Обратные функции комплексного переменного
Понятие обратной функции для функции комплексного переменного вводится, как и в действительной области.
Пусть
задана функция
.
Тогда по определению любому числу
из
области
соответствует одно или несколько
значений
из области
таких, что
,
т.е. для любого числа
уравнение
имеет решения и области
.
В таком случае говорят, что уравнение
определяет функцию
,
обратную функции
.
Существование функции, согласно определению, предполагает ее однозначность, т.е. для случая обратной функции — это единственность решения уравнения при всяком фиксированном из области . Очевидно, в общем случае уравнение определяет неоднозначную функцию.
Достаточным условием однозначности обратной функции является однолистность функции .
Пример 5. Найти функции, обратные к следующим однолистным функциям:
а)
,
;
б)
;
в)
.
Решение.
а)
Из равенства
получаем
или
,
где
,
.
Обратная к линейной функция тоже является
линейной.
б)
Из
равенства
при
получаем
.
Функция сама себе обратная, однозначная
и осуществляет взаимно однозначное
отображение комплексной плоскости с
выброшенной точкой
во всю комплексную плоскость.
в)
Отображение
очевидно однолистно. Функция
обратная к заданной и однолистная.
Функции, обратные к неоднолистным. Выделение однозначных ветвей
С
неоднозначными функциями приходится
встречаться в математическом анализе.
Например, уравнение
на множестве
определяет двухзначную функцию 
,
точнее, две функции:
и
.
Геометрически — это две части окружности,
верхняя и нижняя полуокружности. Эти
функции можно назвать двумя однозначными
ветвями функции, определяемой неявно
уравнением
.
Отделение этих функций — выделение
однозначных ветвей — здесь не представляет
затруднений. Говоря о верхней
полуокружности, подразумеваем то решение
уравнения
,
где
,
поэтому ветвь
можно
выделить, задавая значения функции во
внутренней точке промежутка
,
например
;
говоря о нижней, можем задать
.
Аналогично в комплексной области предполагаем однозначность функции, однако термин "функция" применяем и к случаю неоднозначных отображений.
Примерами
неоднозначных отображений являются
функции, обратные к неоднолистным.
Например, функция
,
обратная к функции
,
неоднозначная.
Вопрос
о возможности выделения в соответствующих
областях однозначных ветвей — однозначных,
непрерывных функций и построении таких
функций связан с исследованием простейшей
многозначной функции
.
Функция аргумента Arg(z)
Функция
является многозначной, что следует из
способа введения полярных координат,
а именно аргумент числа
определяется с точностью до слагаемого,
кратного
.
При
перемещении любой точки
по произвольной непрерывной кривой
аргумент числа
непрерывно изменяется. При этом, если
кривая замкнутая, то возможны два случая.
В одном случае точка после обхода
возвращается в исходное положение с
прежним значением аргумента. Так будет
для любой кривой, не совершающей обхода
вокруг начала координат. В противном
случае аргумент изменяется на величину
или
в зависимости от направления обхода, а
при n-кратном обходе — на
или
.
Это имеет месте в случае, когда точка
при перемещении обходит начало координат.
Аргумент
как функция точки будет однозначной
функцией в области, которая не содержит
кривых, совершающих обход точки
.
В качестве такой области можно взять
плоскость с разрезом по любому лучу,
выходящему из начала координат. В
частности, с разрезом по действительной
отрицательной полуоси — область
.
Можно выбрать разрез по действительной
положительной полуоси — область
,
где главное значение аргумента
определяется равенством
.
Заметим, что аргументы числа, геометрически
соответствующего одной и той же точке
областей
и
,
могут быть различны. Например, в области
,
а в области
(рис. 3.4).
Границами
каждой из областей
и
являются два "берега" соответствующей
полуоси, обход границ на рисунках указан
стрелками.
D2
(z)
(z)
D1
Рис. 3.4
Пример 6. Исследовать возможность выделения однозначных ветвей неоднозначной, функции .
Решение.
Функция
является
неоднозначной
как обратная к неоднолистной функции
.
Ее неоднозначность (двузначность)
связана с неоднозначностью аргумента
функции
.
Для каждого значения
получаем два значения аргумента:
и
.
Так как
и
,
то
.
В
комплексной плоскости с разрезом по
лучу [0;+
(
возможно выделение однозначных ветвей
аргумента. Можно рассмотреть две функции:
и
.
Первая из них переводит область
плоскость
с разрезом
в область
,
где
( Рис. 3.5), так как для
имеем неравенство
.
Положительный
обход границ указан стрелками. В точках
границы области
однозначность нарушается, но в силу
сделанного разреза действительные
положительные значения (z=x,
x>0)
рассматриваются дважды на верхнем
«берегу» и на нижнем «берегу». Например,
при z=1
это точка
верхнего «берега» и точка
нижнего «берега». При отображении
точкам верхнего «берега» соответствуют
положительные значения
(точка
,
а точкам нижнего «берега» отрицательные
значения (точка
).
D1
G1
B
A
A
B
Рис. 3.5
Вторая
функция переводит область
плоскость
с разрезом [0;+
в область
,
где
( Рис. 3.6 ), так как для
имеем неравенство
.
G2
D2
A
B
B
A
Рис. 3.6
Граничным
точкам верхнего «берега» соответствуют
отрицательные значения функции
(точка
,
а точкам нижнего «берега» положительные
значения (точка
).
Из приведенных рассуждений сформулируем следующее утверждение.
Двузначная
функция 
отображает
плоскость с разрезом по действительной
положительной полуоси (область
)
на верхнюю полуплоскости (область 
)
и нижнюю (область 
).
В области
возможно
выделение однозначных ветвей — двух
однозначных функций, одна из которых
отображает
на
,
другая —
на
.
Однозначное отображение всей
плоскости 
невозможно.
Замечание. Проведение разреза в плоскости позволило получить однозначные функции, с которыми можно производить обычные операции
Если
в плоскости 
точка
описывает простую замкнутую кривую,
обходя начало координат, то в плоскости 
ей
будет соответствовать кривая, совершающая
дважды обход вокруг 
.
Точка 
,
при обходе вокруг которой по замкнутой
кривой точка переходит с одного листа
на другой, называется точкой ветвления
.
Также точкой ветвления
является
точка 
.
Аналогично
можно исследовать n-листную функцию 
и
обратную к ней 
.