Практическое занятие №4

1. В качестве упражнения выведите график экспоненты Ae^-bt (b > 0) и продемонстрируйте, что последний отличается от приведенного выше только масштабами по осям координат. Качественное изменение графика экспоненты происходит только с изменением знака показателя экспонентыb. Убедитесь в этом, построив график функцииe^t.

2. Напишите функцию для формирования синусоиды дискретного времени с произвольными параметрами (амплитудой, частотой, сдвигом фазы, интервалом квантования, начальное и конечное значения интервала представления). Протокол работы по созданию данной функции и результатов тестирования оформите с использованием ПППNotebook.

3. Изучите поведение функцииAe^-btsin(t + ) при различных значениях параметров и составьте оформите с использованием ПППNotebook.

Основные характеристики линейных систем управления Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения и собственные колебания системы

Линейное дифференциальное уравнение n-го порядка

a_nx⁽ⁿ⁾ + a_n-1x^(n-1) +…+ a₁x⁽¹⁾ + a₀x = b_my^(m) + b_m-1y^(m-1) + …+ b₁y^' + b₀y (1)

является базовой математической моделью теории автоматического регулирования и управления. В некоторых случаях можно считать, что поведение системы управления описывается уравнением такого вида. В теории дифференциальных уравнений хорошо известны все свойства решения данного уравнения. Под решением данного уравнения понимается выражение функции времени x(t), которое ему удовлетворяет. При этом функция y = y(t) считается заданной.

Как известно, решение данного уравнения имеет вид:

x(t) = x₀(t) + x₁(t),

где

x₀(t) - решение однородного уравнения

a_nx⁽ⁿ⁾+a_n-1x^(n-1)+…+a₁x⁽¹⁾+a₀x = 0, (2)

описывающего собственные колебания системы;

x₁(t) - частное решение неоднородного уравнения (1).

Общее решение однородного уравнения (2) имеет вид:

, (3)

где

_i - корни характеристического уравнения

a_nⁿ + a_n-1^n-1 + … + a₁ + a₀ = 0, (4)

C_i - произвольные постоянные.

Строго говоря, общее решение уравнения (2) имеет указанный вид только в случае различных корней характеристического уравнения, но других случаев мы не будем рассматривать.

Выражение (3) является общим решением уравнения (2), но собственные колебания соответствующей системы описываются выражением (3) при конкретных значениях коэффициентов C_i. Они могут быть определены многими способами. Чаще всего эти постоянные определяются из начальных условий. Начальными условиями (для собственных колебаний) являются значения процесса x(t) его производных в нулевой момент времени. Дифференцируя выражение (3) в нулевой момент времени можно получить систему уравнений для определения постоянных C_i.

C₁ + C₂ + … + C_n = x(0)

C₁₁+ C₂₂+ … + C_n_n= x'(0) (5)

………………………………

C₁(₁)^n-1 + C₂(₂)^n-1+ … + C_n(_n)^n-1= x^(n-1)(0)

Данная система уравнений имеет специальный вид, который позволяет получить ее решение сравнительно простыми методами. Однако в нашем случае (при выполнении практических занятий) можно применить общие методы решения систем линейных уравнений для получения практических навыков в этом важнейшем разделе вычислительной математики.

Итак, для нахождения решения однородного дифференциального уравнения необходимо овладеть методами решения двух задач: нахождение корней характеристического уравнения (полинома n-й степени) и нахождения решения системы n линейных уравнений. Каждая из этих задач настолько часто встречается в практике вычислений, что для их решения уже давно разработаны соответствующие программы. Некоторые из них включены в систему MATLAB.

Дадим краткое описание их, следуя обозначениям именно этой системы.

Для вычисления корней полинома a_nⁿ+a_n-1^n-1+…+a₁+a₀ используется функция roots(a). Входным параметром является вектор-строка коэффициентов полинома, упорядоченных по убыванию степеней. Данная функция возвращает вектор-столбец, содержащий все корни полинома (в том числе и комплексные).

Для решения систем линейных уравнений существует большое число функций, наиболее простым из которых придана операторная форма. Например, в документации определены операторы деления (левого и правого). С использованием этих операторов решение матричного уравнения AX = B, где X – столбец неизвестных, B - столбец свободных членов, A - матрица связи, записывается в виде X = B\A. Здесь используется левое деление.

Для решения уравнения XA = B, где X – строка неизвестных, B - строка свободных членов и A - матрица связи, используется правое деление и решение записывается в виде X = B/A. Две эти формы систем уравнений эквивалентны. Одна из них получается из второй транспонированием. В теоретических рассуждения, как правило, неизвестные располагаются в столбец, а в практических вычислениях – в строку.

В теоретических рассуждениях решение уравнения AX = B обычно записывается в виде X = A^-1B, где A^-1 - результат обращения матрицы А. Однако для фактического решения системы линейных уравнений обращение матрицы не используется по одной простой причине: обращение матрицы намного более трудоемкая операция, чем непосредственное решение системы линейных уравнений. И все же в наших примерах мы будем иногда пользоваться обращением матрицы при решении системы линейных уравнений. Причина заключается в том, что в той конкретной версии системы MATLAB, которой пользовался автор этих строк при написании примеров, оператор левого деления реализован ненадежно (или его описание не соответствует реализации). В соответствии с синтаксисом языка MATLAB выражение обратной матрицы А имеет вид A^-1. Именно эта конструкция и встретится в тексте примера.

Пример. Определим собственные колебания системы регулирования, описываемой дифференциальным уравнением второго порядка

x" + 0.2x' + 0.02x = 0

с начальными условиями: x(0) = x₀ = 0.1, x'(0) = x'₀ = 0.01.

Коэффициенты уравнения: a₂ = 1, a₁ = 0.2, a₀ = 0.02.

Приведем последовательность операторов и результат вычислений.

A=[1,0.2,0.02]; Alph=roots(A)

D=[1,1;Alph(1),Alph(2)];

B=[0.1; 0.01];

C=D^-1*B

t=0:2:80;

x0=C(1)*exp(Alph(1)*t)+C(2)*exp(Alph(2)*t);

plot(t,x0);

grid;

Alph =

-0.1000 + 0.1000i

-0.1000 - 0.1000i

C =

0.0500 - 0.1000i

0.0500 + 0.1000i

Warning: Imaginary parts of complex X and/or Y arguments ignored.

В данном примере заблокирован вывод числовой информации. Желательно вывести и осмыслить все промежуточные результаты. Вы увидите, что корни и постоянные С в выражении решения (3) принимают комплексные (комплексно сопряженные) значения.

Поступая аналогично, можно получить решение однородного уравнения любого порядка. Однако, не представляя характер поведения каждого отдельного слагаемого в выражении (3), трудно представить качественную картину решения этого уравнения, т.е. характер собственных колебаний системы, описываемой этим уравнением.

При действительных значениях корней характеристического уравнения коэффициенты C_i также действительные. Представление о графике каждого отдельного слагаемого элементарно и суммирование графиков имеет простую геометрическую интерпретацию. Эти графики, кстати, рассматривались нами выше в разделе Notebook. В случае комплексных корней каждое отдельное слагаемое выражения (3) является комплексной функцией, которая имеет действительную и мнимую составляющую. Это затрудняет геометрическую интерпретацию суммы графиков комплексных функций. К счастью, имеется возможность представить общее решение (3) в виде суммы функций действительного аргумента с действительными же коэффициентами.

Корни полинома с действительными коэффициентами могут быть действительными или комплексно-сопряженными. Полином n-й степени имеет n корней. Без ограничения общности можно считать, что первые q из них действительные, а остальные – комплексные. Последние могут быть разбиты на пары комплексно сопряженных корней. Пусть имеется k таких пар. n=q+2k.

Каждая пара слагаемых решения (3) с комплексно-сопряженными корнями (и комплексно-сопряженными коэффициентами) может быть преобразована к более простому виду. Для этого достаточно воспользоваться формулой Эйлера

.

Используя это равенство, преобразуем пару слагаемых с комплексно-сопряженными корнями ₁ = -h + j, ₂ = -h - j к виду:

.

Учитывая, что коэффициенты C₁ и C₂ также комплексно-сопряженные (C₁ = a – jb, C₂ = a + jb), последнее выражение можно привести к виду:

Dcost +Bsint.

Здесь D = 2a = Re(₁) = Re(₂), B = 2b = Im(₁) = Im(₂). Другими словами, коэффициенты A, B – действительные числа и, следовательно, не только сумма

Dcost +Bsint, но каждое из этих двух слагаемых – действительные функции.

На основании сказанного можно представить общее решение однородного уравнения в виде

. (6)

Используя известное выражение синуса суммы двух углов, последнее выражение можно записать также в виде:

, (7)

где .

В последних выражениях нет комплексных параметров, а только действительные параметры и хорошо известные тригонометрические функции.