41. Решетчатые функции и разностные уравнения

Под решетчатыми (рис. 2.2) понимают функции дискретного аргумента, определяемые в дискретные промежутки времени kT, где k = 0, 1, 2, 3, …, а T – период дискретизации:

Значения дискретной функции в моменты t = kT называют дискретами. Употребляют и смещенные решетчатые функции f (kT ,T ) или f (k,e) , где

Рис. 2.2. Непрерывная функция – а, решетчатая функция – б, смещенная решетчатая функция – в

Надо иметь ввиду, что по непрерывной функции легко находится решетчатая. Обратная же задача, т.е. формирование по решетчатой функции непрерывной – неоднозначна, т.к. неизвестны промежуточные значения решетчатой функции.

Аналог первой производной непрерывной функции для решетчатой функции есть первая разность (разность 1-го порядка) (рис. 2.3.):

f (k)

Df (k )

Рис. 2.3. Определение разности решетчатой функции

Вторая разность представляется в следующем виде:

D2 f (k) = Df (k +1) - Df (k) = f (k + 2) - f (k +1) -{ f (k +1) - f (k)} =

= f(k + 2) – 2f(k + 1) + f(k),

n-ая разность

Выражение, связывающее решетчатую функцию и ее разности на выходе дискретного устройства и на его входе, называют уравнением в конечных разностях. Для устройства n -го порядка это уравнение в общем виде может быть записано так:

a 0Dn y(k) + a 1Dn-1 y(k) + ... + a n y(k) = b 0Dmv(k)+b 1Dm-1v(k) + ... + b mv(k), (2.7)

где m < n, y(k) – сигнал выхода, v(k) – сигнал входа устройства.

В рекуррентном виде (при переходе от конечных разностей к значениям решетчатых функций) получают разностные уравнения вида (2.8):

a0 y(k + n) + a1 y(k + n -1) + ... + an y(k) = b0v(k + m) + b1v(k + m -1) +... + bmv(k) , (2.8)

42. Дискретное преобразование Лапласа и его свойства

Аналогом преобразования Лапласа для непрерывных функций f(t) является дискретное преобразование Лапласа для решетчатых функций f(k).

Прямое дискретное преобразование

k =0

обратное дискретное преобразование

где F*(s) называют изображением решетчатой функции f(k), а функцию f(k) – оригиналом.

В выражениях (2.9), (2.10) s – комплексная переменная, c – абсцисса аб-

солютной сходимости, w 0= 2p – частота дискретизации.

T

В символической записи формулы (2.9), (2.10) представляют в виде:

Чтобы избавиться от нерациональности функции F*(s) из-за наличия множителя esT, её преобразуют в рациональную путём замены переменных по формуле

При использовании в теории дискретных систем z-преобразования следует помнить, что z-преобразование выходного сигнала линейной сиcтемы определяет значения временной функции только в момент квантования (т.е. не содержит информацию о значениях функции между моментами квантования).

Кроме того, передаточная функция непрерывной системы должна иметь количество полюсов, по крайней мере, на один большее, чем количество нулей, что в реальных системах практически всегда выполняется.

Для перехода к z-преобразованию используют специальные таблицы. Привёдем наиболее часто используемые преобразования (табл. 2.1.).

Таблица 2.1 – Преобразование Лапласа и z–преобразование

Отметим основные свойства z-преобразования.

Свойство линейности

Теоремы сдвига (упреждения и запаздывания)

Упреждение иллюстрируется рис. 2.4. и вычисляется по формуле:

Рис. 2.4. К теореме об упреждении

17

Рис. 2.5. К теореме запаздывания

Изображение разностей

При нулевых начальных условиях

Z {Df (k )} = Z { f (k +1)}- Z { f (k )} = zF (z )- F (z ) = (z -1)F (z ). (2.22)

в) Пусть F(z)= A(z) степень числителя равна степени знаменателя, тогда

B(z)

разделив A(z) на B(z) получим

F (z ) = f (0) + A0 (z ) ,

B (z )

т.е. приходим к случаю б).

В общем случае (в том числе при кратных корнях) можно воспользоваться методом разложения F(z) на простые дроби.

Разложение в ряд Лорана

¥

Так как F (z ) = å f (k) z-k = f (0) + f (1) z-1 + f (2) z-2 +..., то разложив F(z)

k=0

вряд Лорана по убывающим степеням z путем деления числителя F(z) на зна-

менатель, получим F (z)= c0 + c1z -1 + c2 z -2 + .... Сравнив два ряда, имеем