Производная функции комплексного переменного

Производная функции комплексного переменного в точке   вводится так же, как и в действительной области, а именно

_(4.1)

или

Здесь   стремится к нулю по любой кривой, по любому направлению.

Функция, имеющая производную в точке, называется дифференцируемой в этой точке; функция, дифференцируемая в каждой точке области, называется дифференцируемой в области.

Из определения производной и свойств пределов получаем, что приращение дифференцируемой в точке функции можно записать в виде

(4.2)

где   — бесконечно малая при условии, что  .

Очевидно, справедливо и обратное утверждение. Поэтому равенство (4.2) является необходимым и достаточным условием дифференцируемости функции в точке  .

Кроме того, из равенства (4.2) следует, что непрерывность функции в точке является необходимым условием дифференцируемости ее в этой точке, т.е. если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке.