Системы n линейных уравнений c n неизвестными.

Общий вид системы уравнений (m=n):

(3).

Матрица А такой системы является квадратной: А= (5) и она имеет определитель Δ, который называется определителем системы.

Контрольные вопросы:

1. Что такое элементарные преобразования матрицы? (ОК-1, ОК-2, ОК-11)

2. В чем заключается метод Гаусса для решения систем линей­ных уравнений? (ОК-1, ОК-2, ОК-11)

3. Как найти определитель матрицы методом Гаусса? (ОК-1, ОК-2, ОК-11)

4. Как найти обратную матрицу методом Гаусса? (ОК-1, ОК-2, ОК-11)

5. Как найти ранг матрицы методом Гаусса? (ОК-1, ОК-2, ОК-11)

6. Как методом Гаусса определить, будет ли система совместной или нет, определённой или нет? (ОК-1, ОК-2, ОК-11)

7. Как записать базисное множество решений неопределённой системы? (ОК-1, ОК-2, ОК-11)

8. Какие неизвестные называются главными, какие свободными? (ОК-1, ОК-2, ОК-11)

9. Какими свойствами обладают решения однородной системы линейных уравнений? (ОК-1, ОК-2, ОК-11)

10. Может ли однородная система линейных уравнений быть не­совместной? При каком условии она имеет более одного решения? (ОК-1, ОК-2, ОК-11)

Практические задания общие (ОК-1,ОК-2,ОК-11):

Пример 1. Решить систему уравнений методом Гаусса

(ОК-1, ОК-2, ОК-11)

Решение. Выпишем расширенную матрицу системы, состоящую из коэффициентов при неизвестных и свободных членов уравнений (столбец свободных членов отделим вертикальной чертой) и приведем ее к ступенчатому виду.

Поменяем местами 1-ю и 3-ю строки

Прибавим к 2-й и 3-й строкам 1-ю строку, умноженную соответственно на (-3) и на 2, чтобы получить нули в 1-м столбце во всех строках, начиная со 2-й

 

Символ «» между матрицами означает, что матрицы эквивалентны (у них одинаковые ранги), но не равны.

 = .

Теперь прибавим к 3-й строке 2-ю строку, умноженную 7/5, чтобы обнулить коэффициент при x₂ в 3-м уравнении.

~ =

Наконец, умножим 3-ю строку на 5, чтобы «избавится» от дробей. В результате преобразований получили матрицу ступенчатого вида.

Эта матрица представляет собой расширенную матрицу системы уравнений, эквивалентной данной системе. Запишем систему уравнений с новыми коэффициентами.

Из последнего уравнения найдем x₃, из 2-го найдем x₂, а из 1-го – x₁.

Проверка:

Ответ: (1; 2; 3).

В этом примере система имеет единственное решение. Рассмотрим пример, когда система имеет множество решений.

Пример 2. Решить систему уравнений: (ОК-1, ОК-2, ОК-11)

Решение.

  .

(Для приведения матрицы к ступенчатому виду мы прибавили к 2-й и 3-й строкам 1-ю строку, умноженную на (-1) и (-2) соответственно, а затем прибавили к 3-й строке 2-ю строку, умноженную на 3). В результате получим систему уравнений:

Так как число переменных в системе (4) больше числа уравнений (3), то одну переменную, например x₄, объявим свободной, (она может принимать любые значения), а остальные переменные выразим через нее.

Проверка:

Ответ: (27-с; -8; -2-с; с), сR.

Замечание . Количество свободных переменных равно разности числа переменных и числа уравнений в получившейся после элементарных преобразований системе.

В некоторых задачах, связанных с системами уравнений, бывает важно знать, имеет ли система решение и если имеет, то сколько. Ответить на этот вопрос, не решая систему, позволяют следующие теоремы.

Теорема 1. (Кронекера-Капелли) Система линейных уравнений имеет решение тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу ее расширенной матрицы.

Теорема 2. Если система имеет решение и ранг матрицы системы равен числу переменных, то это решение единственное, а если ранг меньше числа переменных, то система имеет бесконечное множество решений.

Пусть система имеет бесконечное множество решений, т.е. r<n, где r – ранг матрицы, n- количество переменных.

Определение. r переменных x₁, x₂,…,x_r (rn) системы (1) называются базисными, если определитель из коэффициентов при них отличен от нуля. Остальные (n-r) переменные называются свободными. Решение системы, в котором все свободные переменные равны, нулю называется базисным.

Замечание . Система имеет конечное число базисных решений, не превосходящих - количество сочетаний из n по r, где n – число переменных, r – ранг матрицы системы.

Пример 3. Выяснить имеет ли система решение и если имеет, то

сколько, не решая ее (ОК-1, ОК-2, ОК-11):

а) б)

Решение. а) Найдем ранги матрицы системы и расширенной матрицы:

rangA=2, так как .

, так как . Так как , то по теореме Кронекера-Капелли система не имеет решений.

б) , rangA=2, так как .

, так как . Так как , то система имеет решение. А поскольку число переменных больше ранга матриц, то система имеет бесконечное множество решений.

Ответ: а) не имеет решений; б) имеет бесконечное множество решений.

Пример 4. (ОК-1, ОК-2, ОК-11):

Найти все базисные решения системы уравнений(ОК-1, ОК-6, ОК-12)

Решение. Решим систему методом Гаусса. В результате элементарных преобразований получим систему ступенчатого вида:

Так как число переменных – 4, а число уравнений – 2, то 2 переменные являются свободными, остальные 2 – базисными. Общее число групп переменных (по две), которые можно выбирать в качестве базисных из 4-х переменных равно . Это группы (x₁, x₂), (x₁, x₃), (x₁, x₄), (x₂, x₃), (x₂, x₄), (x₃, x₄).

В качестве базисных можно выбрать любые две переменные, определитель из коэффициентов при которых не равен нулю.

Для каждой группы переменных вычислим определители из коэффициентов при них:

Итак, базисными могут быть все пары, кроме (x₂, x₃), так как .

Найдем 1-е базисное решение, взяв в качестве базисных переменных x₁ и x₂,тогда свободными являются x₃ и x₄. Выразим базисные переменные через свободные переменные:

Теперь присвоим свободным переменным, нулевые значения и найдем базисные переменные.

.

(7; 5; 0; 0) – 1-е базисное решение.

Аналогично найдем остальные базисные решения:

(7; 0; -5; 0), (3/4; 0; 0; -5/4), (0; -3/5; 0; -7/5), (0; 0; 3/5; -7/5).

Проверка: подставим в систему первое базисное решение.

Остальные решения проверяются аналогично.

Ответ: (7; 5; 0; 0), (7; 0; -5; 0), (3/4; 0; 0; -5/4), (0; -3/5; 0; -7/5), (0; 0; 3/5; -7/5).

Определение. Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены уравнений равны нулю.

Однородная система линейных уравнений имеет вид:

Такая система всегда имеет решение, по крайней мере, нулевое (x₁=x₂=…=x_n=0), которое называют тривиальным.

Теорема . Однородная система линейных уравнений имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы меньше числа переменных, причем таких решений бесконечное множество.

Замечание . Если в однородной системе число уравнений равно числу переменных, то по теореме Крамера такая система будет иметь ненулевое решение тогда и только тогда когда определитель матрицы системы равен нулю, иначе эта система имеет единственное нулевое решение.

Пример 5. (ОК-1, ОК-2, ОК-11):

Решить однородную систему уравнений:

Решение. Вычислим определитель матрицы системы.

. Так как столбец свободных членов уравнений – нулевой, то определители ₁, ₂, ₃, в которых он присутствует, равны 0. Следовательно, по теореме Крамера система имеет единственное решение .

Ответ: (0, 0, 0).

Обозначим решения системы уравнений (7) ₁, ₂,…, _i, где некоторое i-е решение.

Определение . Набор линейно независимых решений ₁, ₂,…, _k однородной системы линейных уравнений называется фундаментальным набором решений, если каждое решение  системы уравнений является линейной комбинацией решений из этого набора.

Теорема . Всякий фундаментальный набор решений состоит из n-r решений, где n- количество переменных, а r- ранг матрицы системы.

Замечание . Фундаментальный набор решений не единственен. Каждому набору базисных переменных соответствует свой фундаментальный набор решений.

Пример 6. Найти фундаментальный набор решений однородной системы линейных уравнений (ОК-1, ОК-2, ОК-11):

Решение. Решим эту систему методом Гаусса. В результате элементарных преобразований получим систему ступенчатого вида:

Если выбрать в качестве базисных переменные x₁ и x₂ (проверьте, что это можно сделать), то x₃, x₄ будут свободными переменными. Решение системы имеет вид (5с₁-9с₂; -3с₁+2с₂; с₁; с₂), с₁, с₂R. Это, так называемое, общее решение системы.

Т.к. ранг матрицы системы равен 2, а число переменных – 4, то число решений в фундаментальном наборе равно 4-2=2 (см. Теорему 4.5.).Один из способов нахождения фундаментального набора решений состоит в следующем. Выбираем одну из свободных переменных и полагаем ее равной 1, для остальных свободных переменных берем нулевые значения, и определяем значения базисных переменных. Так мы получаем некоторое частное решение данной системы. Выбирая другую свободную переменную и полагая ее равной 1, а остальные свободные переменные – нулю, получим другое частное решение. Так находим все частные решения, число которых совпадает с числом свободных переменных. Эти частные решения и образуют фундаментальный набор решений. Вычисления оформим в виде таблицы:

x1	x2	x3	x4
5	-3	1	0
-9	2	0	1

Итак, получили фундаментальный набор решений: (5; -3; 1; 0), (-9; 2; 0; 1). Любое решение системы может быть представлено в виде линейной комбинации решений из фундаментального набора, а именно:

с₁(5; -3; 1; 0)+с₂(-9; 2; 0; 1)=(5с₁-3с₂; -3с₁+2с₂; с₁; с₂), с₁, с₂R.

Если в качестве базисных переменных выбрать другие, например, x₁ и x₄, то мы получим другой фундаментальный набор решений: (1; -0,6; 0,2; 0), (0; -3,4; 1,8; 1). (Проверьте самостоятельно).

Ответ: (5; -3; 1; 0), (-9; 2; 0; 1).