Шпора Автоген, СлучСигн, 2ой семестр (Надольский АН, Дубровский ВВ) [4242 вопросов] / pdf / 21

21. Спектральные характеристики случайных сигналов и их отличие от спектральных характеристик детерминированных сигналов. Теорема Винера-Хинчина.

Частотные свойства случ. сигналов позволяют эффективно использовать спектральный метод анализа цепей при воздействии на них шумов и помех, успешно решать задачи синтеза систем, обладающих высокой степенью помехозащищенности.

При изучении частотных свойств детерминированных сигналов применялся спектральный анализ , основанный на рядах Фурье для периодических и преобразованиях Фурье для непериодических сигналов. Подобный метод необходим для изучения частотных свойств случ. сигналов. Непосредственное применение классического метода спектрального анализа для множества реализаций случ. сигнала не представляется возможным , объясняется это тем ,что реализация случ. процесса имеет случайные амплитуды и фазы и их изменения, поэтому усреднение по множеству приводит к нулевому результату.

Выход: применить класс-й метод для энергетических параметров случ. сигнала.

Спектральная плотность мощности Пусть – к- я реализация случ. процесса на интервале [0,Т]. Как известно ,реализация – неслучайная ф-я.

1.- спектр реализации

2.Известно равенство Парсеваля:

3.Рассмотрим это равенство для достаточно длинной реализации:

Э=

4.Применим эту формулу для вычисления мощности:

Судя по полученной формуле можно сказать, что – -маленькая мощность,

приходящаяся на – -маленький интервал

Тогда выражение можно назвать спектральной плотностью мощности.

В результате получим = – спектральная плотность мощности к-й реализации.

Учитывая эргодичность рассматриваемого процесса = , Т – время , а не период.

Полученное выражение позволяет сделать следующие выводы:

1.Спектральная плотность мощности не комплексная , а действительная.

2.

не содержит информацию о фазах , поэтому не позволяет восстановить отдельные реализации случ. процесса.

Иногда удобно пользоваться нормированной спектр. Плотностью мощности:

На практике используют взаимные спектр. Плотности 2-х процессов:

комплексная функция.

Формулы ВинераХинчина Определяют связь между частотной и временной хар-ми случ. сигнала. Формулы В-Х относятся к

теореме В-Х: «спектральная плотность мощности и ковариационная функция связаны между собой прямым и обратным преобразованиями Фурье».

Доказательство: Пусть x(t) – реализация эргодического СП(она не случайная)

R()=

Усредним выражение по времени и учтем , что применительно к СП рассматривается длинная реализация и приведенное выражение соответствует ковариационной функции:

Учитывая четность иможно записать:

1/

Соотношения Винера – Хинчира можно применить для определения спектральной плотности мощности суммы 2-х СП:

Z(t)=x(t)+y(t)

Подставимбратное преобразование Фурье: