1. Предприятие выпускает 2 вида продукции, используя 3 вида ресурсов. Принятые обозначения: а – матрица норм затрат сырья, в – запасы ресурсов, с – прибыль на единицу продукции:

А = , В = , С = .

Требуется:

1) Составить экономико-математическую модель задачи;

2) Определить план выпуска изделий, обеспечивающий получение максимальной прибыли;

3) Составить двойственную задачу, найти оптимальное решение и оптимум двойственной задачи с помощью теорем двойственности; указать дефицитные для предприятия ресурсы;

4) Определить интервалы устойчивости двойственных оценок ресурсов;

5) Проанализировать, как изменится максимальная прибыль предприятия в результате уменьшения запаса 1-го ресурса на 2 единицы.

2. Частный инвестор предполагает вложить 500 тыс. руб. в различные ценные бумаги (см. таблицу)

Вложение

Доход, %

Риск

Акции А

15

высокий

Акции В

12

средний

Акции С

9

низкий

Долгосрочные облигации

11

-------

Краткосрочные облигации

8

-------

Срочный вклад

6

-------

После консультаций со специалистами фондового рынка он отобрал 3 типа акций и 2 типа государственных облигаций.

Часть денег предполагается положить на срочный вклад в банк. Имея в виду качественные соображения, диверсификации портфеля и неформализуемые личные предпочтения, инвестор выдвигает следующие требования к портфелю ценных бумаг:

1) все 500 тыс. должны быть инвестированы;

2) по крайней мере 100 тыс. руб. должны быть на срочном вкладе в банке;

3) по крайней мере 25 % средств, инвестированных в акции, должны быть инвестированы в акции с низким риском;

4) в облигации нужно инвестировать по крайней мере столько же, сколько в акции;

5) не более чем 125 тыс. руб. должно быть вложено в бумаги с доходом менее 10 %.

Определить портфель бумаг инвестора, удовлетворяющий всем требованиям и максимизирующий годовой доход. Какова величина этого дохода?

Вариант 5

1. Предприятие выпускает 2 вида продукции, используя 3 вида ресурсов. Принятые обозначения: А – матрица норм затрат сырья, В – запасы ресурсов, С – прибыль на единицу продукции:

А = , В = , С = .

Требуется:

1) Составить экономико-математическую модель задачи;

2) Определить план выпуска изделий, обеспечивающий получение максимальной прибыли;

3) Составить двойственную задачу, найти оптимальное решение и оптимум двойственной задачи с помощью теорем двойственности; указать дефицитные для предприятия ресурсы;

4) Определить интервалы устойчивости двойственных оценок ресурсов;

5) Проанализировать, как изменится максимальная прибыль предприятия в результате увеличения запаса 1-го ресурса на 5 единиц.

2.

Вариант 6

1. Предприятие выпускает 2 вида продукции, используя 3 вида ресурсов. Принятые обозначения: А – матрица норм затрат сырья, В – запасы ресурсов, С – прибыль на единицу продукции:

А = , В = , С = .

Требуется:

1) Составить экономико-математическую модель задачи;

2) Определить план выпуска изделий, обеспечивающий получение максимальной прибыли;

3) Составить двойственную задачу, найти оптимальное решение и оптимум двойственной задачи с помощью теорем двойственности; указать дефицитные для предприятия ресурсы;

4) Определить интервалы устойчивости двойственных оценок ресурсов;

5) Проанализировать, как изменится максимальная прибыль предприятия в результате уменьшения запаса 1-го ресурса на 5 единиц.

2. Нефтяная компания OilC0 строит новый нефтеперерабатывающий завод для производства 4 видов продуктов: дизельное топливо, бензин, смазочные материалы и авиационное топливо. Спрос на эти виды продукции составляет соответственно 14, 30, 10 и 8 тыс. баррелей в день. Компания заключила контракты с Ираном и ОАЭ на поставку сырой нефти танкерами. Поскольку объем добычи нефти квотируется ОПЕК, компания рассчитывает, что не менее 40% нефти она будет получать из Ирана, а остальное из ОАЭ. OilCo также прогнозирует, что в ближайшие 10 лет спрос на ее продукцию и квоты на сырую нефть останутся неизменными. Нефть, поставляемая из Ирана и ОАЭ, отличается своими качествами. Из одного барреля иранской нефти можно произвести 0,2 барреля дизельного топлива, 0,25 барреля бензина, 0,1 барреля смазочных материалов и 0,15 баррелей авиационного топлива. Соответствующие числа для нефти из ОАЭ составляют 0,1; 0,6; 0,15; и 0,1. Компании OilC0 (а значит и вам) необходимо определить минимальную загрузку сырой нефтью своего нового нефтеперегонного завода.

Вариант 7

1. Предприятие выпускает 2 вида продукции, используя 3 вида ресурсов. Принятые обозначения: А – матрица норм затрат сырья, В – запасы ресурсов, С – прибыль на единицу продукции:

А = , В = , С = .

Требуется:

1) Составить экономико-математическую модель задачи;

2) Определить план выпуска изделий, обеспечивающий получение максимальной прибыли;

3) Составить двойственную задачу, найти оптимальное решение и оптимум двойственной задачи с помощью теорем двойственности; указать дефицитные для предприятия ресурсы;

4) Определить интервалы устойчивости двойственных оценок ресурсов;

5) Проанализировать, как изменится максимальная прибыль предприятия в результате увеличения запаса 3-го ресурса на 5 единиц;

6) Сколько решений имеет данная ЗЛП?

2. Джон, помимо занятий в школе, для поддержания надлежащего финансового уровня должен подрабатывать не менее 20 часов в неделю. Для этого у него есть прекрасная возможность работать в двух магазинчиках. В первом он может работать от 5 до 12 часов в неделю, а во втором – от 6 до 10 часов. Оба магазина предлагают одинаковую почасовую оплату. Джон должен определиться, в каком магазине и сколько ему работать, исходя из фактора «напряженности» работы. Основываясь на сведениях, полученных при общении с работниками этих магазинов, он оценил этот фактор по 10-балльной шкале: для первого и второго магазинов соответственно 8 и 6 баллов. Понятно, что суммарная «напряженность» работы за неделю пропорциональна количеству отработанных часов. Сколько часов Джон должен работать в каждом магазине, чтобы минимизировать общую суммарную «напряженность» работы?

Вариант 8

1. Предприятие выпускает 2 вида продукции, используя 3 вида ресурсов. Принятые обозначения: А – матрица норм затрат сырья, В – запасы ресурсов, С – прибыль на единицу продукции:

А = , В = , С = .

Требуется:

1) Составить экономико-математическую модель задачи;

2) Определить план выпуска изделий, обеспечивающий получение максимальной прибыли;

3) Составить двойственную задачу, найти оптимальное решение и оптимум двойственной задачи с помощью теорем двойственности; указать дефицитные для предприятия ресурсы;

4) Определить интервалы устойчивости двойственных оценок ресурсов;

5) Проанализировать, как изменится максимальная прибыль предприятия в результате уменьшения запаса 3-го ресурса на 5 единиц.

2. Распределение рекламного бюджета

Фирма рекламирует свою продукцию с использованием четырех средств: телевидения, радио, газет и афиш. Из различных рекламных экспериментов, которые проводились в прошлом, известно, что эти средства приводят к увеличению прибыли соответственно на 10, 3, 7 и 4 у.е. в расчете на 1 у.е., затраченную на рекламу.

Распределение рекламного бюджета по различным средствам подчинено следующим ограничениям:

а) полный бюджет не должен превосходить 500 000 у.е.;

б) следует расходовать не более 40% бюджета на телевидение и не более 20% бюджета на афиши;

в) вследствие привлекательности для подростков радио на него следует израсходовать по крайней мере половину того, что планируется на телевидение.

Сформулируйте задачу распределения средств по различным источникам как задачу линейного программирования и решите ее.

Вариант 9

1. Предприятие выпускает 2 вида продукции, используя 3 вида ресурсов. Принятые обозначения: А – матрица норм затрат сырья, В – запасы ресурсов, С – прибыль на единицу продукции:

А = , В = , С = .

Требуется:

1) Составить экономико-математическую модель задачи;

2) Определить план выпуска изделий, обеспечивающий получение максимальной прибыли;

3) Составить двойственную задачу, найти оптимальное решение и оптимум двойственной задачи с помощью теорем двойственности; указать дефицитные для предприятия ресурсы;

4) Определить интервалы устойчивости двойственных оценок ресурсов;

5) Проанализировать, как изменится максимальная прибыль предприятия в результате увеличения запаса 2-го ресурса на 5 единиц;

6) Сколько решений имеет данная ЗЛП?

2. Биржевой маклер хочет вложить в акции некоторую сумму денег с тем, чтобы к концу года иметь 10 тыс. долл. Существует два типа акций, в которые стоит делать вложения: акции надежных компаний с минимальным риском («голубые фишки»), приносящие в среднем 10% годовых, и акции компаний, занимающихся высокими технологиями. Последние акции имеют более высокую доходность – в среднем 25% годовых, однако они значительно более рисковые. Поэтому маклер решил вкладывать в них не более 60% средств. На какую сумму и каких акций надо приобрести маклеру, чтобы достичь желаемой цели?

Вариант 10

1. Предприятие выпускает 2 вида продукции, используя 3 вида ресурсов. Принятые обозначения: А – матрица норм затрат сырья, В – запасы ресурсов, С – прибыль на единицу продукции:

А = , В = , С = .

Требуется:

1) Составить экономико-математическую модель задачи;

2) Определить план выпуска изделий, обеспечивающий получение максимальной прибыли;

3) Составить двойственную задачу, найти оптимальное решение и оптимум двойственной задачи с помощью теорем двойственности; указать дефицитные для предприятия ресурсы;

4) Определить интервалы устойчивости двойственных оценок ресурсов;

5) Проанализировать, как изменится максимальная прибыль предприятия в результате уменьшения запаса 3-го ресурса на 5 единиц.

2. Фирма планирует рекламную кампанию нового продукта. Отведенный на эти цели бюджет составляет 120 000 руб. Предполагается, что тираж рекламных объявлений должен составить не менее 800 млн экземпляров; объявления будут размещены в шести изданиях. Каждое издание имеет свой тираж

(см. таблицу). Фирма подсчитала стоимость размещения рекламы в одном выпуске издания.

№ издания	Стоимость размещения рекламы В одном выпуске издания, руб.	Тираж одного выпуска, млн экз.
1	1474,2	9,9
2	1244,1	8,4
3	1131,0	8,2
4	700,7	5,1
5	530,0	3,7
6	524,4	3,6

Необходимо распространить рекламу с минимальными издержками при следующих ограничениях:

1) в каждом издании реклама должна пройти в шести или более выпусках;

2) на любое издание может быть истрачено не более одной трети отпущенной суммы;

3) общая стоимость рекламы в третьем и четвертом изданиях не должна превышать 75 000 руб.

Вариант 11

1. Предприятие выпускает 2 вида продукции, используя 3 вида ресурсов. Принятые обозначения: А – матрица норм затрат сырья, В – запасы ресурсов, С – прибыль на единицу продукции:

А = , В = , С = .

Требуется:

1) Составить экономико-математическую модель задачи;

2) Определить план выпуска изделий, обеспечивающий получение максимальной прибыли;

3) Составить двойственную задачу, найти оптимальное решение и оптимум двойственной задачи с помощью теорем двойственности; указать дефицитные для предприятия ресурсы;

4) Определить интервалы устойчивости двойственных оценок ресурсов;

5) Проанализировать, как изменится максимальная прибыль предприятия в результате увеличения запаса 2-го ресурса на 5 единиц;

6) Сколько решений имеет данная ЗЛП?

2. Конвейер состоит из трех последовательных линий для сборки 2-х видов радиоприемников: HiFi-1 и HiFi-2. Время, необходимое для сборки одного радиоприемника на каждой линий, приведено в таблице.

Сборочная линия	Количество минут, затрачиваемых на сборку одного изделия
	HiFi-1	HiFi-2
1	6	4
2	5	5
3	4	6

Ежедневные профилактические работы на соответствующих линиях равны соответственно 10, 14 и 12% от всего рабочего времени, которое для любой линии не превышает 480 минут за смену. Определите структуру выпускаемой продукции.

Вариант 12

1. Предприятие выпускает 2 вида продукции, используя 3 вида ресурсов. Принятые обозначения: А – матрица норм затрат сырья, В – запасы ресурсов, С – прибыль на единицу продукции:

А = , В = , С = .

Требуется:

1) Составить экономико-математическую модель задачи;

2) Определить план выпуска изделий, обеспечивающий получение максимальной прибыли;

3) Составить двойственную задачу, найти оптимальное решение и оптимум двойственной задачи с помощью теорем двойственности; указать дефицитные для предприятия ресурсы;

4) Определить интервалы устойчивости двойственных оценок ресурсов;

5) Проанализировать, как изменится максимальная прибыль предприятия в результате уменьшения запаса 3-го ресурса на 3 единицы.