16. М одели случайных сигналов(нормальный случайный процесс, белый шум, узкополосный случайный сигнал)
нормальный закон распределения(законом Гаусса)
Случайный процесс x(t) называется гауссовым, если для любого набора фиксированных моментов времени tn случайные величины x(tn) подчиняются многомерному нормальному распределению. Плотность вероятностей мгновенных значений x(t) эргодического гауссового процесса определяется выражением:
|
p(x) = ( x |
2 |
)-1 exp(-(x- mx)2/2 2). |
(9.4.17) |
Среднее значение и его оценка по достаточно большому интервалу Т: |
|
|||
|
|
|
T |
|
mx = |
x p(x) dx, |
mx (1/T) x(t) dt. |
|
|
|
|
0 |
|
|
При нулевом среднем (или при центрировании функции x(t) для упрощения расчетов) дисперсия не зависит от переменной t, и равна:
x2 = 
x2 p(x) dx.
Оценка дисперсии при больших значениях Т:
|
T |
|
|
|
x2 |
(1/T) x2(t) dt = |
Sx(f) df = |
Gx(f) df. |
(9.4.18) |
|
0 |
|
0 |
|
Следовательно, плотность вероятностей гауссового процесса полностью характеризуется спектральной плотностью, по которой можно определить значение дисперсии процесса. На вид спектральных плотностей и соответствующих им ковариационных функций никаких ограничений не накладывается.
Белый шум является стационарным случайным процессом q(t), у которого автокорреляционная функция описывается дельта - функцией Дирака и, соответственно, спектральная плотность мощности не зависит от частоты и имеет постоянное значение Wq(f) = , равное дисперсии значений q(t). Другими словами, все спектральные составляющие белого шума имеют одинаковую мощность (как белый цвет содержит все цвета видимого спектра). По существу, это идеализированный случайный процесс с бесконечной энергией. Но в случае постоянства спектральной плотности мощности случайного процесса в конечном диапазоне частот введение такой идеализации позволяет разрабатывать достаточно легко реализуемые оптимальные методы фильтрации. Многие помехи в радиотехнике, в технике связи и в других отраслях, в том числе в информатике, рассматривают как белый шум, если эффективная ширина спектра сигналов Bs много меньше эффективной ширины спектра шумов Bq
Bs/Bq << 1,
и спектральная плотность мощности шумов слабо изменяется в интервале спектра сигнала. Понятие "белый шум" определяет только спектральную характеристику случайного процесса, а, следовательно, под это понятие подпадают любые случайные процессы, имеющие равномерный энергетический спектр и различные законы распределения.
Если частотный диапазон спектра, на котором рассматриваются сигналы и помехи, равен 0-В, то
спектральная плотность шума задается в виде: |
|
|
Wq(f)= 2, 0 |
f B; Wq(f)=0, f > B, |
(9.4.7) |
при этом корреляционная функция шума определяется выражением: |
|
|
Rq( )= |
2 B sin(2 B )/2 B . |
(9.4.8) |
Эффективный интервал корреляции:
|
|
Tk = 2 |
|Rq( )|d /Rq(0). |
|
(9.4.9) |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
Модель белого шума q(t) можно формировать |
||||
|
|
|||||
|
|
как |
случайную |
по |
времени |
(аргументу) |
|
|
последовательность |
дельта |
- импульсов (ti) со |
||
|
|
случайными амплитудными значениями ai: |
||||
|
|
q(t) = |
i ai (t-ti), |
|
|
(9.4.10) |
|
|
которая |
удовлетворяет условиям |
статистической |
||
|
|
однородности: постоянное среднее число импульсов в |
||||
|
Рис. 9.4.4. Функции корреляции |
единицу времени и статистическая независимость |
||||
|
появления каждого импульса от предыдущих. Такой |
|||||
|
белого |
|||||
|
поток импульсов, который называют пуассоновским, |
|||||
|
шума в частотном интервале 0-В. |
|||||
|
является некоррелированным и имеет равномерный |
|||||
|
|
|||||
спектр плотности мощности: |
|
|
|
|
|
|
|
Wq( ) = c2 = N a2, |
|
|
|
||
где N - число импульсов на интервале Т реализации случайного процесса, |
a2 -дисперсия амплитуд |
|||||
импульсов. |
|
|
|
|
|
|
Эффективная ширина спектра определяется:
Кореляционная функция
R ( ) |
1 |
W x( w ) e jw dw |
|
||
2 |
|
|