15. Статистические характеристики случайных сигналов (законы распределения и числовые характеристик и), физ смысл
Закон распределения – закон, устанавливающий связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими вероятностями.
Непрерывная СВ имеет бесчисленное мнжество возможных значений. На практике используются наиболее общие формы закона распределения, получ названя интегральный и дифференциальный з-н распределения вероятностей.
Одномерные законы распределения(хар-ет 1 СВ)
Пусть X – случайная величина, x – некоторое текущее ее значение. Для количественной характеристики распределения случайной величины X принимается функция
F ( x ) = P( X ≤ x ) ,(1)
где P ( X ≤ x ) – вероятность того, что случайная величина X не превосходит значения x. Функция F (x ) является по существу законом распределения случайной величины X, который называется интегральным законом распределения или функцией распределения. Она обладает следующими свойствами, вытекающими из равенства (1):
1.F (−∞ ) = 0; F (∞ ) = 1 .
2.F ( x2 ) ≥ F ( x1 ) при x2 > x1 .
3.P( x1 < X ≤ x 2 ) = F ( x 2 ) − F ( x1 ) .
Функция распределения F (x ) в общем случае является неубывающей функцией, значения которой находятся в пределах от 0 до 1 Для дискретной СВ
где σ ( x − x k ) – единичная функция (функция Хевисайда), равная 1 при x ≥ xk ; 0 при x < xk . Дифференциальный з-н распределения(плотность распределения)
Р(х)=
В числителе указана вер-сть попадания в итервал дельта х в знаменателе величинаинтервала, отсюда вознивает понятиеплотность и размерность1/В
P(x)dx=dF(x)- вероятность того что число х в бесконечно малом интервале dx имеет некотрое значение Свойства.1)p ( x ) > 0 2) ∫ p( x )dx = 1 (интеграл от –∞ до +∞) 3)∫ p( x )dx = F ( x ) (интеграл от –∞ до х)
Для дискретной СВ Р(х)=
где δ ( x − x k ) – дельта-функция (функция Дирака), равная ∞ при x = x k, 0 при x ≠ x k
В общем случае, наиболее полной характеристикой случайного процесса является n-мерная плотность вероятности p n ( x1 , x 2 ,..., x n ; t1 , t 2 ,..., t n ) при достаточно большом n, которая характеризует совместное вероятностное распределение случайных величин X 1 = x(t1 ), X 2 = x(t 2 ), ..., X n = x(t n ) . Оперировать с таким законом распределения практически невозможно. Поэтому при исследовании случайных процессов рассматривают, как правило, одномерную p( x, t ) и двумерную p2 ( x1 , x 2 ; t1 , t 2 ) плотности вероятности.интегральный закон распределения(функция распределения вероятностей)
При решении практических задач иногда нет необходимости знать законы распределения случайных величин и процессов, а достаточно иметь только отдельные их числовые характеристики, которые в сжатой форме отражают существенные особенности распределения. Кроме того, с помощью числовых характеристик и операций с ними удается в ряде случаев решать широкий круг задач статистической радиотехники до конца без использования законов распределения. Наибольшее применение нашли такие числовые характеристики,как математическое ожидание, дисперсия и корреляционная функция.
М атематическое ожидание – это начальный момент первого порядка, характеризующий среднее значение случайной величины или случайного процесса.
Дисперсия – это центральный момент второго порядка, который характеризует среднюю величину возможных отклонений (т.е. возможный разброс) значений случайной величины или случайного процесса относительно математического ожидания.
Корреляционная функция характеризует степень статистической связи значений случайного процесса в
различные моменты времени. Для ДСВ
Для НСВ
Нестационарный случайный процесс
Стационарный случайный процесс