Понятие предела

Число   называется пределом функции   в точке  , если для любого числа   найдется число   такое, что для всех чисел   , удовлетворяющих неравенству  , выполняется неравенство 

Геометрически это означает, что для точек из проколотой δ-окрестности точки   соответствующие значения функции принадлежат ε-окрестности точки  .

Напомним, что окрестность точки на комплексной плоскости — это круг с центром в этой точке. Так,   или   есть круг радиуса   с центром в точке  , а проколотая окрестность точки   или  , или   — круг радиуса   с центром в точке   за исключением точки  .

Если записать числа в алгебраической форме, то нетрудно доказать справедливость следующего утверждения.

Утверждение.1 (необходимое и достаточное условие существования предела функции комплексного переменного).

Для того чтобы в точке   существовал предел функции  , необходимо и достаточно, чтобы в точке   существовали пределы двух функций действительных переменных  , где  ; при этом имеет место равенство

Замечания: 1. Из сформулированного критерия следует, что в комплексной области имеют место правила и свойства пределов такие же, как и в действительной области (за исключением, разумеется, свойств, связанных со знаками неравенств).

Например,   (при условии, что существуют пределы в правой части равенства).

2. Можно определить понятие предела функции в точке, рассматривая не всю окрестность этой точки, а только некоторое связное множество точек из этой окрестности — предельный переход по множеству:

 для  .

Здесь точки принадлежат пересечению множества   и проколотой окрестности точки  . В частности, это имеет место, если   — множество точек кривой, или   — замкнутое множество  . Так, на рис. 3.7,а множество   — кривая линия ,. Функция определена на   и   — дута  , за исключением точки  . На рис. 3.7,б множество   — множество  , функция определена в области   (или  ),   — заштрихованная часть области  .

Z₀

C

B

Z₀

A

D

а

б

l

Рис. 3.7

Непрерывность в точке функции комплексного переменного

Функция комплексного переменного называется непрерывной в точке , если бесконечно малому приращению аргумента в точке соответствует бесконечно малое в этой точке приращение функции, т.е.

Это эквивалентно следующему определению: функция   непрерывна в точке  , если предел функции в точке равен ее значению в этой точке, т.е.

Так как понятие непрерывности определяется через понятие предела, то, учитывая сформулированный выше критерий существования предела функции (утверждение 1), нетрудно убедиться в справедливости следующего утверждения.

Утверждение 2. (необходимое и достаточное условие непрерывности функции в точке). Для того чтобы функция   была непрерывна в точке  , необходимо и достаточно, чтобы в точке   были непрерывны функции

, где  .

Функция, непрерывная в каждой точке области  , называется непрерывной в этой области.

Замечание. Как и в действительной области, справедливы свойства непрерывности в точке для суммы, произведения, частного двух функций, а также свойство непрерывности сложной функции.

Пример 1. Исследовать функцию на непрерывность.

Решение. Функция , очевидно, непрерывна во всей комплексной плоскости, поэтому функция непрерывна во всей комплексной плоскости при любом , согласно свойству непрерывности произведения.

Пример 2. Исследовать многочлен степени на непрерывность.

Решение. Функция (c=const), очевидно, непрерывна во всей комплексной плоскости. Поэтому, учитывая непрерывность суммы и произведения непрерывных функций и результат примера 1, заключаем, что многочлен есть функция, непрерывная во всей комплексной плоскости.

Пример 3. Исследовать на непрерывность рациональную функцию , где и многочлены.

Решение. Как отношение двух непрерывных функций рациональная функция непрерывна во всей комплексной плоскости, за исключением точек, где .

Пример 4. Исследовать на непрерывность функции , , , .

Решение. Так как функция непрерывна во всей комплексной плоскости, поэтому функции , , и непрерывны во всей комплексной плоскости.