Контрольные вопросы по теме:

1. Что такое определитель системы линейных уравнений? (ОК-1, ОК-2, ОК-11)

2. Какие системы называются совместными, несовместными, опре­делёнными, неопределёнными, однородными, неоднородными?

(ОК-1, ОК-2, ОК-11)

3. Что такое решение системы? (ОК-1, ОК-2, ОК-11)

4. Что такое матрица системы линейных уравнений? (ОК-1, ОК-2, ОК-11)

5. Как записать систему линейных уравнений в матричной форме? (ОК-1,

ОК-2, ОК-11)

6. Как найти решение системы линейных уравнений в матричной форме

(ОК-1, ОК-2, ОК-11)

Теоретические задания в тестовой форме (ОК-1, ОК-2, ОК-11, ПК-1):

1. Если AY = C – матричное уравнение, в котором A, C, Y – матрицы, первые две из которых являются квадратными матрицами порядка n > 1, то укажите размер матрицы Y:

n×1;

1×n;

m×n, m ≠ n;

n×n;

2×2.

2. Решить матричное уравнение AY = C, где A и C – известные квадратные матрицы порядка n, означает

найти матрицу AC;

найти матрицу CA;

найти такую матрицу B порядка n (если она существует), для которой AВ = C;

найти матрицу А^–1 или убедиться в том, что такой матрицы не существует;

найти произведение матриц А^–1·С, если матрица А^–1 существует.

3. Пусть A, C, Y – квадратные матрицы порядка n; Y_i, C_i – i-е столбцы матриц Y и C соответственно, i = 1, 2, …, n. Тогда уравнение AY = C

и матрицу D= (A|C) называют соответствующими;

задает n систем линейных уравнений A Y_i = C_i, i = 1, 2, …, n, с единой матрицей коэффициентов А;

задает (n + 1) матричных уравнений A Y_i = C_i, i = 1, 2, …, n+1;

имеет расширенную матрицу (A|C) размера n×2n;

имеет расширенную матрицу (С|А) размера n×2n.

4. Строку расширенной матрицы (A|C), составленной для матричного уравнения AY = C, где A, Y, C – квадратные матрицы порядка n, будем называть противоречивой, если

она состоит из одних нулей;

первые ее n элементов – нули, а остальные отличны от нуля;

первые ее n элементов отличны от нуля, а остальные – нули;

первые ее n элементов – нули, а среди остальных элементов найдется хотя бы один ненулевой;

в ней нет нулевых элементов.

5. Если расширенная матрица уравнения AY = C, где A, Y, C – квадратные матрицы порядка n, содержит противоречивую строку, то можно утверждать, что матричное уравнение

имеет хотя бы одно решение;

имеет, по крайней мере, одно решение;

не имеет решений;

имеет единственное решение;

имеет бесконечно много решений.

6. Дано матричное уравнение AY = C с квадратными матрицами A, Y, C порядка n. Отметьте верные высказывания:

 если матрица А невырожденная, то уравнение AY = C можно решить методом Гаусса;

 если А – невырожденная матрица, то уравнение не имеет решений;

 если А – вырожденная, а С – невырожденная матрица, то уравнение не имеет решений;

 если А – невырожденная, а С – вырожденная матрица, то уравнение имеет бесконечно много решений;

 уравнение имеет единственное решение, если и только если матрица А – невырожденная.

7. Для матричного уравнения AY = C с квадратными матрицами A, Y, C одного и того же порядка укажите верные утверждения, описывающие взаимосвязь количества решений уравнения и свойств матриц А и С:

 уравнение имеет единственное решение, если матрицы А и С невырожденные;

 уравнение не имеет решений, если матрица А – вырожденная, а матрица С – невырожденная;

 уравнение не имеет решений, если матрица А – невырожденная, а матрица С – вырожденная;

 если решение уравнения единственно, то матрица А – вырожденная;

 если обе матрицы А и С – вырожденные, то уравнение может либо не иметь решений, либо иметь решение в зависимости от вида этих матриц.

8. Пусть A – квадратная матрица порядка n, Е – единичная матрица того же порядка. Матрицей, обратной для матрицы А, называется решение Y матричного уравнения:

 А+Y = E;

 А∙Y = E;

 Y·A = E;

 А+E = Y;

 А–Y = E.

9. Укажите матрицы, для которых обратные матрицы либо не существуют, либо вообще не определяются:

 вырожденные матрицы;

 невырожденные матрицы;

 квадратные матрицы, все элементы которых нулевые;

 прямоугольные матрицы размера m×n, где m ≠ n;

 матрицы, содержащие строку (столбец), состоящую из одних нулей.

10. Укажите верные высказывания:

 если матрица невырождена, то она имеет обратную;

 если матрица вырождена, то, в зависимости от ее вида, она может либо иметь, либо не иметь обратную матрицу;

 любая вырожденная матрица имеет обратную матрицу;

 матрица, имеющая обратную, невырожденная;

 матрица, имеющая обратную, является вырожденной.

11. Если А^–1 – матрица, обратная для матрицы А, то справедливы следующие высказывания:

обратной для матрицы А^–1 является матрица А;

матрицы А и А^–1 являются взаимно обратными;

А· А^–1 = Е;

А^–1·А = Е;

(А^–1)^–1 = А.

12. Среди следующих квадратных матриц укажите такую, которая обратна самой себе:

;

;

;

;

.

13. Среди следующих матриц укажите обратную матрицу для матрицы :

;

;

;

;

.

14. Среди следующих матриц укажите обратную (если она существует) для матрицы :

;

;

;

такой матрицы не существует;

.

15. Если A, В, Е – квадратные матрицы, для которых выполняется равенство A·В = Е, то отсюда следует, что

 А – невырожденная матрица;

 В – невырожденная матрица;

 А – обратная для В матрица;

 В – обратная для А матрица;

 выполняется равенство В·А = A·В.

16. Пусть A, Y, C – квадратные матрицы порядка n, причем А – невырожденная матрица. Тогда относительного матричного уравнения AY = C можно утверждать, что

 оно не имеет решения;

 оно имеет единственное решение;

 решением уравнения является матрица А^–1С;

 для решения уравнения можно использовать метод Гаусса;

 уравнение имеет более одного решения.