Лекция 2. Функции комплексного переменного
Основные понятия функций комплексного переменного
Пусть
заданы два множества 
и 
комплексных
чисел.
Если
каждому значению 
ставится
в соответствие число 
,
то говорят, что на множестве
задана
функция 
комплексного
переменного, т.е.
Если
записать комплексные числа 
и 
в
алгебраической форме:
,
то замечаем, что действительная 
и
мнимая
части
функции
являются функциями действительных
переменных 
и 
и 
.
Задание
функции 
эквивалентно
заданию на множестве
двух
функций 
двух
действительных переменных.
Кроме
того, если для числа
записать
модуль
и аргумент
для
и 
при
если
и
если
,
то получим аналогичное утверждение.
Задание функции комплексного
переменного
равносильно
заданию двух функций двух действительных
переменных. Первая из функций определяет
модуль функции: 
,
вторая — аргумент функции: 
,
где 
в
точках, в которых 
если
и 
если
.
Пример
1. Найти
значение функции
в точках
и
.
Решение.
.
.
Пример
2. Найти 
,
если а) 
;
б) 
.
Решение.
а)
,
,
.
б)
,
,
.
Отображения на комплексной плоскости
y
v
(рис.
3.1).
W1
Z1
W2
Z2
Z3
Рис. 3.1.
x
u
Точка называется образом точки при отображении , точка — прообразом.
По
определению предполагается однозначность
отображения, т.е. каждому числу
соответствует
единственное значение
,
но при этом может оказаться, что
точка
является
образом двух или более точек
(на
рис. 2.1 это точка
,
так как
и
).
Если
любое значение
является образом только одной точки
,
то отображение называется однолистным
в области
,
в противном случае — неоднолистным. Из
определения следует, что однолистное
отображение является взаимно однозначным
отображением.
Простейшими
однолистными (во всей комплексной
плоскости) отображениями являются
отображения 
.
Первое отображает любую область, в том
числе и всю комплексную плоскость, на
себя, второе — верхнюю полуплоскость
на нижнюю полуплоскость, а нижнюю на
верхнюю.
Примером
неоднолистного в 
отображения
является 
.
Действительно, различным точкам,
например 
и 
,
соответствует одно значение 
,
а точкам 
—
одно значение 
.
Неоднолистным отображением является
и 
.
Каждой точке 
,
соответствуют 
значений 
.
В силу этого отображение
если
называют
n-листным, а отображение
—
двулистным.
Из
определения получаем и условие
однолистности отображения, отображение
является однолистным на множестве
,
если для любых точек 
и 
,
принадлежащих
,
равенство 
выполняется
тогда и только тогда, когда 
.
Иначе: отображение однолистно на
множестве
,
если множество не содержит ни одной
пары чисел
и
,
таких, что 
и
выполняется условие
.
Пример 3. Найти область однолистности функции .
Решение.
Во всей
комплексной плоскости отображение не
является однолистным. Но можно найти
множество, где условие однолистности
будет выполнено, то есть множество,
которое не содержит двух различных
точек
,
для которых выполняется равенство
.
Рассмотрим разность
.
При
равенство
выполняется, если
.
Таким образом, функция однолистна в
области, которая не содержит две точки
такие, что
.
Эти точки надо расположить на границе
области. Так как этому условию удовлетворяют
точки симметричные начала координат,
то в качестве границы области следует
взять любую кривую, проходящую через
начало координат. Например, такой
областью является полуплоскость
.
Причем, она отображается во всю комплексную
плоскость с разрезом по действительной
полуоси, которая пробегается дважды.
На рис. 3.2 направление обхода указано
стрелкой. Аналогично полуплоскость
отображается во всю плоскость с разрезом,
только меняется направление обхода.
(w)
(Z)
Рис. 3.2
Пример
4.
Исследовать на однолистность отображения:
а)
;
б)
;
в)
.
Решение.
а)
Отображение однолистно во всей комплексной
плоскости, так как для
и
равенство
выполняется только тогда, когда
.
б)
При
и
имеем
,
если
.
Отображение однолистно в любой области,
не содержащей начало координат.
в)
Во всей плоскости функция не является
однолистной, так как, например, для точек
и
значения функции совпадают, так как
.
Однолистным
отображение будет в любой области,
принадлежащей углу раствора
с вершиной в начале координат. Каждый
такой угол функция
отображает на всю плоскость с разрезом
по лучу
(рис. 3.3).
(z)
(w)
Рис.
3.3