20. Функция корреляции узкополосного случайного сигнала
Узкополосный сигнал – сигнал, у которого эффективная ширина полосы частот в любом месте намного меньше центральной частоты.
эф 0
Одной из статистических характеристик узкополосного случ. Сигнала явл-ся корреляционная функция:
+∞
+∞
|
|
|
= 1/2 |
|
|
= 1/ |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Введем новую переменную: Ω = − 0 |
, = Ω + 0 , = Ω |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
= 1/ |
|
Ω + |
|
cos Ω + |
|
|
Ω = ( |
|
|
Ω + |
|
Ωτ Ω) |
|
||||
0 |
0 |
|
|
0 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
||||
|
|
−0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1 |
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Ω + |
|
Ωτ Ω |
= ( ) |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
−∞
( )-корреляционная функция случайного сигнала, имеющего спектр, подобный исходному спектру, но смещенный по оси частот влево на величину 0 , т.е. в область нч.
По существу ( )-это корреляционная функция случайного сигнала со спектром Ω + 0 , т.е. Сигнала являющегося нч аналогом исходного сигнала.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
эф |
|
|
0 |
|
|||
Определим а(t):а |
= 1/ |
|
Ω + |
0 |
Ωτ Ω |
= 1/ |
2 |
|
cos Ω Ω = |
sin Ω = |
|||||||||||||||
−∞ |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
эф |
0 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||
2 |
эф |
|
0 |
эф |
|
|
|
эф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
0 |
sin |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
эф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
21. Спектральные характеристики случайных сигналов и их отличие от спектральных характеристик детерминированных сигналов. Теорема Винера-Хинчина.
Частотные свойства случ. сигналов позволяют эффективно использовать спектральный метод анализа цепей при воздействии на них шумов и помех, успешно решать задачи синтеза систем, обладающих высокой степенью помехозащищенности.
При изучении частотных свойств детерминированных сигналов применялся спектральный анализ , основанный на рядах Фурье для периодических и преобразованиях Фурье для непериодических сигналов. Подобный метод необходим для изучения частотных свойств случ. сигналов.Непосредственное применение классического метода спектрального анализа для множества реализаций случ. сигнала не представляется возможным , объясняется это тем ,что реализация случ. процесса имеет случайные амплитуды и фазы и их изменения, поэтому усреднение по множеству приводит к нулевому результату. Выход: применить класс-й метод для энергетических параметров случ. сигнала.
Спектральная плотность мощности Пусть ( ) – к- я реализация случ. процесса на интервале *0,Т+. Как известно ,реализация
– неслучайная ф-я.
1. |
= |
( ) − - спектр реализации |
|
|
0 |
|
|
2. Известно равенство Парсеваля: Э |
|
= |
1 |
|
|
2 |
|
к |
|
||||||
|
|
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3. Рассмотрим это равенство для достаточно длинной реализации:
Э=lim |
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||
→∞ 2 |
|
|||||
|
0 |
|
|
|||
4. Применим эту формулу для вычисления мощности: = lim 1
→∞ 2
2
0
Судя по полученной формуле можно сказать, что lim |
|
2 |
|
|
|
→∞ |
||
мощность, приходящаяся на – ∞-маленький интервал |
|
|
– ∞-маленькая
|
lim |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Тогда выражение |
→∞ |
|
|
|
можно назвать спектральной плотностью мощности. |
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В результате получим ( )= |
|
lim |
|
2 |
– спектральная плотность мощности к-й |
||||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
→∞ |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
реализации. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
Учитывая эргодичность рассматриваемого процесса ( )= lim |
|
|
, Т – время , а |
||||||||||
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
не период.
Полученное выражение позволяет сделать следующие выводы:
1.Спектральная плотность мощности не комплексная , а действительная.
2.− четная ф − я
3. ( ) =[В2]=[В2с]
Гц рад
не содержит информацию о фазах , поэтому не позволяет восстановить отдельные реализации случ. процесса.
Иногда удобно пользоваться нормированной спектр. Плотностью мощности: =
На практике используют взаимные спектр. Плотности 2-х процессов: |
= |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
lim→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− комплексная функция. |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Формулы ВинераХинчина Определяют связь между частотной и временной хар-ми случ. сигнала. Формулы В-Х
относятся к теореме В-Х: «спектральная плотность мощности и ковариационная функция связаны между собой прямым и обратным преобразованиями Фурье».
Доказательство: Пусть x(t) – реализация эргодического СП(она не случайная)
R( )= 0 − = 1/2 −∞∞ ( ) 2
Усредним выражение по времени и учтем , что применительно к СП рассматривается длинная реализация и приведенное выражение соответствует ковариационной функции:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
( ) 2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
= lim 1/ |
|
|
|
− |
= 1/2 |
lim |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→∞ |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Учитывая, что lim |
|
|
|
|
|
|
= ( ), получаем: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1/2 |
|
( ) |
|
- это обратное преобразование Фурье |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
= |
|
|
|
|
|
− |
- прямое преобразование Фурье |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Если |
=0, то можно записать |
= |
, тогда: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1/2 |
∞ |
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
= |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Учитывая четность |
|
и |
|
можно записать: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1/ |
|
∞ ( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
= 2 |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Соотношения Винера – Хинчира можно применить для определения спектральной плотности мощности суммы 2-х СП:
Z(t)=x(t)+y(t)
|
|
= lim 1/ |
− |
|
|
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
= lim 1/ |
|
+ |
( − |
+ − ) |
|
|
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0
|
|
= lim 1/ |
|
− |
+ |
− |
+ − |
|||||
|
|
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ − |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
= |
|
+ |
|
+ |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставим |
в обратное преобразование Фурье: |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
+ |
|
+ |
+ |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22.Соотношение между шириной спектра и интервалом корреляции случайного сигнала.
Эффективная ширина спектра определяется: |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
∆эф = |
−∞ |
|
|
|
|
(0) |
|
||
|
|
|
|
|
По существу эффективная ширина спектра есть ширина идеального спектра(прямоугольного), имеющего ту же площадь ,что и исходный спектр.
|
|
|
∞ |
|
( ) |
∞ |
|
|
|
|
|||
|
|
= |
0 |
|
|
= ( ) |
|
|
|
||||
|
|
|
||||
|
|
|
(0) |
|
||
|
|
|
|
0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
Определим произведение:
|
|
|
∞ |
|
|
|
∞ |
( ) |
|
∞ |
|
|
|
|
∞ |
( ) |
|
|||||
∆ |
|
= |
−∞ |
|
|
|
|
0 |
|
|
= |
−∞ |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||
эф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
||||||
|
|
|
(0) |
|
|
|
(0) |
|
|
( ) |
|
1/2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
−∞ |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
=
Вывод: Эффективная ширина спектра и интервал корреляции случ. сигнала находятся в
обратнопропорциональной зависимости.
23. Узкополосные случайные сигналы. Необходимость определения статистических характеристик огибающей и фазы этих сигналов. Законы распределения узкополосного случайного сигнала, его фазы и огибающей.
Узкополосный сигнал (У.с.с.)– сигнал, у которого эффективная ширина полосы частот в любом месте намного меньше центральной частоты.
эф 0
У.с.с. формируется как результат воздействия случайных явлений различного рода: внешних, искусственных и естественных помех внутр. Шумов.
Вследствие справедливости центральной предельной теоремы: случ. процесс, который является суммой других случ. процессов подчиняется нормальному закону распределения:
|
|
1 |
|
− |
(− )2 |
|
= |
|
2 2 |
||
|
|
2
Законы распределения огибающей и фазы:
X(t)=U(t)cos( 0 + ( )) – реализация случ. Сигнала
Для определения закона распределения огибающей и фазы воспользуемся формулой реализации с.с.,т.е необходимо найти P(u),P( )
Определение з-на распред-ия p( , )
X(t)=U(t)cos |
|
cos |
|
− U(t)sin |
|
|
|
0 |
|
= (t) cos |
0 |
- |
|||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(t) |
|
0 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Где (t)= U(t)cos -косинусная составляющая
(t)= U(t)sin - синусная составляющая
Очевидно,что U(t)= (t)2 + (t)2
= -arctg (t)
(t)
Для определения p( , )-двумерная плотность вероятности, найдем P( ) , P( ), а также особенности случ. процессов (t) и (t).
Анализ формул для X(t), (t), (t) показывает, что спектры процессов (t) и (t) отличаются от спектра х(t) сдвигом частоты 0, при сохранении структуры спектра.
Это значит, что (t) и (t) бдут иметь такой же закон распределения, как и x(t).
Как следует из теоремы Винера-Хинчира:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
= 1/2 |
|
|
|
|
^2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
= 1/2 |
∞ |
( ) d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
0 |
|
= 1/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т.е. - площадь под кривой спектральной плотности мощности |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вывод: т.к. спектр составляющих сдвинут на |
0 |
без изменения структуры, то |
= = |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
,следовательно: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
− |
|
|
|
|
P( )= |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
P( |
)= |
|
|
|
2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Для определения p( , ) докажем, что процессы (t) и (t) независимы:
( )2= (t)2 + (t)2
= + (у зависимых было бы = + +2 )
Корреляц. Ф-я =0.
|
|
|
( |
|
+ |
|
) |
|
|
|
|
|
|||
|
|
− |
|
|
|
||
Значит: p( , ) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
− p( , ) =
Определим з-н распределения P(U, )
1. Возьмем бесконечно маленькие фигуры с равной площадью
dUc*dUs=UdUd
2.Как известно вероятность попадания в бесконечно маленький dx равна p(x)dx,следовательно вероятность попадания в прямоугольник dUcdUs равна:
−
P(Uc,Us)dUcUs = dUcUs
3. Из другого графика можно записать:
P(U, )dU d - вероятность попадания в dU d
4. P(Uc,Us)dUcUs =P(U, ) dUd
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
dUcUs |
|
|
|
|
− |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
5. P(U, ) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dU d |
|
|
|
|
|
|
||||||||
Определение з.р. огибающей |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
− |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
− |
2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
2 |
|
= |
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
P(U)= |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
- закон Релея. |
|||||||||||
|
|
|
2 |
|
2 |
||||||||||||||||||
|
− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||