Лекция №6. Геометрическое распределение.

Системы (*) и (**) (см. прошлую лекцию) определяют функцию распределения времени выполнения команды в устройстве. В этом случае граф переходов будет очень сложным и определить в явном виде вероятности простоя сложно. Если мы зададим функцию распределения более упрощенно, то мы продвинемся в решении задачи. В связи с выше сказанным введем для описания времени выполнения команды в устройстве геометрический закон распределения.

Геометрическое распределение характеризуется двумя параметрами периодом () и вероятностью () повторения данного периода.

Посмотрим, как геометрическое распределение вводится для нашего случая: с вероятностью 1- время выполнения команды равно ; с вероятностью (1-) время выполнения равно 2; и т.д. с вероятностью (1-)^i-1 время выполнения команды равно i. Таким образом в конце любого периода с вероятностью  команда продолжает выполнятся, а с дополнительной вероятностью (1-) закончит свое выполнение.

Пример.

Определим состояние системы тремя параметрами U₁U₂U₃, где U₁ - указывает сколько времени осталось до завершения считывания команды из ОП; U₂ - количество команд в буфере; U₃ - показывает выполняется (1) или не выполняется (0) команда в ЦП.

Построим граф переходов данной системы.

Составим систему уравнений

В данной системе одно уравнение линейно зависимо, следовательно надо отбросить любое уравнение и добавить уравнение нормировки. Решается эта система любым из известных способов.

Найдем _цп

Лекция №7. Экспоненциальное распределение.

Экспоненциальное распределение является непрерывным распределением и является приближением геометрического распределения, т.к. при стремлении такта к 0 геометрическое распределение стремиться к экспоненциальному.

Определение: - вероятность того, что выполнение команды завершится к моменту времени t.

Для экспоненциального закона распределения .

F(t)

1

t

Дополнении к функции распределения: - вероятность того, что выполнении команды не закончиться к моменту t.

Плотность вероятности:

ДЗ. Просмотреть свойства экспоненциального закона распределения. Математическое ожидание, дисперсия, первый и второй моменты.

Рассмотрим такую модель:

Поскольку время выполнения команды не зависит от того сколько данная команда выполнялась до этого нет необходимости вводить параметр, который будет содержать информацию о том сколько времени уже выполняется команда в процессоре, или в памяти, или одновременно и там и там, следовательно достаточно указать сколько находиться команд в системе (от 0 до n+1). Рассмотрим состоянии системы в некоторый момент времени t. Введем Р_i(t) - вероятность того, что в момент наблюдения t в системе находится ровно i команд. При i=0,1,...,n+1 ОП не может быть заблокировано. Введем n+2 состояние и будем считать, что в этом состоянии ОП заблокировано.

Найдем Р_i(t). Для этого рассмотрим малый интервал времени t и пусть в момент t+t система находиться в состоянии i. Найдем вероятность P_i(t+t) для всех значениях i. В момент времени t система могла находиться в любом состоянии. Посмотрим как можно из состояния системы в момент времени t попасть в состояние i в момент времени t+t.

1. 0<i<n+2

вероятность того, что ни ОП, ни ЦП не завершит обработку команды или оба устройства выполнят одно и тоже число команд.

Определим вероятность того, что за t ни ОП, ни ЦП не завершит обработку команды:

ДЗ. Разложение е^х.

Символ О(t) означает величины, для которых справедливо O(t )/ t 0 при t. Вероятность того, что за t устройствами будет выполнено ровно по к команд равняется О(t).

Действительно: .

Поэтому:

+ вероятность того, что за время t 1) ЦП выполнит 1 команду, а ОП - 0 команд, либо 2) ЦП выполнит на 1 команду больше чем ОП.

Определим вероятность первого события: .

Вероятность второго события равна О(t). Следовательно:

+

вероятность того, что 1) ЦП выполнит 2 команды, а ОП ни одной, либо 2) ЦП выполнит на 2 команды больше, чем в ОП.

Определим вероятность первого события: .

Вероятность второго события равна О(t). Отсюда вероятность попадания в состояние i из состояния i+2 равна О(t), аналогично и из состояния i-2. Следовательно и из состояний i3, i4,...,ik вероятность попадания в состояние i равна О(t).

Мы получили формулу полной вероятности того, что система окажется в момент времени t+t в состоянии i (0<i<n+2):

+

( возьмем предел каждой части равенства при t)