |
A - BK |
член |
BK = ê0 |
ú |
[k1 |
k2 |
K kn ] =êê M |
M |
M úú. |
Матрица |
||||
|
|
|
|
|
êMú |
|
|
êk |
k |
2 |
k ú |
|
||
|
|
|
|
|
ê |
ú |
|
|
ë |
1 |
|
n û |
|
|
|
|
|
|
|
ë1 |
û |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
é |
0 |
1 |
0 |
L |
|
0 |
ù |
|
|
|
|
|
|
|
ê |
0 |
0 |
1 |
L |
|
0 |
ú |
|
|
|
|
|
|
A = A -BK =ê |
|
ú. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3 |
ê |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
1 |
ú |
|
|
|
|
|
|
ê |
|
L L L -a1 |
|
ú |
|
|
|
|
|
||||
|
ë-an - k1 |
- kn û |
|
|
|
|
|
|||||||
Характеристическое уравнение замкнутой САУ имеет вид
[lE - A + BK ] = ln + (a1 + kn )ln-1 +K+ (an-1 + k2 )l + (an + k1) = 0.
Желаемое характеристическое уравнение замкнутой САУ будет
DЖ (l) = ln + a1ln-1 +K+ an = 0.
Из двух последних уравнений следует:
a |
= a |
+ k , откуда k = a |
- a ;ü |
|
|||
n |
n |
1 |
1 |
n |
n |
ï |
(9.33) |
LLLLL LLL LLLLL |
ý. |
||||||
a = a + k |
, откуда k |
= a - a . |
ï |
|
|||
1 |
1 |
n |
n |
1 |
1 |
þ |
|
Последняя система представляет собой общее решение задачи синтеза путём размещения полюсов для САУ с одним входом и одним выходом, но для этого исходная модель САУ должна быть в нормальной форме (матрица A -фробениусова).
Аккерман [6] предложил формулу, которая позволяет перейти от произвольной формы уравнений состояния к нормальной, затем найти ki , а потом перейти к исходной структуре.
Формула Аккермана имеет вид
|
[ |
|
|
é |
|
n-2 |
n-1 |
|
ù |
-1 |
Ж |
|
K = |
0 |
0 |
]ë |
B |
AB K A B |
A |
B |
û |
D |
(A), (9.34) |
||
|
K 0 1 |
|
|
где DЖ (A) - матричный полином, образованный путём использования коэффициентов желаемого характеристического уравнения
DЖ (A) = An + a1 An-1 +K+ an-1 A + an E. |
(9.35) |
Последние выражения (при n > 3 ) рассчитываются на компьютере.