Детерминированные конечные автоматы.

ДКА является частным случаем НКА. В нем:

• нет состояния с ε-переходами;

• для каждого состояния S и входного символа а существует не более одной дуги, исходящей из S и помеченной а.

ДКА имеет лишь максимум один переход для любого входного символа из каждого состояния. Если для представления функции переходов ДКА использовать таблицу, то в каждой записи будет содержаться лишь одно состояние. Таким образом, легко проверить, допускает ли данный ДКА некоторую строчку, так как есть лишь один путь из стартового состояния, который помечен этой строкой.

На рисунке 3 показан граф переходов ДКА, допускающий тот же язык (a|b)^*a(a|b)(a|b), что и НКА на рисунке 1.

Рисунок 3. ДКА, допускающий строку (a|b)^*a(a|b)(a|b).

Детерминированный конечный автомат M, допускающий данный язык:

M = {{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, {a, b}, D, 1, {3, 5, 6, 8}}

Функция переходов D определяется так:

	D(1, a) = 2,	D(5, a) = 8,
	D(1, b) = 1,	D(5, b) = 6,
	D(2, a) = 4,	D(6, a) = 2,
	D(2, b) = 7,	D(6, b) = 1,
	D(3, a) = 3,	D(7, a) = 8,
	D(3, b) = 5,	D(7, b) = 6,
	D(4, a) = 3,	D(8, a) = 4,
	D(4, b) = 5,	D(8, b) = 7.

Построение нка по регулярному выражению

1. Для ε НКА имеет следующий вид (0 – начальное состояние, 1 – конечное):

2. Для а, входящего в данный язык НКА:

3. Пусть N(s) и N(t) – НКА для регулярных выражений s и t.

1. Для регулярного выражения s|t составной НКА имеет следующий вид:

b. Для регулярного выражения st НКА:

с. Для выражения s* НКА имеет вид:

d. Для выражения в скобках (s) используется НКА N(s) как в пункте а.

Каждое новое состояние получает индивидуальное имя. Построение НКА N(r) имеет следующие свойства:

1. N(r) имеет количество состояний, которое не превышает количества символов более чем в 2 раза.

2. N(r) имеет ровно одно начальное и одно конечное состояние. Конечное состояние не имеет исходящих переходов.

3. Каждое состояние N(r) имеет либо 1 переход для символа из алфавита (), либо не более 2-й исходящих ε-переходов.

Преобразование нка в дка.

НКА на рисунке 1 имеет 2 перехода из состояния 0 для символа а: состояния 0 и 1. Такой переход неоднозначен, как и переход по ε. Моделирование таких НКА с помощью компьютерной программы значительно затрудняется. Определение допустимости утверждает, что должен существовать некоторый путь из начального состояния к конечному, но когда есть несколько путей для одной и той же входной строки, их надо рассматривать все, чтобы найти путь к заключительному состоянию или выяснить, что такого пути нет.

В таблице переходов НКА каждой записи соответствует множество состояний, а в таблице переходов ДКА – лишь одно. Суть преобразования состоит в том, что каждое состояние ДКА соответствует множеству состояний НКА. ДКА использует свои состояния для отслеживания всех возможных состояний, в которых НКА может находиться после чтения очередного входного символа. То есть после чтения входного потока ДКА находится в состоянии, которое представляет некоторое множество состояний НКА, достижимых из начального по пути, соответствующему входной строке. Количество таких состояний ДКА может значительно превышать количество состояний НКА (экспоненциальная зависимость), но на практике это встречается крайне редко, а порой в ДКА даже меньше состояний, чем в НКА.

Рассмотрим подобное преобразование на конкретном примере. На рисунке 4 изображен еще один НКА, который допускает язык (a|b)^*a(a|b)(a|b) (как и на рисунках 1 и 3).

Рисунок 4. НКА, допускающий язык (a|b)^*a(a|b)(a|b)

Изображенный на рисунке переход из состояния 13 в состояние 14 может быть представлен аналогично переходу из 8-го в 13-е состояние.

Построим ДКА для данного языка. Стартовое состояние эквивалентного ДКА представляет собой состояние A ={0, 1, 2, 4, 7}, то есть те состояния, в которые можно попасть из 0 по ε.

Алфавит входных символов представляет собой {a, b}. Из начального состояния А можно вычислить состояние, достижимое по а. Назовем это состояние В = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 13, 14}.

Среди состояний в А только состояние 4 имеет переход по b в состояние 5, так что ДКА имеет переход по b из А в состояние С = {1, 2, 4, 5, 6, 7}.

Если продолжить этот процесс с состояниями В и С, все множества состояний НКА будут помечены. Таким образом будем иметь множества состояний:

A = {0, 1, 2, 4, 7}

В = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 13, 14}

С = {1, 2, 4, 5, 6, 7}

D = {10, 12, 13, 14}

E = {14}

Состояние А – начальное, а состояния B, D, E – заключительные.

Полностью таблица переходов приведена ниже.

Состояние	Входной символ
	а	b
А	B	C
B	B	D
C	B	C
D	E	E

Ниже на рисунке 5 приведен сам ДКА для этого языка.

Рисунок 5. ДКА, допускающий язык (a|b)^*a(a|b)(a|b)

Список использованной литературы:

1. Пентус А. Е., Пентус М. Р. – Теория формальных языков

2. А. Ахо, Р. Сети, Д, Ульман – Компиляторы: принципы, технологии, инструменты.