25. Установившиеся ошибки при произвольном входном сигнале
Обозначим весовую функцию замкнутой системы по ошибке через
je (t) = L-1{Fe (s)}. Тогда соотношению E(s) = Fe (s)V (s) во временной области
t
будет соответствовать свертка e(t) = òje (t - t)v(t)dt.
0
Так как нас интересует установившаяся ошибка после затухания переходной составляющей, то отнесем нижний предел интегрирования, соответствующий моменту подачи входного сигнала, в - ¥. В этом случае получим выражение, справедливое для установившегося значения сигнала ошибки:
|
|
y |
|
t |
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
(t) = |
ò |
|
-)tv( )td .t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
j(t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
-¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заменив переменную интегрирования t - t = |
t |
, получим |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ey (t) = òje ( |
t |
)v(t - |
t |
)d |
t |
. |
|
(6.7) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полагая функцию v(t) |
аналитической, |
разложим ее в ряд Тейлора при |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
|
t |
|
|
(2) |
|
|
(- |
t |
)i |
|
(i) |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
t = 0 : |
v(t - t) = v(t)- tv |
(t)+ |
|
|
v |
(t)+ ...+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
(t)+ ... |
и подставим по- |
||||||||||||
|
2! |
|
|
i! |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
лученный ряд в (6.7). В результате получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ey (t) = c0v(t) + c1v(1) (t) +... + |
(ci ) |
v(i ) (t) +..., |
(6.8) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i! |
|
|
|
|
|||||||
¥
где коэффициенты ci определяются выражением ci = ò(-t)i je ( t)d t .
0
Так как передаточная функция замкнутой системы по ошибке есть прямое
¥
преобразование Лапласа от весовой функции Fe (s) = òje ( t)e-std t , то очевид-
но соотношение |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
d i Fe |
|
|
|
|
|
|
ci |
= |
(s) |
|
. |
(6.9) |
||
|
|||||||
dsi |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
s = 0 |
|
|
Коэффициенты ci носят название коэффициентов ошибок и характеризуют, с каким весом функция v(t) и ее производные входят в общее выражение для установившейся ошибки (6.8). Если входной сигнал изменяется достаточно медленно, то в выражении (6.8) можно ограничиться конечным числом членов ряда.
Если W (s) = |
KN (s) |
, |
то |
Fe (s) = |
|
1 |
|
= |
|
sn L0 (s) |
. В статиче- |
|||||||||
|
+W (s) |
|
n |
(s) + KN (s) |
||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
|
sn L (s) |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
s L0 |
|
|||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ской системе n = 0 и c0 = Fe (0) = |
|
, для системы с астатизмом первого |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
sL0 (s) |
1 + K |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
порядка имеем Fe |
(s) = |
|
|
|
|
|
и c0 = Fe (0) = 0 , а |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
KN (s) + sL0 (s) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
d |
|
é |
|
|
L0 (s) |
ù |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
c = |
|
ês |
|
|
ú |
|
|
= |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
1 |
|
ds |
ê KN |
(s) + sL (s) |
ú |
s = 0 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
ë |
|
|
|
|
|
0 |
û |
|
|
|
|
|||
= |
|
|
L0 (s) |
|
|
+ s |
d |
|
|
é |
|
|
|
L0 (s) |
ù |
|
|
= |
1 |
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
s = 0 |
|
|
|
ê |
|
|
|
|
|
ú |
|
s = 0 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
KN (s) + sL (s) |
|
ds |
êKN (s) + sL (s) ú |
|
|
K |
|
||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
ë |
|
|
|
0 |
û |
|
|
|
|
|
|
Аналогично можно показать, что для астатической системы с астатизмом |
||||||||||||||||||||||
n -го порядка c |
0 |
= c = ... = c |
v -1 |
= 0 , c |
v |
= |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
K |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Коэффициент c0 называют коэффициентом статической ошибки, c1 – ко- |
||||||||||||||||||||||
эффициентом скоростной ошибки, c2 |
|
|
– коэффициентом ошибки по ускоре- |
|||||||||||||||||||
нию. Из (6.8) следует, что если v(t) = v0 |
= const , то ey |
= c0v0 , если v(t) = v1t , |
||||||||||||||||||||
то ey = c0v1t + c1v1 .
В общем случае формула (6.9) редко используется для вычисления ci . На
практике применяется другой способ. Разложим передаточную функцию Fe (s) в ряд Маклорена при s = 0:
F |
|
(s) = F |
|
(0) + |
dFe |
|
|
|
× s + ... = c |
|
+ c s + |
1 |
c |
|
s 2 |
+ ... + |
1 |
c |
si + .... |
(6.10) |
||||||
|
|
ds |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
e |
|
e |
|
s = 0 |
|
|
|
|
0 |
1 |
2! |
2 |
|
|
i! i |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sv L |
(s) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
С другой стороны, так как Fe (s) = |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
есть отношение поли- |
||||||||||||||||
|
KN (s) + sv L |
|
(s) |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||
номов, то деля полином числителя на полином знаменателя, получим ряд |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
F |
e |
(s) = a |
0 |
+ a s + ... + a |
si |
+ ... . |
|
|
|
(6.11) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях s в (6.10), (6.11), |
||||||||||||||||||||||||||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ci |
= i!ai . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.12) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Величина коэффициентов ошибок в конечном итоге определяет величину ошибки в системе. Из изложенного выше вновь следует, что величины ci бу-
дут тем меньше, чем выше порядок астатизма системы и чем больше величина коэффициента усиления К разомкнутой системы.