23. Узкополосные случайные сигналы. Необходимость определения статистических характеристик огибающей и фазы этих сигналов. Законы распределения узкополосного случайного сигнала, его фазы и огибающей.
Узкополосный сигнал (У.с.с.)– сигнал, у которого эффективная ширина полосы частот в любом месте намного меньше центральной частоты.
У.с.с. формируется как результат воздействия случайных явлений различного рода: внешних, искусственных и естественных помех внутр. Шумов.
Вследствие справедливости центральной предельной теоремы: случ. процесс, который является суммой других случ. процессов подчиняется нормальному закону распределения:
Законы распределения огибающей и фазы:
X(t)=U(t)cos(
) – реализация случ. Сигнала
Для определения закона распределения огибающей и фазы воспользуемся формулой реализации с.с.,т.е необходимо найти P(u),P(
)
Определение з-на распред-ия p(
)
X(t)=U(t)cos 
U(t)sin 
=
(t) 
- 
(t)
,
Где 
(t)= U(t)cos 
-косинусная составляющая
(t)= U(t)sin 
- синусная составляющая
Очевидно,что U(t)=
= -arctg
Для определения p(
)-двумерная плотность вероятности, найдем P(
) , P
), а также особенности случ. процессов 
(t) и 
(t).
Анализ формул для X(t), 
(t), 
(t) показывает, что спектры процессов 
(t) и 
(t) отличаются от спектра х(t) сдвигом частоты 
, при сохранении структуры спектра.
Это значит, что 
(t) и 
(t) бдут иметь такой же закон распределения, как и x(t).
Как следует из теоремы Винера-Хинчира:
d
Т.е.
- площадь под кривой спектральной плотности мощности
Вывод: т.к. спектр составляющих сдвинут на |
без изменения структуры, то = |
||||||||||||||||
,следовательно: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
P( )= |
|
|
|
|
|
|
|
P |
)= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
||||||||||||||||
Для определения p(
) докажем, что процессы 
(t) и 
(t) независимы:
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
(у зависимых было бы |
+2 |
) |
||||
Корреляц. Ф-я =0. |
|
|
|||||
Значит: p( |
) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
p(
) = 
Определим з-н распределения P(U,
)
1. Возьмем бесконечномаленькие фигуры с равной площадью
dUc*dUs=UdUd 
2.Как известно вероятность попадания в бесконечномаленький dx равна p(x)dx,следовательно вероятность попадания в прямоугольник dUcdUs равна:
P(Uc,Us)dUcUs = 
dUcUs
3. Из другого графика можно записать: P(U, 
)dU d
- вероятность попадания в dU d
4.P(Uc,Us)dUcUs =P(U,
) dUd
5.P(U,
) = 
= 
Определение з.р. огибающей
P(U)= |
|
|
|
|
|
- закон Релея. |
|
|