Лекция №8

Мы получили систему дифференциальных уравнений первого порядка:

(1)

(2)

(3)

Одно из этих уравнений необходимо отбросить и добавить уравнение нормировки:

1

Эта система уравнений позволяет описать переходный процесс во времени. Для этого нужно задать состояние системы в нулевой момент времени. Пусть

Изменить

Если наблюдать за системой достаточно долго, то можно говорить о некотором стационарном поведении системы. Решается эта система достаточно сложно. Стационарные характеристики такой системы получаются достаточно легко: для n< этот предел всегда существует, если же n, то предел не всегда существует. Пусть , тогда взяв предел от левой и правой части каждого уравнения системы получим:

Следовательно:

(1*)

(2*)

(3*)

Решим получившуюся систему уравнений. Из (3*) => . Решаем (1*) и (3*) при i=1:

Отсюда следует:

ДЗ. Пусть =. Чему равняется вероятность пребывания в том либо в другом состоянии ? Чему равно среднее время выполнения команды этой системой.

Пусть n=. Чему равны Р_i при 1) = 2) < 3) > ? Чему равно среднее число команд в системе при n< ?

Вложенные цепи Маркова. Произвольная функция распределения.

Время одного из устройств описывается произвольной функцией распределения ( например ОП ), а время другого - экспоненциальным законом (ЦП). Если наблюдать за системой в любой момент времени t, то время выборки команды из ОП зависит от того, сколько она этим уже занималась. Существует прием, который позволяет решать такие системы, который заключается в том, что мы наблюдаем за системой не в любой малый интервал времени (t), а в «специальный». В качестве «специального» будем считать время, непосредственно перед появлением команды из ОП. Для описания системы введем вероятность Р_i - вероятность того, что в БП+ЦП находиться i команд в момент времени перед появлением очередной из ОП и q_i - вероятность того, что за время выборки одной команды ОП ЦП выполнит ровно i команд. Следовательно поведение системы может быть описано с помощью матрицы переходных вероятностей.

Номер столбца - состояние системы после завершения работы ОП и номер строки - состояние системы до появления команды из ОП. Предположим система находится в состоянии 0. Из этого состояния можно попасть только в состояние 0 или 1 с вероятностями 1-q₀ и q₀ соответственно. Если система находиться в состоянии 1, то из него она может попасть в состояние или 0, или 1 или 2 с вероятностями 1-q₀-q₁ и q₁ и q₀ соответственно и т.д.

При i=n+1 команда, которая должна быть считана из ОП не может поступить в БП, следовательно происходит блокировка работы ОП, при этом сама команда останется в ОП. После выполнения одной команды ЦП, система перейдет в состояние n, следовательно к таблице надо приписать еще одну строку:

Время блокировки равно времени выполнения, которое осталось для обслуживания команды в ЦП. Время пребывания системы в i-ом (i=0,1,2,...,n) равно времени выполнения одной команды ОП. Время пребывания системы в состоянии n+1 равно времени выполнения одной команды ОП плюс одной команды в ЦП.

Среднее время выполнения одной команды системой:

, где Т_ОР - среднее время выборки одной команды ОП, а 1/ - среднее время выполнения одной команды в ЦП.

Необходимо определить Р_n+1, если q_i известны. Для этого решим систему:

В этой системе одно уравнение линейно зависимо, следовательно надо отбросить любое уравнение и добавить уравнение нормировки.