§ 4 Логические схемы.

Логические схемы являются одним из способом представления логических выражений. В них используются следующие обозначения: 1 – ИСТИНА, 0 – ЛОЖЬ; И, ИЛИ, НЕ – логические функции.

В такой форме удобно изображать цепочки логических операций и производить их вычисления.

Например. Вычислить значение выражения: 1  0 & 1 (первое действие – конъюнкция)

Упражнение №1 Пусть a, b, c – логические величины, которые имеют следующие значения: a=истина, b=ложь, c=истина. Нарисуйте логические схемы для следующих логических выражений и вычислите их значения:

1. a & b

2. a  b

3. a  b

4. a & b  c

5. a  b & c

6. a  b & c

7. (a  b) & (c b)

8. (a b) & (c  b)

9.  (a & b & c)

Упражнение №2 Постройте логические схемы по следующим формулам:

1. х1 & (x2  x3)

2. x1 & x2  x1 & x3

3. x4 & (x1 & x2 & x3  x2 & x3)

Упражнение №3 Выполните вычисления, запишите формулы по следующим схемам

Упражнение №4 По схеме запишите логическое выражение и вычислите значения с данными:

1) х1=0, х2=1

2) х1=1, х2=0

3) х1=0, х2=0

4) х1=1, х2=1

Упражнение №5 По схеме запишите логическое выражение и вычислите значения с данными:

1) х1=х2=х3=1

2) х1=х2=х3=0

3) х1=0, х3=1 и любых х2

Упражнение №6 По схеме запишите логическое выражение и вычислите значения с данными:

1) х1=х2=1, х3=х4=0

2) х4=1 и любых х1, х2, х3

3) х1=х4=0 и любых х2, х3

§ 5 Импликация и эквивалентность

Импликация – лат. implicatio – тесно связываю (условное высказывание, логическое следование). В естественном языке ей соответствует союз “если А, то В”, “когда А, тогда В”, “коль скоро А, то В”, “из А следует В”, “В необходимо для А”, А достаточно для В”, “А только тогда, когда В”, “В тогда, когда А”, “все А есть В”. Обозначается знаком ““. Суждение с такой связкой называется импликативным, или просто импликацией, и выглядит следующим образом: ab. Пример: “Если через проводник проходит электрический ток, то проводник нагревается”. Первый член импликации называется антецедентом, или основанием; второй – консеквентом, или следствием.

В повседневном языке союз “если …, то…” часто соединяет такие предложения, которые выражают причинно–следственную связь явлений, и первое предложение фиксирует причину, а второе – следствие этой причины. В приведенном примере прохождение электрического тока через проводник (причина) порождает его нагревание (следствие). Отсюда и название членов импликации.

Эквиваленция – лат. aequivalens – равноценное. В естественном языке ей соответствуют союзы “А если и только если В”, “А тогда и только тогда, когда В”, “А эквивалентно В”, “А необходимо и достаточно для В”, “А тогда и только тогда, когда В”. Эта связка используется нами в тех случаях, когда мы хотим сказать, что два суждения в некотором смысле эквивалентны. Обозначается знаками ““, ““. Например: “В нормальных условиях вода замерзает тогда и только тогда, когда температура опускается ниже 0С”, “Страховая премия выплачивается в тех и только в тех случаях, когда доказано наличие неумышленного ущерба”, “Людоед голоден тогда и только тогда, когда он давно не ел”.

Представление высказываний естественного языка в символическом виде с помощью обозначений означает их формализацию.

Упражнение №1 Используя связку “ если …, то …”, измените высказывание:

1. Человек, любящий животных – добрый.

2. Кончил дело – гуляй смело.

3. Знакомая дорога – самая короткая.

4. Тише едешь – дальше будешь.

5. Переходи улицу только на зеленый свет.

6. При встрече люди приветствуют друг друга.

7. В високосном году 366 дней.

8. Когда темнеет, зажигают фонари.

9. По стройке необходимо ходить в каске.

Упражнение №2 Установите логическую структуру следующих суждений:

1. Если я устал, то не могу готовиться к занятиям.

2. Если четырехугольник – параллелограмм и не ромб, то его диагонали не взаимно перпендикулярны.

3. Неверно, что ветер дует, если и только если нет дождя.

4. Тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, если оно не вынуждено изменить это состояние под влиянием действующих сил.

5. Если мы пораньше освободимся и сходим в парк, то получим большое удовольствие.

6. Неверно, что если погода пасмурная, то дождь идет тогда и только тогда, когда нет ветра.

7. Всякое тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, если на него не действует какая–либо сила.

8. Если Сергей и его хоровая капелла поедут в Москву, то, если запись пройдет успешно, их пригласят в Париж.

9. Если Иванов здоров и богат, то он здоров.

10. Число является простым, если оно делится только на единицу и само на себя.

11. Произвольно взятое число либо делится на 2, либо делится на 3.

12. Спортсмен подлежит дисквалификации, если он некорректно ведет себя по отношению к сопернику или судье, и если он принимал “допинг”.

Таблица истинности для импликации и эквивалентности.

Таблица истинности для эквивалентности проста: раз утверждается эквивалентность двух высказываний, то это утверждение будет истинным, когда члены эквиваленции имеют одно и то же значение – либо оба истинны, либо оба ложны.

С импликацией дело обстоит сложнее. Рассмотрим суждение “Если Солнце взошло, то на улице стало светло”. Здесь импликация соединяет два простых суждения “Солнце взошло” и “На улице стало светло”. Когда первое из них истинно и второе истинно, то импликация в целом считается истинной. Второй случай: Солнце взошло, но на улице светло не стало. Если такое произошло, импликация считается ложной. Третий случай: Солнце не взошло, но на улице стало светло. Опровергает ли это импликацию? Нет, такое вполне возможно: на улице зажглись фонари, стало светло, но это не противоречит связи между восходом Солнца и наступлением светлого времени суток. Импликацию можно считать истинной. Наконец, четвертый случай: Солнце не взошло, и светло не стало. Это вполне естественно, импликация остается истинной.

a	b	ab	ab
и	и	и	и
и	л	л	л
л	и	л	и
л	л	и	и

Упражнение №3 Определить истинность следующих суждений:

1. Если он – ученый, то его сын – хороший ученик.

2. Если Луна сделана из зеленого сыра, то Лондон находится во Франции

3. Если асфальт мокрый, то идет дождь.

4. Слон голоден тогда и только тогда, когда он давно не ел.

5. Если солнце ярко светит, то ты пойдешь на речку.

6. Монета падает орлом тогда и только тогда, когда она падает решкой

7. Если Костя – брат некто, то некто – брат Кости.

8. Если снег бел, то 2 х 2 = 4

Упражнение №4 Найти значения:

1) суждения a, если ab=истина, b=ложь

2) суждения b, если ab=ложь, a=истина

3) суждения b, если ab=истина, a=истина

4) суждения р, если pq=истина, q  r=истина

Упражнение №5 Найти значения следующих суждений, если a=истина:

1) (b a) a

2) a  (a & b)

3) a a

Порядок выполнения логических операций: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность. Кроме того, на порядок операций влияют скобки.

Упражнение №6 Постройте таблицы истинности для следующих выражений:

1) (a & b)  a

2) (a  (a  b))

3) (a  b)  (a & b)

4) (a  b)  (b  a)

5) ((с & b)  b) & (a & b)­ b

6) ((a  b)  b) & (a  b)

7) (a & b)  (a  b)

8) ((a  b)  (b  a))