1.9 Курстың саясаты мен əрекеттері
Беріліп отырған пəн Сізді сызба геометрия жəне сызу саласында тұғырлы
болуға көмектеседі. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
«Сызба |
геометрия |
жəне |
компьютерлік |
» графикапəні |
бойынша |
||||||||
тапсырмалардың |
жəне |
бақылаудың |
келесідей |
түрлері |
қарастырылған: |
||||||||
зертханалық |
жұмыстар, міндетті |
графикалық жұмыстар,есептер |
шығару, |
||||||||||
шектік бақылау. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Жұмыстардың |
барлық |
түрлері |
тиесілі |
уақытта |
орындалып,тапсырылуы |
||||||||
қажет. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Тапсырманың барлық түрлерін орындамаған студенттер,емтиханға жіберілмейді.
Студент ³ 50% жинаған кезде қорытынды бақылау(емтихан) тапсырылды деп есептеледі. Студент бақылаудың барлық түрлерін орындап, рейтингтік пайыздың қосындысында ³ 50% жинаған кезде қорытынды бақылауға(емтихан) жіберіледі.
10
2. Берілетін материалдың мазмұны.
6-кесте
2.1 Пəннің тақырыптық жобасы.
Тақырыптың аты |
|
|
|
|
Академиялық сағат саны |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
Дəріс |
Зерт.СОӨЖ |
СӨЖ |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
1. Сызба геометрия. Кіріспе. Проекциялар əдісі. Монж |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
эпюрі. Монж эпюрінде жалпы жəне дербес жағдайдағы |
2 |
2 |
4 |
4 |
|
|
|||||||||||||||||||||
түзулер. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Компьютерлік |
графика. |
AutoCAD |
графикалық |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
жүйесімен танысу. Графикалық |
примитивтер(нүкте, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
кесінді, шеңбер, доға, сақина, эллипс, көпбұрыш, жолақ) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
жəне оларды тұрғызу. Примитивтерді салудың əдістері, |
0 |
3 |
3 |
3 |
|
|
|||||||||||||||||||||
орындалған |
примитивтердің |
қасиеттерінзгерту.ө |
|
|
|||||||||||||||||||||||
Мəтінді жазу. Біржолдық жəне көпжолдық мəтін. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Мұқаба бетті құру. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
2. Сызба геометрия. Жазықтық. Позициялық есептер. |
2 |
2 |
4 |
4 |
|
|
|||||||||||||||||||||
Компьютерлік графика. Қабаттар. Жаңа |
қабат құру. |
|
|
||||||||||||||||||||||||
Қабаттың қасиеттерін орнату.Сызбаны құрудың шү |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
негізгі даярлық |
қадамдары жəне |
түйіндесу |
элементтері |
0 |
2 |
2 |
2 |
|
|
||||||||||||||||||
бар жазық сызбаны орындау. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
3. Сызба геометрия. Көпжақтар. Көріністер, тіліктер, |
3 |
3 |
6 |
6 |
|
|
|||||||||||||||||||||
қималар. Аксонометриялық проекциялар. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Компьютерлік |
графика. |
AutoCAD |
графикалық |
0 |
2 |
2 |
2 |
|
|
||||||||||||||||||
жүйесінде көріністер мен тіліктерді орындау. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Сызба геометрия. Метрикалық есептер. Сызбаны
түрлендірудің əдістері. |
AutoCAD |
2 |
2 |
4 |
4 |
|
||
Компьютерлік |
графика. |
графикалық |
|
|
|
|
||
жүйесінде 3 өлшемді күрделі, |
қатты денелі объектін |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||||
құру. Үшөлшемді объектілерді өзгерту. |
0 |
2 |
2 |
2 |
|
|||
Сызба геометрия. Қисық сызықтар мен бетте,
Беттердің жазықтықпен жəне түзумен қиылысуы. |
|
|
2 |
2 |
4 |
4 |
|
|||||||||||||||||||||
Компьютерлік графика. Объектінің үшөлшемді моделі |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
негізінде жазық |
сызбаны |
орындау. |
Парақ кеңістігінде |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
0 |
2 |
2 |
2 |
|
|||||||||||||||||||||||
сызбаны орналастыру. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
6. |
Сызба геометрия. |
Беттердің |
өзара |
иылысуық. |
2 |
2 |
4 |
4 |
|
|||||||||||||||||||
Көпжақты жəне қисық беттердің жаймасы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
2 |
2 |
2 |
|
|||||||||||||||||||||
Компьютерлік графика. Айналу денесін құру. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
7. |
Сызба |
геометрия. Сандық |
белгілері |
б |
2 |
2 |
4 |
4 |
|
|||||||||||||||||||
проекциялары. Сандық белгілері бар проекциялардағы |
|
|||||||||||||||||||||||||||
позициялық есептер. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Компьютерлік |
графика. Ығысу |
денесін |
құру |
нежə |
0 |
2 |
2 |
2 |
|
|||||||||||||||||||
күрделі тілікті орындау. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Барлығы (сағаттар) |
|
|
|
|
|
15 |
30 |
45 |
45 |
|
||||||||||||||||||
11
1.1-сурет
1-дəріс. Кіріспе. Проекциялар əдісі, Монж эпюрі.
Сызба геометрия, үшөлшемді кеңістікті жазықтықта бейнелеудің əдістерін
жəне сызбада кеңістіктік есептерді графикалық түрде |
шешудің əдістерін |
||
зерттейтін матақырыптиканың бір бөлімі. |
|
|
|
Геометриялық фигуралар сызықтық(нүкте, түзу, |
жазықтық), сызықтық |
||
емес (қисық сызық, бет), құрама (көпжақтар жəне т.б.) деп бөлінеді. Кеңістіктің |
|||
негізгі элементі нүкте деп саналады,сондықтан |
барлық |
геометиялық |
|
фигуралар нүктелер жиыны ретінде қарастырылады.Сызба |
геометрияның |
||
негізгі əдісі проекциялар əдісі болып табылады. |
|
|
|
Центрлік проекциялау. Центрлік проекциялау проекция центріS жəне Пi |
|||
проекция жазықтығынан тұрады. Кеңістіктің қандайда бірА |
нүктесінің Аi |
||
проекциясын тұрғызу үшін келесі қадамдарды орындау қажет:
S
A
проекциялаушы
түзуді тұрғызады;
SA –ның Пi жазықтығымен қиылысу нүктесі Аi нүктесін анықтайды.
Ц
ентрлік
проекциялаудың қасиеттері:
нүктенің проекциясы нүкте болып табылады: А®Аi;
түзу түзуге проекцияланады: m®mi (проекциялаушы түзу нүктеге
проекцияланады);
3. қатынастар сақталады: СÎ m ® CiÎ mi.
Параллель проекциялау. Параллель проекциялау центрлік проекцияның жеке түрі болып табылады, ол кезде S проекциялау центрі өзіндік емес болады. Сондықтан, əдетте өзіндік емес проекциялау центрі – S ¥ орнына, s проекциялау бағыты туралы айтады. Центрлік проекцияда айтылған алғашқы үш қасиеті
параллель |
проекциялауға |
да |
əділ |
болады.Параллель |
проекциялаудың |
|
|||||||||||||||
қасиеттері: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
4. параллельдік сақталады: аêêb ® ai êêbi. |
|
|
түзулердегі |
|
кесінді |
|
|||||||||||||||
|
|
|
5. параллель |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
проекцияларының |
|
|
|
сол кесінділердің |
|
|
|||||||||||||
|
|
ұзындықтарына қатынасы тұрақты; |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
6. проекциялар |
жазықтықтарына |
параллель |
|
|||||||||||||||
|
|
түзулердің |
кесінділері, |
жазық |
фигуралар |
еш |
|
||||||||||||||
|
|
бұрмаланусыз проекцияланады (натурал өлшемде). |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
Тік бұрыштап проекциялау. Егер параллель |
|
|
||||||||||||||||
|
|
проекцияның s |
бағыты |
Пi |
жазықтықтығына |
|
|||||||||||||||
1.2-сурет |
препендикуляр |
болса, |
онда |
проекциялау |
тік |
|
|||||||||||||||
бұрышты |
(ортогональ) |
деп аталады. Параллель |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
проекциялаудың барлық қасеттері тік бұрыштап проекциялау |
əдісіне |
əділ |
|
||||||||||||||||||
болады. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
12
-
[Ai Ci ]
[Bi Ci ]
7.
]=
]= cos a,
[ AC
[BC
мұндағы a - АС, ВС кесінділері
жəне Пi
проекциялар жазықтығы арасындағы
бұрыш
(1.2- сурет).
Тікбұрышты үшбұрыш ережесі. АВ кесіндісінің
натурал
шамасы
тікбұрышты
үшбұрыштың
1.3-сурет
гипотенузасына тең, оның бір катеті кесіндінің
Пi жазықтығындағы
проекциясына
, теңал
екінші
катеті –
берілген
проекциялар
ж
азықтығына
дейінгі кесінді ұштарының ара
қашықтықтарының айырымына тең.
Теорема. Тік бұрыш тік бұрышқа проекциялануы үшін бір қабырғасының проекциялар жазықтығына параллель болуы,ал екінші қабырғасының перпендикуляр болмауы қажетті жəне жеткілікті. (1.3-сурет).
а б
1.4-сурет
Сызбаға қойылатын талаптар. Сызбаға келесідей талаптар қойылады: қайтымдылық, нақтылық, қарапайымдылық, көрнекілік. Егер фигураның суреті арқылы оның пішінін, өлшемін жəне кеңістіктегі орнын анықтай алсақ,ондай сызбаны қайтымды деп атайды. Инженерлік тəжірибеде қайтымды сызбалар кеңінен қолданылады: Монж эпюрі, аксонометрия, сызықты преспектива, сандық белгілері бар проециялар.
Монж Эпюрі – қайтымды сызбаның негізгі түрі. Француз матақырыптигі жəне инженері Гаспар Монж (1746-1818жж) кеңістік заттарын тұрғызуға байланысты сол уақытқа дейін жиналған тəжірибелер мен білімдерді жүйеге келтіріп, жалпылап, олардың сызбаларын екі немесе үш өзара перпендикуляр проекциялар жазықтығына тік бұрыштап проекциялау арқылы алуды ұсынды. Осыған байланысты сызбаларды тағы екікөріністік(1.4-сурет) немесе
13
үшкөріністік |
(1.5-сурет) |
деп |
атайды. 1.4а |
суретінде П1(фронталь), |
П2 |
|
(горизонталь) жазықтықтары |
кеңістікті ширек |
деп аталатын4бөлікке |
||||
бөлетіндігі |
көрініп тұр. |
1.4б-суретте алынған сызба қайтымды |
болып |
|||
табылады, себебі онда А |
нүктесінің кеңістіктегі |
координаттарын анықтауға |
||||
болады. Осыдан екікөріністік сызбада кез-келген позициялық жəне метрикалық есептерді шығаруға болатындығын қорытып шығарамыз.
|
|
а |
|
б |
|
|
|
|
1.5-сурет |
||
Монждың |
|
үшкөріністік сызбасы |
екікөріністікОx осіне перпендикуляр |
||
үшінші П3, проекциялар жазықтығын |
қосу арқылы алынады(1.5-сурет). Бұл |
||||
жазықтық профиль проекциялар жазықтығы деп аталады. |
|||||
П1, П2, П3 |
жазықтықтары кеңістікті октанта деп аталатын8 бөлікке бөледі. |
||||
Берілген екі көрініс бойынша үшіншісін тұрғызуға мысал1.5б-суретінде көрсетілген.
Негізгі əдебиет: 1 нег.[8-20 ], 2 нег. [4-30 ] Қосымша əдебиет: 1 қос.[7-14].
Бақылау сұрақтары:
1.Сызба геометрия пəні нені қамтиды?
Центрлік проекциялау əдісінің қасиеттерін атаңыз.
Параллель проекциялау əдісінің қасиеттерін атаңыз.
Сызбаға қойылатын негізгі талаптарды атап шығыңыз.
П1, П2, П3 жазықтықтарында нүктенің проекциялары қалай тұрғызылады?
Декарттық координаттар жүйесіндегі кеңістік нүктесінің координаттары деп нені атаймыз жəне қандай координаттар эпюрде оның горизонталь, фронталь проекцияларын анықтайды?
14
Дəріс 2. Монж эпюріндегі жалпы жəне дербес жағдайдағы түзулер.
m |
түзуі А |
жəне В |
екі нүкте |
арқылы анықталатындықтан,онда оның |
проекциялары |
осы нүктелердің |
проекцияларымен анықталады(2.1-сурет). |
||
Түзуді |
проекциялаудағы |
қатынас |
қасиеті сақталу үшін,түзу проекциялары |
|
аттас нүктелер проекциялары арқылы өтеді: m1(A1,B1); m2(A2,B2); m3(A.3,B3).
-
а
б
2.1-сурет
Проекциялар
кез-келген жағдайда(тек
жазықтығына
қатысты
параллель, перпендикуляр емес) жатқан түзу, жалпы жағдайдағы түзу деп аталады. 2.1-суретінде жалпы жағдайдағы түзу көрсетілген.
Проекциялар жазықтығының біреуіне параллель түзу, деңгей түзу деп аталады(2.2-сурет). Горизонталь проекциялар жазықтығына параллельАВ түзуі горизонталь түзу (горизонталь) h деп аталды.
-
Фронталь
проекциялар
жазықтығына параллель CD
түзуі,
фронталь
түзу
(фронталь) f деп аталды.
Профиль
проекциялар
жазықтығына
параллель EF
түзуі,
профиль
түзу p
деп
а
талды.Деңгей
түзуінің
кесінділері сəйкес проекция-
лар
жазықтығы
2.2-сурет
бұрмалану-сыз
проекцияланады.
Қандай да бір проекциялар жазықтығына перпендикуляр түзуді проекциялаушы деп атайды(2.3-сурет). Проекциялаушы түзудің қандай да бір проекциясының нүкте болуы- оның негізгі белгісі. Проекциялаушы түзу былай деп аталады:
- горизонталь-проекциялаушы, егер ол П2-ге перпендикуляр болса;
15
фронталь- проекциялаушы, егер ол П1-ге перпендикуляр болса;
профиль- проекциялаушы, егер ол П3 -ге перпендикуляр болса.
Түзу |
іздері. Түзудің |
қандай |
да бір |
проекциялар |
жазықтығымен |
|
|||||||||||||
қиылысу нүктесі оның осы проекция жазықтығындағы ізі деп аталады. |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
түзуінің |
горизонталь |
|
|||||||
(a ^ П2 |
|
(b ^ П1 ) |
|
(c ^ П3 ) |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
ізінің |
аппликатасы М = lÇП2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
нольге тең, сондықтан оның М1 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
фронталь проекциясы x12 осінде |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
жатады. Сəйкесінше, фронталь |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
іздің |
N = lÇП1 |
ординатасы |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
нольге тең, бұдан шығатыны - |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
оның |
N2 |
горизонталь |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
проекциясы x12 осінде жатады. |
|
|
|||||||||
|
|
2.3-сурет |
|
|
|
|
l |
түзуінің М |
горизонталь |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ізін |
тұрғызу |
үшін |
оның |
|
|||||||
фронталь проекциясын x12 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
осімен қиылысқанша жалғастыру қажет жəне осы |
|
||||||||||||||||||
нүктеде |
оське |
нүктенің |
горизонталь |
проекциясымен |
қиылысқа |
|
|||||||||||||
перпендикуляр тұрғызу қажет. l |
түзуінің N |
фронталь ізін |
тұрғызу |
үшін |
|
||||||||||||||
горизонталь проекция менx12 осінің қиылысу |
нүктесінен түзудің фронталь |
|
|||||||||||||||||
а б
2.4-сурет
проекциясымен қиылысқанша перпендикуляр тұрғызу қажет.
Негізгі əдебиет: 1 нег.[21-22 ], 2 нег. [31-34 ]
Қосымша əдебиет: 1 қос.[15-17].
Бақылау сұрақтары:
Қандай түзуді жалпы жағдайдағы түзу деп атаймыз?
Дербес жағдай түзулерін атап шығыңыз.
Қандай түзулер деңгей түзулер деп аталады?
Түзудің ізі деп нені атаймыз?
Түзудің фронталь жəне горизонталь іздерін қалай тұрғызамыз?
16
3-дəріс. Монж эпюрінде жалпы жəне дербес жағдайларда жатқан жазықтықтар.
Кеңістікте жазықтықты келесідей анықтауға болады:бір түзудің бойында жатпаған үш нүкте арқылы(3.1а-сурет), түзу жəне одан тыс орналасқан нүкте арқылы (3.1б-сурет), екі қиылысушы (3.1в-сурет) немесе параллель түзулермен, кез келген жазық фигурамен (3.1д-сурет). Жазықтықтың берілу тəсілін алдыңғы тəсілдің біреуінен шығарып алуға болады.
3.1-сурет
3.2-сурет
|
Жазықтық |
іздермен |
|
|
де |
берілуі |
мүмкін. |
||
Жазықтықтың |
іздері |
|
||
деп |
|
жазықтықтың |
||
|
проекциялар |
|
||
жазықтығымен қиылысу |
|
|||
сызықтарын |
атаймыз. |
|||
(3.2-сурет) |
|
|
||
|
Жалпы |
жағдайда |
||
жазықтықтың |
үш |
ізі |
||
болады: горизонталь ha, |
|
|||
фронталь fa, профиль pa. |
|
|||
Жазықтықтың |
іздері |
|
||
қосарланып |
осьтермен |
|
||
17
a |
a |
a |
нүктелерінде |
|
жазықтық іздерінің тоғысу нүктелері деп аталатынX , |
Y , Z |
|
|
қиылысады. Жазықтық іздерінен пайда болған үшбұрыш, іздер үшбұрышы деп аталады.
Проекциялар |
жазықтықтарына |
қатысты кез келген жағдайда(тек |
|||
перпендикуляр |
немесе |
параллель |
) емесорналасқан |
жазықтық жалпы |
|
жағдайдағы жазықтық деп аталады. |
|
|
|||
Қандай да бір проекциялар жазықтығына перпендикуляр жазықтық– проекциялаушы деп, ал параллель жазықтық – деңгей жазықтық деп аталады.
|
|
ə |
|
|
|
б |
|
|
|
||
|
3.3-сурет |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Проекциялаушы |
жазықтықтар: горизонталь (a(АВС)^П2), |
фронталь |
|
||||||||
(b(DEF)^П1) жəне |
профиль (g(GKH)^П3) |
проекциялаушы деп |
бөлінеді(3.3- |
|
|||||||
сурет). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3.4-суретінде деңгей жазықтықтар бейнеленген: горизонталь (a(АВС)êêП2), фронталь (b(DEF)êêП1), профиль (g(GKH)êêП3).
а ə б
3.4-сурет
18
4.2-сурет
Қосымша əдебиет: 1 қос.[19-20].
Қорытынды сұрақтар:
Комплекстік сызбада жазықтықтардың берілу тəсілдерін атап,оларды графикалық түрде бейнелеңіз.
Жазықтық ізі дегеніміз не?
Қандай жазықтықты проекциялаушы деп атаймыз жəне оның сызбадағы графикалық белгілері қандай?
Келесі жазықтықтарға сипаттама беріңіз:горизонталь проекциялаушы, фронталь проекциялаушы, профиль проекциялаушы.
Қандай жазықтықты деңгей жазықтық деп атаймыз?
4-дəріс. Неізгі позициялық есептер.
Негізгі позициялық есептер деп, нүкте,түзу жəне жазықтықтардың өзара
орналасуын анықтауға арналған есептерді айтамыз.
Сызбада көрінетіндікті бəсекелес нүктелер əдісі арқылы анықтайды.
Бəсекелес нүктелер деп бір проекциялаушы түзуде орналасқан нүктелерді
айтамыз. 4.1-суретінде (АВ) ^П1 , бұдан шығатыны А жəне В нүктелері –
фронталь бəсекелес. (СD) ^П2 , бұдан С жəне D –горизонталь бəсекелес. С
нүктесі D нүктесіне қарағанда жоғары орналасқан,сондықтан С нүктесі
горизонталь проекцияда көрінеді.А нүктесінің ординатасыВ нүктесіне
қарағанда үлкен, сондықтан А нүктесі көрерменге жақынырақ орналасқан,
сондықтан ол фронталь проекцияда көрінетін болады.
Жазықтықта жатқан нүктелер мен түзулер.
Түзу жазықтықта жатады, егер оның екі нүктесі
осы жазықтыққа тиісті болса.
4.2- суретінде a(bÇc) жазықтығына тиісті l түзуі
көрсетілген, оның осы жазықтыққа тиістіВ жəне С
нүктелері бар.
Нүкте жазықтыққа тиісті болады,егер ол берілген жазықтықта жатқан түзуге орналасқан болса.
a(bÇc) жазықтығында K нүктесін тұрғызу үшін (4.2-сурет), осы a(bÇc) жазықтығына тиісті l түзуін салып, содан кейін сол түзудеK нүктесін белгілеу керек, K нүктесі l түзуіне тиісті. Бұдан K a(bÇc)
жазытығына тиісіті екендігі шығады.
Жазықтықтың басты түзулері. Жазықтықта жүргізуге болатын көптеген түзулердің ішінен жазықтықтың басты түзулерін атап өту қажет:
1. Горизонтальдар –жазықтықка тиісті жəне горизонталь проекциялар жазықтығына параллель түзулер(4.3а-сурет). Горизонтальдің фронталь проекциясы проекциялар осіне параллель болады.
19
2. Фронтальдар – жазықтықка тиісіті жəне проекциялар жазықтығының фронталь жазықтығына параллель түзулер(4.3б-сурет). Фронтальдің горизонталь проекциясы проекциялар осіне параллель болады.
3. Ең үлкен құлама (құлама) түзулері - берілген жазықтыққа тиісті жəне жазықтықтың горизонтальдарына (немесе фронтальдарына) перпендикуляр түзулер. 4.4-суретте a жазықтығының MN ең үлкен құлау түзуі көрсетілген.
а б
4.3-сурет
Жазықтықтың іздері жазықтықтың басты түзулері болып табылатынын
атап кеткен жөн, олар – проекциялар жазықтығымен қосылған горизонталь мен
4.4-сурет
20
фронталь. Жазықтықтың басты сызықтары көмекші сызықтар ретінде бірқатар есептерді шешуге көмектеседі.
Екі жазықтықтың өзара орналасуы. Кеңістікте екі жазықтық қиылысады немесе параллель болады.Екі жазықтық
|
|
|
|
өзара |
|
параллель |
болу |
үшін |
олардың |
|
||||||||
|
|
|
|
біреуінің |
қиылысатын |
екі түзуі |
екіншісінің |
|
||||||||||
|
|
|
|
сəйкес |
екі |
түзуіне |
параллель |
болулары |
|
|||||||||
|
|
|
|
қажет. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
Егер |
параллель |
жазықтықтар |
эпюрде |
|
|||||||||
|
|
|
|
іздер |
арқылы |
берілсе,онда осы іздердің |
|
|||||||||||
|
|
|
|
аттас іздері де параллель болуы қажет.4.5- |
|
|||||||||||||
4.5-сурет |
|
|
суретте |
a(aÇb) жазықтығы |
b(сÇd) |
|
||||||||||||
|
|
жазықтығына параллель себебі, с || а (с1 || а1, |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Жазықтықтың |
|
|
с2 || а2 ), d || b (d1 || b1, d2 || b2 ) . |
|
|
|
||||||||||||
|
қиылысуының |
|
дербес |
|
|
|
|
|||||||||||
жағдайын |
қарастырайық, |
мұнда |
бір |
жазықтық |
|
|
|
|
|
|||||||||
проекциялаушы |
болсын (4.6-сурет). |
Егер |
|
|
|
|
|
|||||||||||
қиылысушы |
|
жазықтықтардың біреуі |
|
|
|
|
|
|||||||||||
проекциялаушы |
болса, |
онда |
|
қиылысу |
|
|
|
|
||||||||||
сызығының |
бір |
|
|
проекциясы |
|
|
|
|
|
|
||||||||
проекциялаушы ізімен сəйкеседі. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Қиылысудың |
жалпы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
қарастырайық, мұнда екі жазықтық та– жалпы |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
жағдайда. 4.7-суретте іздермен берілген a жəне b |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
жазықтықтары келтірілген. |
Аттас |
іздердің М |
|
|
|
|
|
|||||||||||
жəне N |
нүктелері |
жазықтықтардың |
|
|
|
|
|
|||||||||||
нүктелері болып табылады. |
|
|
|
|
|
|
4.6-сурет |
|
|
|
||||||||
Осы нүктелердің |
аттас |
проекцияларын түзу |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
4.7-сурет
21
сызықпен |
қосатын |
болса, |
жазықтықтардың |
қиылысу |
сызығының |
проекцияларын аламыз. |
|
|
|
|
|
Аттас іздердің қиылысу нүктелері сызба алаңынан тыс орналасса,сонымен қатар жазықтық – іздермен емес, басқа геометриялық элементтермен берілген жағдайда, жазықтықтардың қиылысу сызығын анықтау , үшінкөмекші проекциялаушы немесе деңгей жазықтықтарды пайдалану қажет. 4.7б-суретте жалпы жағдайдағы екі жазықтық берілген, олар үшбұрыш жəне екі параллель
түзулер арқылы берілген. Жазықтықтардың қиылысуының сызығының екі
ортақ нүктелерін анықтау үшін қосымшаg жəне d деңгей жазықтықтарын
енгіземіз.
Түзу жазықтыққа параллель болады, егер ол сол жазықтыққа тиісті түзуге параллель болса.
Егер түзу жазықтыққа тиісті болмаса жəне оған параллель болмаса, онда ол сол жазықтықты қиып өтеді.Түзудің жазықтықпен қиылысу есебі– сызба геометрияның негізгі есептерінің бірі болып табылады.Егер жазықтық
проекциялаушы жағдайда болса, онда қиылысу нүктесінің бір проекциясы– |
|
|||||||||||||||
проекциялаушы |
жазықтық |
ізінің |
|
|||||||||||||
түзудің |
проекциясымен |
қиылысы |
|
|||||||||||||
арқылы анықталады да, ал екіншісі |
|
|||||||||||||||
– |
байланыс |
түзуі |
арқылы |
|
||||||||||||
тұрғызылады (4.8-сурет). |
|
|
||||||||||||||
|
Егер жазықтық жалпы жағдайда |
|
||||||||||||||
болса, |
түзудің |
жазықтықпен |
|
|||||||||||||
қиылысу |
нүктесі |
қосымша |
қиюшы |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
жазықтық арқылы анықалады. |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
l |
түзуінің |
g(АВС) |
|
||||||||
|
|
|
|
|
жазықтығымен |
қиылысу |
нүктесін |
|
||||||||
|
а |
|
|
б |
|
|||||||||||
|
|
|
тұрғызу үшін (4.9-сурет): |
|
|
|||||||||||
|
|
|
4.8-сурет |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
1) lтүзуі арқылы |
қосымша |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
проекциялаушы |
жазықтық a |
|
|||||||||
жүргізу керек; |
2) берілген g жазықтығының қосымшаa жазықтығымен (1,2) |
|
||||||||||||||
4.9-сурет
22
қиылысу сызығыy тұрғызу;3) ізделініп отырған К нүктесін анықтау, берілген l түзуі мен жазықтықпен қиылысу сызығының қиылысуы (егер l || 1,2 болса, онда l түзуі a жазықтығына параллель, егер l Î 1,2, онда l түзуі g жазықтығына тиісті).
Негізгі əдебиет: 1 нег.[43-62 ], 2 нег. [40-66 ]
Қосымша əдебиет: 1 қос.[20-29].
Бақылау сұрақтары:
Түзу жазықтыққа қай кезде тиісті болады?
Нүкте жазықтыққа қай кезде тиісті болады?
Жазықтықтың негізгі түзулерін атап, суретін салып көрсетіңіз.
Қай уақытта түзу жазықтыққа параллель болады?
Сызбада екі жазықтықтың параллельдігін қалай анықтауға болады?
Түзудің жалпы жағдайдағы жазықтықпен қиылысу нүктесін тұрғызудың қадамдарын атаңыз.
5-дəріс. Көпжақтар.
Қөпжақтық бет деп қиылысатын жазықтықтардың бөліктерінен
(бөлімдері) құралған бетті айтамыз.Көпжақ деп жазық көпбұрыштардан тұратын, көпжақты бетпен шектелген денені айтамыз.Жазықтықтардың
бөліктерін бет деп айтады, ал ал олардың қиылысу сызығын– |
қырлар деп |
атайды. Қырлардың қиылысу нүктелерінтөбелер деп атаймыз. |
Көпжақты |
беттің қырлары мен төбелерінің жиынтығы тор деп аталады. |
|
Көп тараған көпжақтар – призмалар жəне пирамидалар. Қырлары табанына |
|
перпендикуляр призманы, түзу призма деп атайды.Егер түзу |
призманың |
табаны – тік төртбұрыш болса, оны параллелепипед деп атайды. |
|
Бір беті – кез-келген көпбұрыш болатын, ал қалған беттері – ортақ төбесі бар үшбұрыш болатын көпжақты – пирамида деп атайды.
Көпжақтардың көптеген түрлерінің ішінен ерекше топты дұрыс дөңес
көпжақтар құрайды.
Дұрыс көпжақтар(Платон денелері) деп бүйір беттері – дұрыс жəне тең
көпбұрыштар, ал төбе бұрыштары тең болатын көпжақтарды атаймыз.Əр
дұрыс көпжаққа сырттай немесе іштей сфераны салуға болады.
Бес дұрыс көпжақтар бар:
1. Тетраэдр (төртжақ) төрт теңбүйірлі жəне тең үшбұрыштармен
шектелген. Тетраэдр – дұрыс үш беттік пирамида.
Гексаэдр (алтыжақ) немесе куб. Оның беті алты тең квадраттардан тұрады.
Октаэдр (сегізжақ). Оның беті сегіз тең үшбұрыштардан тұрады.Куб
жəне октаэдрдің қырларының саны бірдей. Октаэдрға кубты салуға болады, ал кубқа октаэдрді бір көпжақтың төбелері екіншісінің бүйірінің центірімен сəйкес болатындай салуға болады. Бұндай көпжақтарды өзара сəйкес деп атайды.
23
Додекаэдр (он екі жақ) бес бірдей жəне тең бесбұрыштармен шектелген. Əр төбеге үш бесбұрыш қосылған.Додекаэдрге дұрыс жиырмажақ сəйкес келеді.
Икосаэдр (жиырмажақ). Оның беті бірдей жəне тең жиырма үшбұрыштардан құралған, жəне əрбір төбесі бес үшбұрышты біріктіреді. Икосаэдрге додекаэдрді салса болады. Икосаэдр жəне додекаэдр өзара сəйкес көпжақтар болып табылады.
Тетраэдр өзіне өзі сəйкес келеді.
Кесте 5.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Əрбір өзара сəйкес көпжақтар |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
жұбының |
|
біреуінің |
беттер |
, саны |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Атауы |
|
Бетінің |
|
Б |
|
Т |
|
Қ |
|
екіншісінің |
төбелер |
санына |
сəйкес |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
пішіні |
|
|
|
|
келеді, |
ал |
қырларының |
саны |
тең |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Тетраэдр |
|
|
|
4 |
|
4 |
|
6 |
|
|
болады. |
|
|
|
|
қасиеттерін Эйлер |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Көпжақтардың |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Гексаэдр (куб) |
|
|
|
6 |
|
8 |
|
12 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
зерттеген |
ол |
|
дөңес |
көпжақтардың |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Октаэдр |
|
|
|
8 |
|
6 |
|
12 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
барлық |
|
түрлерінің |
беттерінің |
саны |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Додекаэдр |
|
|
|
12 |
|
20 |
|
30 |
|
|
(Б), төбелерінің (Т) жəне қырларының |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Қ) |
|
сандарының |
|
|
қатынасын |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Икосаэдр |
|
|
|
20 |
|
12 |
|
30 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
анықтайтын теореманы жазды. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Теорема. Кез келген дөңес көпжақтың бетттері мен төбелерінің санының |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
қосындысынан қырлар санының айырмасы екіге тең, яғни |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б + Т – Қ =2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Көпжақтын |
|
қырларының |
|
|
көрінетіндігі. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Көрінетіндікті анықтау үшін бəсекелес нүктелер əдісі |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
қолданылады(5.1-сурет). Көпжақтың |
проекциясының |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
сыртқы |
|
контуры |
|
əрдайым |
|
|
көрінеді.Контурдың |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
ішіндегі қырлардың көрінетіндігін əрбір проекцияда |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
қырлардың |
өзара |
орналасуын |
|
пайдалана |
отырып, |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
бөлек анықтау керек. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
5.1-суретте төртжақтың проекциялары берілген. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Фронталь |
проекцияда |
|
айқасып |
|
жатқан |
қырлардың |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
бəсекелес |
|
нүктелері 1 |
жəне |
2, |
ал |
горизонталь |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
проекцияда – 3 жəне 4 нүктелері. Бəсекелес |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
нүктелердің |
|
|
өзара |
орналасуына |
қарап |
|
фронталь |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
проекцияда АD қыры көрінетін, |
ал ВС – көрінбейтін |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
анықтаймыз. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.1-сурет |
|
|
|
Горизонталь проекцияда BD |
|
қыры |
көрінетін, |
ал |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
АС –көрінбейтін қыр болады. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Көпжақтың жазықтықпен қиылысуы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Жазық |
көпбұрыш – көпжақ |
беттің |
жазықтықпен |
қиылысу |
сызығы |
болып |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
табылады. |
Оның |
төбесі |
мен |
|
жақтары– |
берілген |
жазықтықтың |
берілген |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
геометриялық дене |
беттері |
мен |
|
|
қырларының |
қиылысуымен |
|
анықталады. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Осындай |
əдіспен, |
қиманы |
тұрғызу |
үшін |
берілген |
жазықтықпен |
қырлардың |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
24
қиылысу нүктелерін табады, немесе жазықтық көпжақтың беттерін қиятындай
түзулерді |
тұрғызады. Бірінші |
əдісті – қырлар |
əдісі, |
екіншісін – беттер əдісі |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
деп атайды. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Қиюшы жазықтық проекциялаушы болса,қиманы табу |
жеңіл.Бұл |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
жағдайда қиманың бір проекциясы проекцияланатын ізбен |
сəйкеседі.5.2- |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
суретте А1,В1,С1 |
қимасының фронталь проекциясы қиюшы |
жазықтықa1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
фронталь |
ізімен |
сəйкеседі.Көпжақтың сəйкес қырларынан |
горизонталь |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
проекцияға дейін байланыс түзулерін жүргізсек, |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
қиманың горизонталь проекциясын аламыз. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Тік |
|
|
призма |
мен |
жалпы |
жағдайда |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
жазықтықтың |
қиылысуы. |
Қиюшы жазықтық екі |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
қиылысатын |
түзулермен |
берілген– горизонталь |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
жəне |
|
фронталь. |
Призманың |
бүйір |
беттері– |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
горизонталь |
|
|
проекциялаушы |
|
жазықтықтар |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
болғандықтан |
қиманың |
|
горизонталь |
проекциясы |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
белгілі |
- ол бүйір беттерінің жəне |
қырларының |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
проекцияларымен сəйкеседі. Қиманың фронталь |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
проекциясын |
|
тұрғызу |
үшін |
қиюшы |
жазықтыққа |
|
||||||||||||||||||||||||
5.2-сурет |
|
тиісті |
|
А, |
В, |
С |
|
нүктелерінің |
|
фронталь |
|
|||||||||||||||||||||||
|
проекцияларын |
|
анықтау |
|
қажет.А2 |
жəне В2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
нүктелері арқылы (1,2) түзуінің – горизонталь (1222) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
проекциясын |
жүргіземіз. (1121) |
түзуінің фронталь проекциясындаА1, |
В1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
фронталь проекцияларын табамыз.С нүктесі арқылыf´ фронталінің f´2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
горизонталь |
проекциясын |
жүргіземіз,ал |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
содан кейін оның фронталь проекциясын |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
тұрғызамыз. |
Призманың |
сəйкес |
қырымен |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
қиылысқанда |
С нүктесінің ізделініп отырған |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
проекциясын табамыз. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Пирамиданың |
|
жалпы |
|
|
жағдайдағы |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
жазықтықпен қиылысуы. Алдыңғы есепке |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
қарағанда, |
|
бұл |
есепте |
|
қиманың |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
проекциясын да тұрғызу қажет.Қиюшы |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
жазықтықтың |
горизонталь ізі пирамиданың |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
табанын |
қимайды, сондықтан |
оның |
бүйір |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
беттері қиылады. Қиманың пішіні үшбұрыш |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
болуы |
керек, |
пирамида |
|
|
қырларының |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
жазықтықпен |
|
қиылысу |
|
нүктелері– |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
үшбұрыштың төбелері болады. SC қырының |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
a(fÇh) жазықтықпен D |
қиылысу |
нүктесі– |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
фронталь |
проекциялаушы b |
жазықтығының |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
көмегімен |
Е |
табылды. |
Осындай |
|
тəсілмен, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
қиманың |
нүктесін |
де |
табуға |
болады. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Алайда, басқа тəсілді |
де |
қолданса |
болады. |
|
5.3-сурет |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
25
Сурет 5.4
5.5-сурет
Пирамиданың АСS бетінің |
ізі |
болып |
||||||||||||
табылатын, |
АС |
қырын |
|
қиюшы |
||||||||||
жазықтықтың горизонталь ізімен 3 деген |
||||||||||||||
нүктеде |
қиылысқанынша |
созамыз.D |
||||||||||||
жəне 3 |
|
нүктелері |
берілген |
бетпен |
||||||||||
қиюшы |
жазықтықтың |
қиылысу |
сызығы |
|||||||||||
ED-ға тиісті. F нүктесін осындай əдіспен |
||||||||||||||
тұрғызамыз, |
себебі BS |
қыры |
|
арқылы |
||||||||||
жүргізілген |
қосымша |
|
қиюшы |
|||||||||||
проекциялаушы жазықтық проекцияның |
||||||||||||||
профиль |
|
жазықтығына |
|
|
параллель |
|||||||||
болады |
да, |
ешқандай |
шешімге |
алып |
||||||||||
келмейді. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
4 нүктесі ABS |
бетінің |
горизонталь |
|
|||||||||||
проекциясы |
мен |
қиюшы |
жазықтықтың |
|
||||||||||
қиылысу |
нүктесі |
болып |
табылады. |
|
||||||||||
Табылған |
нүктелерді |
түзумен |
қосып |
|
||||||||||
жəне фронталь проекцияда қиманың көрінбейтін DE бөлігін белгілеп, есептің шешімін аяқтаймыз.
Түзудің көпжақпен қиылысуы(5.5-
сурет). Бұл |
есеп 3 |
қадамда |
шешіледі:1) |
||||||||
берілген |
|
түзу |
|
|
арқылы |
қиюш |
|||||
жазықтықты |
жүргізеді; |
2) |
қиюшы |
||||||||
жазықтық |
|
пен |
|
көпжақтың |
қиылысу |
||||||
сызығын тұрғызады; 3) берілген түзудің |
|||||||||||
қима контурымен |
|
қиылысу |
|
сызығын |
|||||||
анықтайды. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Екі |
көпжақтың |
|
қиылысу |
сызығы |
|||||||
кеңістік тұйық сызық болып табылады. |
|||||||||||
Кей ерекше жағдайларда бұл сынық екі |
|||||||||||
тұйық |
сыныққа |
|
бөлінуі |
мүкін.Бір |
|||||||
көпжақтың |
|
қырларының екінші |
|||||||||
көпжақтың |
|
беттерімен |
|
қиылысуы |
|||||||
нүктелері |
|
сынықтың |
төбелері |
болып |
|||||||
табылады. |
Сынықтың |
қабырғалары – |
|||||||||
түзу кесінділері болып табылады,олар |
|||||||||||
арқылы |
|
көпжақтардың беттері |
|||||||||
қиылысады. |
Егер |
сынықтың |
төбелері |
||||||||
мен қабырғалары сəйкесінше– жалпы |
|||||||||||
жағдайдағы |
көпжақ |
|
беттерінің |
екінші |
|||||||
көпжақтың проекциялаушы беттері жəне
26
қырларымен қиылысу нүктелері жəне сызығы ретінде анықталса,есепті шешу жеңіл болады.
Екі пирамида бетінің, призма жəне пирамиданың, екі призманың қиылысу сызығын тұрғызу кезінде,көмекші жазықтық ретінде жалпы жағдайдағы жазықтықтарды пайдаланса болады:
екі пирамида – көмекші жазықтықтар пирамидалар төбелерімен өтуі тиіс;
пирамида жəне призма– көмекші жазықтықтар призманың бүйір беттеріне параллель болуы керек жəне пирамида төбесінен өтуі қажет;
3. екі |
призма – көмекші жазықтықтар |
екі |
призманың бүйір |
беттеріне |
|
|||||||||||||||||
параллель боуы керек. |
|
|
|
|
Пирамиданың |
|
призмамен |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
қиылысуы. |
Призманың |
бүйір |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
қырлары |
|
нүктелерге |
проек- |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
цияланады, |
ал |
бүйір беттері |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
горизонталь |
|
проекциялаушы |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
жазық-тықтарды |
анықтайды. |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Сондықтан, |
|
көпжақ-тардың |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
қиылысу |
|
|
сызы-ғының |
|
бір |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
проекциясы |
белгілі. |
Пирамида |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
мен |
|
призманың |
қиылысу |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
нүктелері |
|
|
|
|
горизонталь |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
проекцияда |
оңай |
анықталады. |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Байланыс |
|
сызықтары |
арқылы |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
фронталь |
|
|
|
проекцияларын |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
тұрғызамыз. |
|
Призманың |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
вертикаль |
қырларының |
ішінен |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
тек |
біреуі |
|
ғана |
приамиданы |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
қиып |
|
өтеді. |
Осы |
|
қырдың |
|
|
|||||||
|
|
5.6-сурет |
|
|
|
|
қиылысу |
|
нүктесін |
қосымша, |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
горизонталь |
|
проекциялаушы |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
жазықтықты(бұл жазықтық – берілген қыр бойынша жəне пирамиданың төбесі |
|
|
|
|||||||||||||||||||
арқылы |
өтеді) |
енгізу |
|
арқылы |
анықтаймыз.Нүктелердің |
тұрғызылған |
|
|
||||||||||||||
проекцияларын қосамыз, бұл кезде горизонталь проекцияға сүйену қажет. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Негізгі əдебиет: 1 нег.[95-116 ], |
2 нег. [111-146 ] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Қосымша əдебиет: 1 нег.[37-57]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Бақылау сұрақтары: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1.Қандай көпжақтарды дұрыс көпжақтар деп атаймыз? |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2.Көпжақты |
|
жалпы |
жағдайдағы |
жазықтықпен |
|
қиылысуының |
қимасын |
|
||||||||||||||
тұрғызудың мəнін түсіндіріңіз. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3.Түзудің |
|
көпжақпен |
қиылысуы |
нүктесін |
тұрғызудың |
алгоритмін |
баяндап |
|
|
|||||||||||||
беріңіз. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4.Көпжақтардың |
өзара |
қиылысуының |
қиылысу |
сызығын |
тұрғызудың |
екі |
|
|||||||||||||||
əдісінің мəнін түсіндіріңіз. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
27
6-дəріс. Көріністер, тіліктер, қималар. МЕСТ 2.305-68. |
|
||||
Проекциялық |
сызба |
деп |
кеңістіктік |
геометриялық |
, бейнелер |
проекциялау əдістері бойынша жазықтықтарда орындалған салуларды айтамыз. |
|||||
Техникалық сызу |
сызбаларында |
кең тараған жəне |
құрылыс,өнеркəсіптің |
||
барлық салаларында қолданылатын,өзара перпендикуляр жазықтықтарға проекциялау ережелері МЕСТ 2.305-68 –мен анықталады.
Проекциялау əдісінің ең негізігсі болып,бірінші бұрыш əдісі(Е əдісі) табылады. Мұнда зат өзара перпендикуляр проекциялар жазықтығынына тік бұрышпен проекцияланады, бұл кезде бейнеленетін зат бақылаушы мен сəйкес проециялар жазықтығының арасында орналасады.
-
Келесідей
көрінстердің
түрлері анықталған:
1
–
алдынан
қарағандағы
көрініс
(негізгі
көрініс
Фронталь проекция
жазықтығы
немесе
фасад),
бейне
фронталь
проекциялар
жазықтығында;
2
– жоғарыдан
қарағандағы
көрініс (план);
3
–
сол
жақ
көрініс,
бүйір
фасад;
4
– оң жақ көрініс;
5
– астыңғы көрініс;
6.1-сурет
6
– артқы көрініс (артқы фа-
сад).
Проекцияның фронталь жазықтығындағы бейнелер сызбада басты ретінде алынған. Бұйым фронталь проекция жазықтығына қатысты бейне бұйымның пішіні жəне өлшемдері жөнінен мүмкіндігінше толық ақпарат бере алатындай орналастырылады.
Бейнелеулер саны минималды, бірақ сызбаны оқу үшін жеткілікті болуы керек. Сызбада – көріністердің шартты аттары жазылмайды, егер бұл
-
к
өріністер
проекциялықбайланыста
болса,
яғни
келесідей
тəртіпте:
жоғарыдан көрініс – басты көріністің
астында;
сол
жақ
көрініс–
басты
көріністің оң жағында; оң жақ көрініс
– басты
көріністің
сол
жағында;
астыңғы
көрініс – басты
көріністің
үстіңгі жағында; артқы көрініс – сол
жақ көріністің оң жағында.
6.2-сурет
28
Басты көрініске қатысты жеке бейнелер (көріністер) суретте көрсетілгендей |
|
|||||||||
проекциялар жазықтығын бір ғана жазықтыққа жаяды. Көрініс – бақылаушыға |
|
|||||||||
бұйым бетінің көрінетін бөлігі қаратылған бейне. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
Бейнелердің |
|
санын |
|
азайту |
|||||
|
мақсатында, көріністерде бұйым бетінің |
|
||||||||
|
көрінбейтін бөліктерін үзік сызықтармен |
|
||||||||
|
көрсетуге рұқсат етілген (6.3- сурет). |
|
||||||||
|
Тілік |
— |
бір |
немесе |
бірнеше |
|||||
|
жазықтықпен ойша қиылған нəрсенің |
|||||||||
|
кескіні. Тілікті орындаған кезде, |
қиюшы |
|
|||||||
|
жазықтықтың өзінде не жатқанын жəне |
|
||||||||
|
оның |
ар |
жағында |
|
не |
жатқа |
||||
|
кескінделеді |
(6.4-сурет). |
|
Қиюшы |
|
|||||
|
жазықтықтың |
|
арғы |
жағындағының |
||||||
|
барлығын салмауға рұқсат бар, егер ол |
|
||||||||
|
бұйымның |
конструкциясын |
түсіну үшін |
|
||||||
6.3-сурет |
қажет болмаса (6.5-сурет). |
|
|
|
||||||
6.4-сурет |
6.5- |
|
|||
Қима — нəрсені бір |
|
|
|||
немесе |
|
||||
бірнеше |
жазықтықпен |
|
|
||
қиғаннан шыққан фигура кескіні (6.6-сурет). Қимада тек қиюшы
жазықтықта |
не пайда |
болады, |
тек сол ғана көрсетіледі. Қиюшы |
||
ретінде |
цилиндрлік |
|
қолдануға |
рұқсат |
, |
кейінде |
ол |
|
жайылады (6.7-сурет).
6.7-сурет
29
Негізгі əдебиет: 4 нег.[40-46 ], 5 нег. [69-101 ]
Қосымша əдебиет: 2 қос.[148-186].
Бақылау сұрақтары:
Негізгі көріністерді атаңыз.
Тілік дегеніміз не? Тіліктің негізгі түрлерін атаңыз.
Қандай бейнелер үшін жартылай көрініс, жартылай тілік біріктіріледі?
Қима дегеніміз не? Тілік пен қиманың айырмашылығы қандай?
Жергілікті тілік дегеніміз не?
Тіліктерді қалай белгілейміз?
Дəріс 7. |
Аксонометриялық проекциялар. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Аксонометриялық проекция немесе аксонометрия деп (аксон- ось, метро – |
|
||||||||||||||
өлшеймін) кеңістіктік пішім жəне осы пішім жататын, координаттар жүйесінің |
|
||||||||||||||
параллель сəулелер тобының қандай да бір П´ жазықтығына проекциясы. |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А´ - |
А |
нүктесінің |
|
|||
|
|
|
/ |
|
|
|
z |
|
аксонометриялық |
|
|||||
|
|
|
|
s |
|
|
|
проек-циясы. |
|
А´1 |
–А |
|
|||
|
z / |
|
П |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
A |
|
|
нүктесінің |
|
екінші |
|
||||
¢ |
|
|
|
|
|
|
ez |
|
|
проекциясы. |
|
||||
A |
|
/ |
|
/ |
|
ex |
|
Аксонометриялық |
бір- |
|
|||||
|
e |
|
|
ey |
y |
|
|||||||||
/ ex/ |
z |
O |
ey |
|
|
O |
ліктің |
оның |
нақты |
|
|||||
Ax |
|
|
|
x |
Ax |
A |
|
|
ұзындығына |
|
қатынасы |
|
|||
|
|
|
|
y / |
|
1 |
|
|
бұрмалану |
|
коэффи- |
|
|||
x/ |
A |
/ |
|
s |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
циенті |
деп |
аталады: |
|
||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u=e´x/ex |
, |
|
v=e´y/ey, |
|
||
|
|
|
|
7.1-сурет |
|
|
|
|
w=e´z/ez. |
|
|
|
|
|
|
u=v=w – изометрия;
u=w – диметрия;
u≠v≠w – триметрия;
Тікбұрышты . изом
Аксонометриялық осьтердің орналасуы7.2-
суретте көрсетілген. x, y, z осьтері бойынша
бұрмалану коэффициенттері 0.82-ге тең.
Оңай болу үшін изометриял
проекцияны əдетте бұрмаланусыз орындайды,
яғни бұрмалану коэффициентін1-ге тең деп
алады.
Бұйымның тікбұрышты изометриялық
роекциясына мысал 7.3- суретте келтірілген. .
7.2-сурет
30
Тікбұрышты диметрия.
суретте көрсетілген.
7.3-сурет
7.4-сурет
Аксонометриялық |
осьтердің |
орналасуы7.4- |
||||
y |
осі |
бойынша |
бұрмалану |
|||
коэффициенті 0.47-ге тең, ал x жəне |
||||||
z бойынша - 0.94-ке. |
|
|
||||
Диметриялық |
проекцияны x |
|||||
жəне |
z |
осьтері |
бойынша |
|||
бұрмалаусыз, жəне y |
осі |
бойынша |
||||
бұрмалау коэффициентін 0.5-ке тең |
||||||
қылып алады. |
|
|
|
|||
Бұйымның |
|
диметриялық |
||||
проекциясына |
мысал 7.5-суретте |
|||||
келтірілген. |
|
|
|
|||
7.5-сурет
Фронталь изометриялық проекция.
Аксонометриялық осьтердің орналасуы 7.6-суретте көрсетілген. Фронталь изометриялық проекцияда у осінің бұрышы ретінде 30 жəне 60°
қолдануға болады.
7.6-сурет 7.7-сурет
31
Фронталь изометриялық проекцияны х, у, z осьтері бойынша бұрмалаусыз орындайды. Фронталь изометриялық проекцияға мысал 7.7-суретте көрсетіл-ген.
Горизонталь изометриялық проекция.
Аксонометриялық осьтердің орналасуы 7.8-суретте көрсетілген. . Горизонталь изометриялық проекцияда у осінің бұрышы ретінде45 жəне
-
60°
алуға болады, соған
қоса, х
жəне у
остерінің
арасын
90°-та
сақтау
қажет.
Горизонталь
изометриялық
проекция
х,
у
жəне z
осьтері
бойынша
бұрмалаусыз
орындалады. Горизонталь
изометриялық проекцияға
мысал
7.9-суретте
келтірілген.
7.8-сурет
7.9-сурет
Фронталь диметриялық проекция. Аксонометриялық осьтердің орналасуы 7.10-суретте келтірілген.
Фронталь диметриялық проекцияда у осінің көлбеулігін 30 жəне 60° етіп алуға болады.
осі бойынша бұрмалану коэффициенті– 0.5, ал x жəне z бойынша-1.
Бұйымның фронталь диметриялық проекциясына мысал7.11-суретте
7.10-сурет 7.11-сурет
келтірілген. Аксонометриялық проекцияларда қиманы штрихтау сызықтарын қабырғалары аксонометриялық осьтерге параллель болып келетін квадраттың диагоналіне параллель етіп жүргізеді(7.12-сурет).
Өлшемдерді салғанда, олардың шығарма сызықтары аксонометриялық осьтерге параллель, ал өлшемдік сызықтар– өлшеніп отырған кесіндіге параллель болады (7.13-сурет).
32
7.12-сурет 7.13-сурет
Негізгі əдебиет: 1 нег.[208-233 ], 2 нег. [176-200 ]
Қосымша əдебиет: 1 қос.[205-219].
Бақылау сұрақтары:
Қандай проекцияларды аксонометриялық деп атаймыз?
Аксонометриялық проекциялардың түрлерін атаңыз.
Бұрмалану коэффициенті деп нені атаймыз?
Аксонометрияның негізгі теоремасы – Польке теоремасын айтыңыз.
5. Тік бұрышты изометрия мен диметрияда ось бағыттары бойынша бұрмалану коэффициенттерін атаңыз.
8-дəріс. Метрикалық есептер.
Тік бұрыштың тік бұрышты проекциясы туралы теореманың салдары.
1-салдар. Өзара перпендикуляр екі түзудің біреуі горизонталь , болса олардың горизонталь проекциялары өзара перпендикуляр болады. (8.1,а -сурет).
2-салдар. Өзара перпендикуляр екі түзудің біреуі фронталь болса,олардың фронталь проекциялары өзара перпендикуляр болады. (8.1,ə -сурет).
3-салдар. Өзара перпендикуляр екі түзудің біреуі профиль түзуі ,болса олардың профиль проекциялары өзара перпендикуляр болады.
а) ə) 8.1-сурет
33
Түзу мен жазықтықтың перпендикулярлығы.
Теорема. Түзу жазықтыққа перпендикуляр болуы үшін оның горизонталь
проекциясы |
жазықтықтың |
горизонталіне, |
|
фронталь |
|
проекциясы |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
жазықтықтың фронталіне перпендикуляр болуы қажет жəне жеткілікті. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
8.1-мысал. А |
нүктесі |
арқылы |
өтетін |
жəне |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
a(М, m) жазықтығына перпендикуляр жазықтық |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
салу керек (8.2-сурет). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Алдымен a жазықтығының горизонталі мен |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
фронталін жүргізу керек.Жеңілдік |
үшін a |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
жазықтығының h горизонталін жəне f |
фронталін |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
оның М нүктесі арқылы жүргіземіз. Ізделінді а |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
түзуінің |
а2 |
фронталь |
проекциясын А2 |
нүктесі |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
арқылы |
f2 |
түзуіне |
перпендикуляр |
етіп,ал |
а1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
проекциясын |
А1 нүктесі |
арқылы h1 |
түзуіне |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
перпендикуляр етіп жүргіземіз. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Екі жазықтықтың перпендикулярлығы. a |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
жазықтығы |
b жазықтығына перпендикуляр түзу |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
8.2 -сурет |
|
|
арқылы |
өтетін |
болса |
немесеb |
жазықтығында |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
жатқан b түзуіне |
перпендикуляр |
болса, |
a мен b |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
жазықтықтары өзара перпендикуляр болады. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
Кеңістіктегі белгілі бірМ нүктесі арқылы берілген b жазықтығына |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
перпендикуляр қанша болса да a1, a2, … жазықтықтарын жүргізуге болады. Бұл |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
жазықтықтардың |
|
барлығы М |
нүктесінен |
b |
жазықтығына |
түсірілгена |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
перпендикуляры |
арқылы өтетін |
болады. a1, a2, … жазықтықтарының жиыны |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
жазықтықтар |
|
|
шоғын құрайды. |
Бұл |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
жазықтықтардың біреуі ғана анықталу үшін |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
тағы бір қосымша шарт болуы керек. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
8.2-мысал. |
Берілген l(l1,l2) |
түзуі |
арқылы |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
өтетін |
|
|
|
жəне a(hÇf) |
жазықтығына |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
перпендикуляр b жазықтығын жүргізу керек. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
(8.3-сурет). |
|
l(l1,l2) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Берілген |
|
|
түзуінің |
|
бойында |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
қалауымызша А нүктесін таңдап аламыз.А |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
нүктесінен |
|
a |
|
|
|
жазықтығына а |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
перпендикулярын |
түсіреміз, яғни |
А1Ì(а1)^f1, |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
А2Ì(а2)^h2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
А |
нүктесінде |
қиылысатын а |
жəне l |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
8.3-сурет |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
түзулері |
b |
а |
жазықтығын |
|
анықтайды,b |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
жазықтығы |
түзуі |
арқылы |
өтеді |
жəне a |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
жазықтығына перпендикуляр болады. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
34
Өзара перпендикуляр жалпы жағдайдағы түзулерді салу.Екі түзудің біреуі арқылы екіншісіне перпендикуляр жазықтық жүргізуге мүмкіндік болса, олар өзара перпендикуляр болады.
|
|
|
|
|
|
8.3-сурет. |
Берілген l |
түзуімен |
|
тік |
бұрыш |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
жасап қиылысатын а түзуін жүргізу керек. (8.4- |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
сурет). |
Алдымен |
А |
нүктесі |
арқылыl |
түзуіне |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
перпендикуляр |
|
a |
жазықтығын |
|
|
жүргіземіз: |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
А1Ì(f1)^l1; А2Ì(h2)^l2; А1Ì(h1)^A1 A2; А2Ì(f2)^ A1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
A2; a(hÇf). |
a жазықтығы h горизонталімен жəне |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
f |
|
фронталімен |
|
анықталады. |
Бұл |
a |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
жазықтығының кез келген түзуіl түзуіне |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
перпендикуляр болады, бірақ соның ішінде тек |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
қана бір түзу l түзуін қиятын болады. Берілген l |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
түзуінің |
a |
жазықтығымен |
қиылысу |
нүктесін |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
табамыз: (К)=lÇ a. Табылған К жəне А |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
нүктелерімен |
анықталатын а |
түзуі А |
нүктесі |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
арқылы |
өтеді |
|
жəнеl түзуіне |
перпендикуляр |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
болады, өйткені аÌ a^l. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Кесіндінің ұзындығын табу(тік бұрышты |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
үшбұрыш |
тəсілі). Жалпы |
жағдайдағы |
түзуі |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
кесіндісінің ортогональ проекциялары əрқашан |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
кесіндінің |
өзінің ұзындығынан кем |
болады. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
8.4-сурет |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(8.5-сурет). |
АВ |
кесіндісінің |
ұзындығын бір |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
катеті кесіндінің А2В2 |
горизонталь |
проекциясы |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
болатын, ал екінші катеті - кесінді ұштарының z координаттарының айырмасы |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Dz болатын (кесіндінің фронталь проекциясынан алынады) |
А2В2А0 тік бұрышты |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
үшбұрышынан |
анықтауға |
болады.Тік |
|
бұрышты |
үшбұрыштың А0В2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
гипотенузасы |
кесінді |
ұзындығының |
|
нақты |
шамасы . |
боАлады осы |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
үшбұрыштағы |
a |
бұрышы |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кесіндінің |
П2 |
|
|
|
жазық- |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тығына |
көлбеулік |
бұрышы |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
болып |
|
|
|
|
|
. табылады |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Кесіндінің ұзындығын дəл |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
осындай |
жолмен |
оның |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
фронталь |
проекциясында |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тік |
бұрышты |
|
|
үшбұрыш |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
салу |
|
арқылы |
табуға |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
болады. |
Мұндағы |
|
b |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
бұрышы |
кесіндінің П1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
жазықтығымен |
|
|
жасайтын |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
көлбеулік |
|
|
|
|
бұрышын |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
анықтайды. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
8.5-сурет |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
35
Сызбаны түрлендіру тəсілдері.Берілген проекциялары бойынша фигураның жаңа проекцияларын салудысызбаны түрлендіру деп атайды. Сызбаны түрлендіру екі əдіспен жасалады:
Фигураның негізгі П1, П2, П3 проекция жазықтықтарына қатысты орнын өзгерту арқылы сызбаны түрлендіру.
Көмекші проекция жазықтығын енгізу арқылы сызбаны түрлендіру. Проекция жазықтықтарын алмастыру тəсілі осы əдіске негізделген.
Фигураның негізгі П1, П2, П3 проекция жазықтықтарына қатысты орнын
өзгерту |
арқылы |
сызбаны түрлендіру |
əдісінде |
фигураны |
есепті |
шығаруға |
|||||||||||
қолайлы болатындай етіп орналастырады. Фигураның қозғалысына байланысты |
|
||||||||||||||||
төмендегідей тəсілдер болады: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
а) жазық-параллель ығыстыру тəсілі; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
б) проекциялаушы түзуден айналдыру тəсілі; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
в) деңгейлік түзуден айналдыру тəсілі. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Жазық-параллель ығыстыру тəсілі. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Жазық-параллель |
ығыстыру |
деп |
фигураның |
оның |
|
нүктелері |
өзар |
||||||||||
параллель жазықтықтарда жататын траекториялардың бойымен орындарын |
|
||||||||||||||||
өзгертетіндей етіп қозғауды айтады.Көбіне проекциялар жазықтықтарының |
|
||||||||||||||||
біреуіне параллель бағытта жазық-параллель ығыстыру тəсілін қолданады. |
|
||||||||||||||||
Фигураның соңғы орнын анықтау үшін түрлендірудің инварианттарын білу |
|
||||||||||||||||
керек. Фигураның берілген проекциялары бойынша оның жаңа проекциясын |
|
||||||||||||||||
салуға мүмкіндік беретін қасиеттердітүрлендірудің |
инварианттары |
деп |
|
||||||||||||||
атайды. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Жазық-параллель ығыстыру тəсілінің инварианттары: |
|
|
|
|
|
||||||||||||
1) қозғалу бағытына параллель жазықтықтағы проекция өзінің пішінін жəне |
|
||||||||||||||||
өлшемдерін сақтап орнын ауыстырады; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2) нүктелердің |
қозғалу |
|
жазықтығына |
перпендикуляр |
жазықтықтағы |
||||||||||||
проекциялары проекциялық байланыс сызықтарына перпендикуляр түзулердің |
|
||||||||||||||||
бойымен қозғалады. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Сызбаны түрлендірумен шығарылатын негізгі есептер. |
|
|
|
|
|||||||||||||
Сызбаны түрлендірумен шығарылатын барлық есептер негізгі төрт есепті |
|
||||||||||||||||
шығаруға келіп тіреледі. Осы есептерді жазық-параллель ығыстыру тəсілімен |
|
||||||||||||||||
шығарып көрсетейік. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1-есеп. Жалпы жағдайдағы түзуді деңгейлік жағдайға келтіру.Егер біз l |
|
||||||||||||||||
түзуін горизонталь жағдайға келтіргіміз келсе,онда |
оны П1 жазықтығына |
|
|||||||||||||||
қатысты жазық-параллель ығыстыру керек.(8.6-сурет). Түзудің бойынан |
|
||||||||||||||||
қалауымызша А жəне В нүктелерін таңдап аламыз. Көлденең түзу салып, оның |
|
||||||||||||||||
бойына А´1В´1 кесіндісін |
саламыз: А´1В´1= |
А1В1. Оны l´ |
горизонталь |
түзуінің |
|
||||||||||||
жаңа l´1 |
фронталь |
проекциясы |
ретінде қабылдаймыз.А |
жəне В |
нүктелерінің |
|
|||||||||||
жаңа горизонталь проекциялары А2 жəне В2 нүктелері арқылы өтетін көлденең түзулердің бойында қалады. Жаңа А´1 жəне В´1 фронталь проекциялары арқылы А´2 жəне В´ 2 горизонталь проекцияларын анықтаймыз.
36
Егер l түзуін фронталь еткіміз келсе, оны П2 |
жазықтығына қатысты жазық- |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
параллель ығыстыру керек (8.7-сурет). |
Бұл |
есепті |
шығару нəтижесінде |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
біз l |
түзуінің АВ |
кесіндісінің |
нақты |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
шамасын |
( A' |
B' |
= |
|
1 |
|
1 |
= AB) |
|
жəне |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
A |
B |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
оның |
|
П1 |
мен П2 жазықтықтарына |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
көлбеулік |
a |
мен b |
бұрыштарын |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
таптық. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2-есеп. |
|
Деңгейлік |
|
түзуді |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
проекциялаушы |
|
жағдайға |
|
келтіру. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Егер l´(l1´, l2´) горизонталь |
|
түзуі |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
берілсе, |
|
|
оны |
|
|
фронталь |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
8.6-сурет |
|
проекциялаушы l´´ түзуіне түрлендіру |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
жеңіл (8.6-сурет). |
Ол үшін |
тік түзу |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
жүргізіп, |
оның |
бойына |
А2″В2″ |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
кесіндісін |
саламыз: А2″В2″= |
А´2В´2. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Оны |
l2″ |
фронталь |
проекциялаушы |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
түзуінің |
горизонталь |
проекциясы |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
ретінде |
|
қабылдаймыз. |
Түзудің |
l1″ |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
фронталь |
|
|
проекциясы |
|
нүктеге |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
проекцияланады: А1″≡В1″≡l1″. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Фронталь |
|
l |
( |
l |
1 , |
l |
2 ) |
|
|
түзуін |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
горизонталь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
проекциялаушы |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ыңғайлы(8.7- |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
түзуіне түрлендіру |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
8.7-сурет |
l |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
сурет). Алдымен |
түзудің |
жаңа |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
l |
1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
фронталь проекциясын тік салып,содан соң нүктеге |
проекцияланатын |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
горизонталь проекциясын саламыз. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3-есеп. Жалпыжағдайдағы |
жазықтықты |
проекциялаушы |
|
жағдайға |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
келтіру. Егер a(АВС) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
жазықтығын |
горизонталь |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
проекциялаушы |
жағдайға |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
келтіру керек болса, онда |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
оны |
|
|
П1 |
жазықтығына |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
қатысты |
|
|
жазық-параллель |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ығыстыру |
|
|
|
қажет (8.8- |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
сурет). |
|
|
Алдымен |
|
a |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
жазықтығының f фронталін |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
жүргізіп, |
оны горизонталь |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
проекциялаушы f ´ түзуіне |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
түрлендіру |
керек. |
АВС |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
8.8-сурет |
|
|
|
үшбұрышының |
|
жаңа |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
37
А´1В´1С´1 |
фронталь проекциясынf1´ |
тік орналасатындай |
етіп |
саламыз, |
|
|||||||||||||||||||||||||||
мұндағы DA1' B1'C1' = DA1 B1C1 |
болады. Бір түзудің бойында табылатын жаңа |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
А2´, В2´, С2´ |
горизонталь проекцияларын саламыз. Жаңа a´ |
|
жағдайында a |
|
||||||||||||||||||||||||||||
жазықтығы горизонталь проекциялаушы болды. |
|
Егер |
біз |
|
a |
жазықтығын |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
фронталь |
|
|
|
проекциялаушы |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
жағдайға |
келтіретін |
|
болсақ, |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
оны П2 жазықтығына қатысты |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
жазық-параллель |
ығыстыру |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
керек (8.9-сурет). |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4-есеп.Проекциялаушы |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
жазықтықты |
|
|
деңгейлік |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
жағдайға |
|
келтіру. |
|
Егер |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
горизонталь |
|
проекциялаушы |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a ´ жазықтығы |
берілсе, |
оны |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
фронталь |
П2 |
жағдайға |
|
келтіру |
|
||||||||||||||||||||
|
|
8.9-сурет |
|
|
|
үшін |
|
жазықтығына |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
қатысты |
|
|
|
жазық-параллель |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
ығыстыру |
керек (8.8-сурет). |
Ол |
үшін |
алдымен |
көлденең |
|
түзу салып,оның |
|
||||||||||||||||||||||||
бойына А2″, |
В2″, С2″ |
нүктелерін А2″В2″= |
А2´В2´ жəне |
|
В2″С2″= В2´С2´ |
|
||||||||||||||||||||||||||
болатындай |
белгілейміз. А´1,В´1, |
С´1 |
нүктелері |
арқылы |
|
көлденең |
|
түзулер |
|
|||||||||||||||||||||||
жүргізіп, |
ал |
А2″, В2″, С2″ нүктелері арқылы тік түзулер |
жүргіземіз.Аттас |
|
||||||||||||||||||||||||||||
проекциялары арқылы жүргізілген түзулердің қиылысуында жаңаА1″, В1″, С1″ |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
фронталь |
|
проекцияларын |
табамыз.Егер |
фронталь |
|
проекциялаушы |
a |
|
|
|||||||||||||||||||||||
жазықтығы берілсе, оны горизонталь жағдайға келтіру үшінП1 жазықтығына |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
қатысты |
жазық-параллель |
ығыстыру |
керек(8.9-сурет). Бұл |
есепті |
шығару |
|
||||||||||||||||||||||||||
нəтижесінде |
АВС |
үшбұрышының |
нақты |
|
|
шамасын |
|
|
: анықтай |
|
||||||||||||||||||||||
DA1¢¢B1¢¢C1¢¢ = DA2 B 2 C 2 = DABC
Негізгі əдебиет: 1 нег.[27, 60-62 ], 2 нег. [40-56 ]
Қосымша əдебиет: 1 қос.[20-29].
Бақылау сұрақтары:
1. Қандай есептер метрикалық деп аталады?
2. Тік бұрыштың тік бұрышты проекциясы туралы теорем тұжырымдаңыз.
Түзу мен жазықтықтың перпендикулярлық шартын тұжырымдаңыз.
Қай кезде тік бұрыш горизонталь проекция жазықтығына бұрмаланбай проекцияланады?
Екі жазықтықтың перпендикулярлық шартын тұжырымдаңыз.
Жазық-параллель ығыстыру тəсілінің инварианттарын айтыңыз.
7. Сызбаны түрлендіру тəсілдерімен шығарылатын негізгі төрт есепті атаңыз.
38
9-дəріс. Сызбаны түрлендіру тəсілдері.
9.1-сурет 9.2-сурет
Проекциялаушы түзуден айналдыру тəсілі.
Түрлендірудің инварианттары: нүктені проекция жазықтығына перпендикуляр осьтен айналдырғанда оның бір проекциясы шеңбер бойымен, ал екіншісі – айналдыру осіне перпендикуляр түзудің бойымен қозғалады. 9.1-суретте А нүктесі сызатын шеңбер П2 жазықтығына бұрмалаусыз нақты шамасына, ал П1 жазықтығына түзу кесіндісі түрінде проекцияланады. Ал егер нүктені фронталь проекциялаушы осьтен айналдырсақ,нүкте траекториясы фронталь проекция жазықтығына шеңбер түрінде,ал горизонталь проекция жазықтығына оське перпендикуляр түзудің кесіндісі түрінде проекцияланады.
9.2-суретте жалпы жағдайдағы түзуді алдымен горизонталь проекциялаушы i осінен айналдырып, деңгейлік (фронталь) жағдайға келтірген. Содан соң фронталь проекциялаушы j осінен айналдырып,проекциялаушы жағдайға келтірген, яғни түзу П2 жазықтығында нүктеге проекцияланады.
Деңгейлік түзуден айналдыру тəсілі. |
|
|
|
|
||||||
Бұл |
тəсіл |
көбінесе |
жазық |
фигураның |
сызбасын |
түрлендіру |
ү |
|||
қолданылады. Жазық фигура дейгейлік |
жағдайға дейін |
айналдырылады жəне |
|
|||||||
сəйкес жазықтыққа бұрмалаусыз проекцияланады. |
|
|
|
|||||||
Түрлендірудің инварианттары: |
|
|
|
|
||||||
1. |
фигураның |
кез келген нүктесінің ескі |
жəне жаңа |
проекциялары |
||||||
айналдыру осіне перпендикуляр бір түзудің бойында орналасады;
39
2. фигураның кез келген кесіндісінің жаңа проекциясының ұзындығы оның нақты шамасына тең болады.
9.3-суретте АВС үшбұрышымен берілген жазықтықта А төбесі жəне 1
-
нүктесі
арқылы
горизонтал
жүргізілген.
Горизонтальді
айналдыру осі ретінде қабылдаймыз.
А жəне 1 нүктелері айналдыру кезінде
қозғалыссыз болады. В жəне С
нүктелері
ось
төңірегінде
шеңбер
бойымен
қозғалады.
Бұл
шеңберлердің
горизонталь
проекциялары
ось
проекциясына
перпендикуляр
түзулер
болады.
Үшбұрыш
горизонталь
орналасу
үшін, В
төбесінің айналу
радиусы
өзінің нақты шамасына проекциялану
керек. RВ радиусының ұзындығын тік
9.3-сурет
бұрышты
үшбұрыш
тəсілімен
анықтауға
болады (8-дəріс). В
төбесінің айналу радиусының горизонталь жағдайдағы орнын анықтаған соң, С төбесінің айналу траекториясының проекциясы менВ´1 түзуінің қиылысында С' төбесін анықтаймыз. Табылған АВ´С´ проекциясы АВС үшбұрышының нақты шамасы болады.
Проекция жазықтықтарын алмастыру тəсілі.
а ə
9.4-сурет
Бұл тəсілде қарастырылып отырған фигура қозғалмайды, да
проекцияжазықытықтарының жүйесі жаңа өзара перпендикуляр проекция
жазықтықтары жүйесімен алмастырылады(9.4-сурет). Жаңа проекция
40
жазықтықтарының жүйесін берілген фигура дербес жағдайда болатындай етіп қабылдайды. Түрлендіру инварианттары: нүктенің жаңа проекциясынан жаңа
оське |
дейінгі |
қашықтық |
оның ескі |
проекциясынан ескі |
оське дейі |
||
қашықтыққа тең. |
|
|
|
|
|
||
Мысалы, АВ кесіндісінің нақты шамасын анықтау керек. Ол үшін АВ түзуін |
|||||||
деңгей |
түзуіне түрлендіру керек. 9.4 |
а,ə - суреттерінде жаңа ось АВ түзуінің |
|||||
горизонталь А2В2 проекциясына параллель, ал жаңа П4 проекция жазықтығы АВ |
|||||||
түзуіне |
параллель |
орналасқан. |
АВ |
түзуі П4 |
проекция жазықтығына |
нақты |
|
шамасымен проекцияланады. Жаңа П4 проекция жазықтығы мен х24 осі түзуден кез келген қашықтықта орналасуына болады, оларды түзудің өзімен жəне оның проекциясымен беттестіріп қабылдаса да болады.
Негізгі əдебиет: 1 нег.[65-95 ], 2 нег. [94-110 ]
Қосымша əдебиет: 1 қос.[29-37].
Бақылау сұрақтары:
Проекция жазықтықтарын алмастыру тəсілімен түрлендірудің мəні неде?
Бір ғана проекция жазықтығын алмастырумен шығарылатын есептерді атаңыз.
Екі проекция жазықтықтарын алмастырумен шығарылатын есептерді атаңыз.
Проекция жазықтығына перпендикуляр осьтен айналдыру тəсілінің мəні неде?
Проекция жазықтықтарын алмастыру тəсілімен жазық фигураның нақты шамасын анықтаудың ретін айтып беріңіз.
10-дəріс. Қисық сызықтар мен беттер.
Қисық сызық – нүктелердің бірпараметрлік жиыны. Сызба геометрияда қисық сызық кеңістікте үздіксіз қозғалатын нүктенің траекториясы ретінде, сонымен қатар беттердің қиылысу сызығы ретінде қарастырылады.
10.1-сурет
Сызықтарды жазық жəне кеңістік сызықтары деп екі топқа бөледі. Барлық нүктелері бір жазықтықта жататын сызықтардыжазық (эллипс,
парабола, гипербола) деп атайды. Барлық нүктелері бір жазықтықта жатпайтын сызықтарды кеңістік (цилиндрлік, конустық бұрама сызықтар жəне .) т.б сызықтары деп атайды.Қисық аналитикалық жолмен, яғни алгебралық
41
(эллипс, парабола, гипербола жəне т.б.) немесе трансценденттік (синусоида жəне т.б.) теңдеумен берілуі мүмкін. Кейбір сызықтар тек қанаграфикалық жолмен беріледі, мысалы, топографиялық картадағы горизонтальдар.
Алгебралық сызықтың теңдеуінің дəрежесі қисықтыңретін анықтайды. Сызбада алгебралық қисықтың iретоның түзумен (немесе жазықтықпен кеңiстiк қисығы үшiн) қиылысу нүктелерiнiң санымен анықталады.
Қисық проекцияларының қасиеттері:
жалпы жағдайда қисық сызықтың проекциясы қисық сызық болады;
егер нүкте қисық сызықта жатса,онда оның проекциялары да қисық сызықтың аттас проекцияларына тиісті болады;
қисық сызықтың жанамасы осы қисық сызықтың проекциясының жанамасына проекцияланады (егер проекциялау бағыты мен жанама параллель болмаса).
Егер нүктенiң қозғалу бағыты жəне оның үстiне жанаманың айналу бағыты да өзгермесе, онда оны қарапайым нүкте деп атайды.
Егер нүктенiң қозғалу бағыты немесе жанаманың айналу бағыты өзгеретін болса, онда оны ерекше нүкте деп атайды. Оларға мынадай нүктелер жатады
(10.1-сурет):
а) сыну нүктесі – бұл нүктеде қисықтың екі жанамасы болады жəне бағыты «секірмелі» өзгереді;
ə) тораптық нүкте – бұл нүктеде қисық өзімен-өзі қиылысады; б) бұрылу нүктесі – бұл нүктеде жанаманың бағыты өзгереді; в) бірінші реттік қайту нүктесі; г) екінші реттік қайту нүктесі.
Беттердің жасалуы мен берілуі. Сызба геометрияда беттер кеңістікте белгілі бір заңдылықпен үздіксіз қозғалатын сызықтың орындарының жиыны ретінде қарастырады. Беттің жасалуының бұл тəсілінкинематикалық деп
-
атайды. Өзінің
қозғалысымен
бетті
жасайтын
l
түзуін
беттің жасаушысы
деп атайды (10.2-сурет). Жасаушы басқа
бір қозғалмайтын жəне бағыттаушы деп
аталатын
m
сызығының
бойымен
қозғалуы мүмкін.
Беттi анықтайтын шарттарды беттiң
анықтауышы
деп
атауға
келiс.iлген
Анықтауыш
–
геометриялық
жəне
10.2-сурет
алгоритмдiк
деп
аталатын екiбөлiктен
тұрады.
Егер кеңістіктің кез келген нүктесінің бетке тиістілігіне қатысты сұраққа жауап беруге болса, онда бет берілді деп есептеледі.
Жасаушының айналу осі болып табылатын қозғалмайтын түзуде айналуының нəтижесінде жасалатын бетті айналу беті деп атайды.
42
Проекциялық |
сызбада |
айналу |
осін |
|
|
|
|
|||||||||||||||
көбіне |
проекция |
жазықтығына |
|
|
|
|
||||||||||||||||
перпендикуляр |
|
|
орналастырады. |
|
|
|
|
|||||||||||||||
Жасаушының |
|
барлық |
нүктелері |
|
|
|
|
|||||||||||||||
шеңберлер бойымен қозғалады. Бұл |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
шеңберлер параллельдер деп аталады. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Ең үлкен параллельді экватор деп, ал |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
ең кішісін – мойын деп атайды. Егер |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
айналу осі вертикаль орналасса, онда |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
барлық |
параллельдер |
горизонталь |
|
|
|
|
||||||||||||||||
проекция |
жазықтығына |
бұрмалаусыз |
|
|
|
|
||||||||||||||||
нақты шамаларына |
проекцияланады. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Айналу |
|
осі |
|
арқылы |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
жазықтықтар |
бетті меридиан |
|
деп |
|
|
|
|
|||||||||||||||
аталатын |
сызықтар |
бойымен иядық. |
10.3 - сурет |
|
|
|||||||||||||||||
ы беттің очеркі деп аталады. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Проекция |
жазықтығына |
параллель |
жазықтықта |
орналасқан |
меридиан |
|
||||||||||||||||
басты деп аталады жəне бұл проекция жазықтығындағы проекцияс |
|
|
||||||||||||||||||||
10.4-суретте |
айналу |
бетінде |
бір-ақ |
проекциясы |
берілгенА нүктесінің |
|
||||||||||||||||
жетіспейтін проекциясын табу көрсетілген. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
Жасаушы |
l түзуін i осінен айналдырғанда |
екінші |
|
|||||||||||||||
|
|
|
реттік сызықтық айналу беті пайда болады: |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
егер l Ç i – конустық айналу беті; |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
егер l ÷÷ i – цилиндрлік айналу беті; |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
егер l |
i – бірқуысты айналу гиперболоиды. |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
Айналу |
|
бетінің |
түрі жасаушының пішіміне жəне |
|
||||||||||||||
о
ның
айналу осіне қатысты орналасуына
байланысты. Симметрия жазықтығы бар n
– реттік қисық сызығын осы симметрия
жазықтығында орналасқан айналу осінен
айналдырғанда n
– реттік айналу беті пайда болады.
|
1. |
Сфера. Шеңберді диаметрінен айналдыру арқылы |
|
|||||||
|
жасалады. |
|
|
|
|
|||||
|
2. |
Айналу эллипсоиды. Бұның меридианы эллипс |
|
|||||||
|
болып табылады. Егер Если эллипс өзінің үлкен осінен |
|
||||||||
|
айналса эллипсоид созылған деп, ал кіші осінен айналса |
|
||||||||
|
қысылған деп аталады. |
|
|
|
||||||
|
3. |
Айналу |
параболоиды. |
Меридианы парабола |
|
|||||
10.4-сурет |
болып табылады. |
|
|
|
|
|||||
4. |
Айналу |
гиперболоиды. Беттің |
меридианы– |
|
||||||
|
|
|||||||||
|
гипербола. Егер айналу осі гиперболаның |
нақты осімен |
|
|||||||
сəйкес болса, екі қуысты |
гиперболоид, ал егер |
айналу осі |
гиперболаның |
|
||||||
жорамал осімен сəйкес болса, бір қуысты гиперболоид жасалады.
43
5. Алгебралық n-реттік |
қисық |
сызықты |
кез |
келген |
бір |
түзуде |
|||
айналдырғанда 2n-реттік айналу |
беті |
пайда болады.Мысалы, |
тор. Тор |
беті |
|
||||
шеңберді центрі арқылы өтпейтін,бірақ шеңбер жазықтығында орналасқан түзуден айналдыру арқылы жасалады.
Түзудің белгілі бір заңды қозғалысынан пайда болған беттісызықтық деп атайды. Олар жайылатын жəне жайылмайтын болып екіге бөлінеді. Жайылатын беттер – конустық, цилиндрлік жəне торстық беттер.Кеңістік сызығына жанамалар жиынынан жасалған бетті торстық немес кері қайту қыры бар бет
-
деп атайды.
Жайылмайтын
беттер – параллелизм
жазықтығы
бар
беттер(Каталан
беттері):
цилиндроид,
коноид,
қиғаш
жазықтық
(
гиперболалық
параболоид) (10.5 - сурет). Сызықтың бұрама
қозғалысынан жасалатын
бетті бұрама бет деп атайды.Егер жасаушы бұрама қозғалыстың осімен қиылысатын болса,
|
бұрама |
бет жабық |
деп |
аталады,ал |
егер |
|
||||||||||
|
қиылыспайтын |
болса – |
ашық деп |
аталады. Егер |
|
|||||||||||
|
жасаушы түзу болса бетгеликоид деп аталады. |
|
||||||||||||||
10.5-сурет |
Егер |
жасаушы |
бұрама |
|
қозғалыстың |
осіне |
|
|||||||||
қиғаш деп аталады. |
перпендикуляр болса - тік, ал қиғаш орналасса – |
|
||||||||||||||
10.6-суретте жабық тік геликоид көрсетілген. Егер ашық |
|
|||||||||||||||
геликоидтың жасаушысы белгілі бір цилиндрлік бұрама |
сызыққа |
|
жанама |
|
||||||||||||
қозғалса, геликоид бұрама торс деп немесе эвольвенттік деп аталады,өйткені |
|
|||||||||||||||
оның нормаль қимасы (оське перпендикуляр) шеңбердің эвольвентасы болып |
|
|||||||||||||||
|
табылады. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Жасаушының |
бағыттауыш бойымен параллель |
|
|||||||||||||
|
қозғалысынан |
параллель |
көшіру |
|
беттері пайда |
|
||||||||||
|
болады. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Негізгі əдебиет: 1 нег.[117-162 ], |
2 нег. [67-93 ] |
|
|
|
|||||||||||
|
Қосымша əдебиет: 1 қос.[57-84]. |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Бақылау сұрақтары: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Қ
андай
қисық сызықтар алгебралық деп,немесе
трансценденттік деп аталады?
Қисық сызықтың қандай нүктелері ерекше деп аталады?
Беттің анықтауышы деген не?
Айналу беттерінің негізгі қасиеттерін айтыңыз?
Қандай бұрама беттер геликоид деп аталады?
Бетке тиісті нүктені немесе сызықты қалай салады?
Жасаушысы түзу болатын айналу беттерін атаңыз.
10.6-сурет
44
11-дəріс. Беттің жазықтықпен жəне түзумен қиылысуы.
Айналу беттерінің жазықтықпен қиылысу сызығын салудан бұрын, конусты қиюшы жазықтықпен қиғанда пайда болатын конустық қималарды салу шарттарын қарастырайық.
Конустың төбесі арқылы өтетін жазықтық конусты өзінің жасаушылары болып табылатын екі түзу бойымен қияды.
Осіне перпендикуляр жазықтық конусты шеңбер бойымен қияды.
11.1-сурет
Егер қиюшы жазықтық конустың барлық жасаушыларын қиса жəне оның осіне перпендикуляр болмаса, онда қима эллипс болады(11.1,а -сурет).
Егер қиюшы жазықтық конустың бір жағын қиса жəне конустың бір
-
жасаушысына
параллель
болса,онда
қима
парабола болады (11.1,ə-сурет).
Егер қиюшы жазықтық конустың екі жағын да
қиса жəне оның екі
жасаушысына
параллель
болса, онда қима гипербола болады (11.1,б-сурет).
Айналу
беттерінің жазықтықпен
қиылысуына
мысалдар қарастырайық.
1-мысал. Конустың фронталь проекциялаушы
жазықтықпен қиылысу сызығын салу керек (11.2-
сурет). Қиюшы жазықтық проекциялаушы болып
табылады,
сондықтан
қиылысу
сызығының
фронталь
проекциясы жазықтықтыңf фронталь
ізімен беттеседі. Эллипс
түріндегі
қимаП1
жазықтығына
11-21
кесіндісі
болып
проекцияланады.
Қиманың
горизонталь
проекциясы байланыс сызықтарының көмегімен
салынады. Элиипстің кіші осі - 3-4 кесіндісі үлкен
оське перпендикуляр жəне оны қақ бөледі. 3-4
11.2-сурет
нүктелерін параллельдердің немесе конустың екі
жасаушысы - S-3
пен S-4
көмегімен табамыз.
45
анықтаудың жалпы
əдісін тұжырымдаңыз.
46
2-мысал. Конустың жалпы жағдай жазықтығымен қиылысу сызығын салу керек. Бірінші мысалдан айырмашылығы сол, бұл жерде қиылысу сызығының екі проекциясын да салу керек.Конустың жекелеген жасаушыларының
берілген жазықтықпен қиылысу нүктелері түзудің жазықтықпен қиылысу
нүктелерін табу əдісімен анықталады.Егер қиылысу сызығы |
конустың |
|
||||||||||||||||||||
табанымен өтетін болса, қима толық емес деп аталады. |
1 жəне 2 |
нүктелері |
|
|||||||||||||||||||
жазықтықтың h горизонталь ізі |
мен |
конус |
табаны |
болатын шеңбердің |
|
|||||||||||||||||
қиылысуында табылады. Көріну 3 нүктесі |
конустың осі арқылы өтетін жəне |
|
||||||||||||||||||||
қиюшы жазықтықты f фронталі бойымен қиятын көмекші фронталь |
|
|||||||||||||||||||||
жазықтығының |
көмегімен |
анықталады. Көмекші жазықтығының |
фронталь |
|
||||||||||||||||||
проекциясының |
конустың |
очерктік |
жасаушысымен |
қиылысында3 нүктесінің |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
проекциясын анықтаймыз. |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Қиылысу |
сызығының |
ең |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
биік 4 нүктесі |
конустың осі |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
арқылы |
өтетін |
|
қиюшы |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
жазықтықтың |
|
конус |
осі |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
арқылы |
өтетін көлбеулігі |
ең |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
үлкен сызығының |
бойынан |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
табылады. |
Бұл |
|
|
нүкте |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
көмекші |
|
|
|
горизонталь |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
проекциялаушы |
|
|
g |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
жазықтығының |
|
көмегімен |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
анықталады. |
|
Қиылысу |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
сызығының аралық 5 жəне 6 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
нүктелері |
горизонталь d |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
жазықтығының |
|
көмегімен |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
анықталады. |
Бұл |
жазықтық |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
конусты шеңбер бойымен, ал |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
қиюшы |
a |
|
жазықтығын |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
горизонталь бойымен қияды. |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Негізгі |
əдебиет: |
1 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
нег.[117-162 ], |
2 нег. [67-93 ] |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Қосымша |
əдебиет: |
1 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
қос.[57-84]. |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Бақылау сұрақтары: |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
1. |
Беттің |
проекциялаушы |
|
||||||||||||||
|
|
11.3-сурет |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
жазықтықпен |
|
қиылысу |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
сызығының |
нүктелерін |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
12.1-сурет
Беттің жалпы жағдайдағы жазықтықпен қиылысу сызығының нүктелерін анықтаудың жалпы əдісін тұжырымдаңыз.
Беттің жазықтықпен қиылысу сызығының қандай нүктелерітіректік деп аталады?
Айналу конусын жазықтықпен қиғанда қиманың шеңбер,эллипс, гипербола, парабола, қиылысатын түзулер, нүкте болу шарттарын айтыңыз.
5. Конустық қиманың ең жоғарғы жəне ең төменгі нүктелерін қалай анықтайды?
12-дəріс. Беттердің өзара қиылысуы.
Беттердің қиылысу сызығын анықтау үшін əдетте көмекші беттер тəсілін қолданады. Жалпы жағдайда есепті шығару алгоритмі төмендегідей болады. Қиылысу сызығы түзу,жазық жəне кеңістік қисық сызығы немесе осы сызықтарды ң кез келген комбинациясы болуы мүмкін.
Берілген F и W беттерінің қиылысу сызығын анықтайық. Ол үшін көмекші
S бетін жүргіземіз. S беті F бетімен а
-
қ
исығыныңбойымен, ал
W бетімен b
қисығымен
қиылысады.
а
жəне b
қисықтарының қиылысу А нүктесі берілген екі бетке де тиісті,ендеше олардың қиылысу с сызығына да тиісті. Дəл осылай, қиылысу сызығының кез келген нүктесі табылады.
Екі беттің қиылысу сызығын анықтау үшін оларды бірнеше көмекші беттермен қию керек. Берілген беттер мен көмекші беттердің қиылысу сызықтарын салып, оларға ортақ нүктелерді белгілеп,
оларды бір-бірімен ретімен қосу керек.
Екі беттің қиылысу сызығының нүктелері тіректік жəне аралық болып екіге бөлінеді. Тіректік нүктелерге келесі нүктелер жатады:
проекция жазықтығына қатысты ең жақын жəне ең алыс орналасқан нүктелер;
проекциялары беттің нұсқа сызығында орналасатын көріну нүктелері;
қиылысу сызығының ең үлкен ендік сызығын анықтайтын нүктелер жəне
т.б.
Беттердің қиылысу сызығын салуды оның тіректік нүктелерін анықтаудан бастау керек.
Көмекші беттер ретінде жазықтықтарды немесе сфераларды қабылдаған тиімді. Сондықтан беттердің қиылысу сызығын анықтаудың жалпы тəсілінен екі тəсілді бөледі:
көмекші жазықтықтар тəсілі; көмекші сфералар тəсілі.
47
-
Көмекші
жазықтықтар
тə.сілі
Көмекші жазықтықтар ретінде:
1.
деңгей жазықтықтарын;
2.
проекциялаушы
жазықтықтарды;
3.
жалпы
жағдай
жазықтықтарды
қабылдауға
болады.
М
ысал.Үш
жақты
призманың
айналу конусымен
қиылысу сызығын
салу керек (12.2-сурет). Призманың үш
бүйір
жақтары –
фронталь
проекциялаушы
жазықтықтар. Бұл
б
еттердің
қиылысу сызығы үш жазық
-
қисық сызықтардан тұрады.
Призманың жақтары
конус
бетін
шеңбер,
толымсыз
эллипс
жəне
толымсыз
парабола
бойларымен
қияды.
12.2-сурет
Екінші реттік беттердің қиылысуының дербес жағдайлары.Сфералар
тəсілі. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Екінші |
реттік беттер |
қиылысқанда |
жалпы жағдайда қиылысу сызығы |
||||||||||
|
|
|
төртінші реттік қисық сызық болады. Бұл қисық |
||||||||||
|
|
|
сызық жазықтықпен төрт нүктеде(нақты жəне |
||||||||||
|
|
|
жорамал) қиылысады. Қиылысу сызығының реті |
||||||||||
|
|
|
қиылысушы беттердің реттерінің көбейтіндісіне |
||||||||||
|
|
|
тең. Төртінші реттік қисық екі жазық екінші |
||||||||||
|
|
|
реттік қисыққа бөлінуі мүмкін. |
|
|
||||||||
|
|
|
Теорема: Егер екі екінші реттік беттер бір |
||||||||||
|
|
|
жазық қисық сызық бойымен қиылысса,онда |
||||||||||
|
|
|
олар тағы да бір екінші реттік қисық сызық |
||||||||||
|
|
|
бойымен қиылысады. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
Бұл |
тұжырымның |
ақиқаттығы |
қиылысу |
|||||||
|
|
|
сызығы бөлінген екі қисық сызықтың ретінің |
||||||||||
|
|
|
қосындысы төртке тең болу керек екенінінен |
||||||||||
|
|
|
көрінеді. |
|
|
|
|
|
|||||
12.3-сурет |
|
1. Екі |
айналу бетінің |
осьтері |
беттеседі. |
||||||||
|
|
|
(12.3-сурет) |
|
|
|
|
||||||
Осьтері |
беттесетін |
екі |
айналу беттері |
параллельдер |
бойымен |
қиылысады |
|||||||
жəне егер |
беттердің |
осьтері проекция |
жазықтығына |
параллель |
, болсабұл |
||||||||
48
проекция жазықтығына параллельдер ось проекциясына перпендикуляр түзулер болып проекцияланады.
|
2. Айналу беттерінің осьтері |
|
|
||||||||||
|
қиылысады |
жəне |
|
проекция |
|
||||||||
|
жазықтығына |
|
|
параллель |
|
||||||||
|
орналасқан (12.4-сурет). |
|
|
|
|
||||||||
|
Бұл |
жағдайда |
|
көмекші |
|
||||||||
|
қиюшы |
|
|
жазықтықтарды |
|
||||||||
|
қолданған |
тиімсіз, |
өйткені |
|
|||||||||
|
олардың |
беттермен |
|
қиылысу |
|
||||||||
|
сызықтары |
|
|
|
графикалы |
|
|||||||
|
қарапайым |
сызықтар |
болып |
|
|||||||||
|
проекцияланбайды. |
Сондықтан |
|
||||||||||
|
осьтері |
қиылысатын |
|
жəне |
|
||||||||
|
проекция жазықтығына параллель |
|
|||||||||||
|
ортақ |
симметрия жазықтығы |
бар |
|
|||||||||
|
айналу |
беттерінің |
қиылысу |
|
|||||||||
|
сызығын |
салу |
үшінкөмекші |
|
|||||||||
12.4-сурет |
концентрлік |
(шоғырлас) |
|
||||||||||
сфералар |
тəсілін |
қолданған |
|
||||||||||
|
ыңғайлы |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
.
Егер екі екінші реттік айналу беттерінің
осьтері қиылысатын болса жəне проекция
жазықтығына параллель болса, онда
олардың қиылысу сызығы осы
-
проекция
жазықтығына
екінші
реттік
қисық
түрінде
проекцияланады.
3.
Беттердің
жанасу
нүктелерінде
ортақ
жанама
жазықтықтар
өтеді (12.5-
сурет).
Қосарланып
жанасу
туралы теорема.
Егер 2-реттік
беттердің
екі
жанасу
нүктесі
болса
жəне
сол
нүктелерде
оларға
жанама
жазықтықтар
ортақ
болса,
онда
олардың
қиылысу
сызығы
екі
екінші
реттік
қиылысу
сызығына
ажырайды.
4. Екіқиылысатын бет
12.5-сурет
12.6-сурет
үшінші
2-реттік
бетпен
жанасады (12.6-сурет).
49
Г.Монж теоремасы. Егер екі2-реттік беттер үшінші бір2-реттік бетке сырттай немесе іштей сызылса, онда олардың қиылысу сызығы екі жазық2-реттік қисық сызықтарға ажырайды.
Монж теоремасы – қосарланып жанасу туралы теореманың дербес түрі.
Негізгі əдебиет: 1 нег.[191-200], 2 нег. [131-145]
Негізгі əдебиет: 1 қос.[103-116].
Бақылау сұрақтары:
Беттердің қиылысу сызығын анықтаудың негізгі тəсілдерін айтыңыз.
Беттердің қиылысу сызығын анықтау үшін көмекші қиюшы жазықтықтар мен сфералар тəсілдерін таңдаудың жалпы принциптерін айтыңыз.
Қай кезде айналу беттері шеңберлер бойымен қиылысады?
Беттердің қандай қиылысуын толық немесе толық емес деп атайды?
Беттердің қиылысу сызығының қандай нүктелері тіректік деп аталады?
13-дəріс. Көпжақтар мен қисық беттердің жаймалары. |
|
||||
Көпжақтың |
жаймасы |
деп оның барлық жақтарын бір жазықтықпе |
|||
беттестіргенде пайда болатын жазық фигураны айтады. |
|
|
|||
Мысал. SABCD пирамидасының жаймасын салу керек (13.1-сурет). |
|||||
Пирамиданың |
АВСD |
табаны |
горизонталь |
деңгей |
жазықтығында |
орналасқан. Сондықтан оның |
қабырғалары П2 проекция |
жазықтығына нақты |
|||
|
|
|
13.1-сурет |
|
|
|
|
|
|
||||
шамасымен |
|
|
|
|
бүйір |
қырларының |
нақты |
|
|||||
проекцияланады. |
Пирамиданың |
|
|
||||||||||
шамаларын |
анықтау |
үшін |
тікбұрышты |
үшбұрыш |
тəсілін |
қолданамы. |
|
||||||
Пирамиданың барлық бүйір қырларының төбелерінің биіктіктерінің айырмасы
50
тең болғандықтан ортақ SS0 катеті бар тікбұрышты үшбұрыштар саламыз. Бұл
үшбұрыштардың |
екінші |
катеттері |
|
|
осы |
қырлардың |
гори |
|
||||||||||||||||||||||||
проекцияларының |
ұзындықтарына |
|
|
|
тең |
болады.Ыңғайлық |
үшін |
бүйір |
|
|||||||||||||||||||||||
қырлардың ұзындығын анықтауды сызбаның бос алаңында орналастырамыз. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Ортақ катеті |
|
S0 |
болатын |
|
S0 |
|
, |
|
S0 |
|
, |
|
S0 |
|
, |
|
S0 |
|
үшбұрыштарының жиыны |
|
||||||||||||
S |
S |
A |
S |
B |
S |
C |
S |
D |
|
|||||||||||||||||||||||
нақты шамалар диаграммасы деп аталады. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Беттің жанамасын салу сызбадан түсінікті:конгруэнтті кесінділер бірдей белгілермен белгіленген. Пирамиданың бүйір бетінің жаймасына оның табанын қосамыз.
Призма бетінің жаймасы келесі тəсілдермен тұрғызылады:
үшбұрыштар тəсілі (триангуляция тəсілі),
нормаль қималар тəсілі,
жаймалап жазу тəсілі.
Үшбұрыштар тəсілі əмбебап тəсіл болып табылады.Бұл тəсіл кез келген
көпжақты беттердің дəл жаймасын салу үшін жəне |
сызықтық |
беттердің |
жуықталған немесе шартты жаймасын салу үшін де қолайлы. |
|
|
Нормаль қима тəсілі призманың бүйір қырлары деңгей |
түзулері |
болған |
|
|
13.2-сурет |
|
|
|
|
|
|
|
|
кезде қолданылады. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Призманың |
жаймасын |
нормаль |
қима |
тəсілімен |
салу |
келесі |
ретп |
|
||
орындалады (13.2-сурет): |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
призманы оның бүйір қырларына перпендикуляр болатынa жазықтығымен қиямыз;
призманың a жазықтығымен қиылысу сызығы болатын сынық сызықтың қабырғаларының нақты шамалары анықталады;
бұл сынық сызық бір түзуге жайылады;
51
сынықтың төбелері арқылы перпендикулярлар тұрғызылып,олардың бойына призманың бүйір қырларының нақты шамалары салынады;
қырлардың ұштарын біртіндеп кесінділермен жалғаймыз;
|
|
6) призманыңбүйір бетінің жаймасына |
оның |
табандарының нақты |
|
|
||||||||||||||||
|
шамаларына |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
көпбұрыштарды |
|
тіркейміз. |
|
|
||||||||||||||||
|
Жаймалап |
жазу |
тəсілі– |
|
|
||||||||||||||||
|
нормаль қима тəсілінің дербес |
|
|
||||||||||||||||||
|
жағдайы. Бұл тəсіл призманың |
|
|
||||||||||||||||||
|
бүйір |
қырлары |
мен |
табандары |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
деңгейлік жағдайда орналасқан |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
кезде қолданылады. |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
Бұл |
тəсіл |
бойынш |
|||||||||||||||
|
|
|
|
призманың жақтары оның бүйір |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
қырларынан |
айналды-рылып |
||||||||||||||||
|
|
|
|
бір жазықтықпен беттестіріледі. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
Тұрғызылған |
фигу |
||||||||||||||||
|
|
|
|
призманың |
бүйір |
бетінің |
|||||||||||||||
|
|
|
|
жаймасы болып табылады. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
Жайылатын |
бетті |
||||||||||||||||
|
|
|
|
(конустық, |
цилиндрлік |
немесе |
|||||||||||||||
|
|
|
|
торстық) жуық жаймасын салу |
|||||||||||||||||
|
|
|
13.3-сурет |
осы бетке іштей немесе сырттай |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
сызылған көпжақтың жаймасын |
|||||||||||||||||
тұрғызуға келіп тіреледі. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Жуық жаймаларды салу мынадай ретпен орындалады: |
|
|
|
||||||||||||||||||
1) |
берілген |
жайылатын |
бетті |
көпжақты |
бетпен |
алмасты |
|
||||||||||||||
(аппроксимация); |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2) көпжақты беттің дəл жаймасы салынады; |
|
|
|
||||||||||||||||||
3) |
аппроксимациялаушы көпжақты |
беттің жаймасын |
берілген |
беттің |
|
||||||||||||||||
жаймасы ретінде қабылдаймыз.
Негізгі əдебиет: 1 нег.[201-207], 2 нег. [105-110]
Негізгі əдебиет: 1 қос.[117-123].
Бақылау сұрақтары:
Беттің жаймасы деп нені айтады?
Қандай беттер жайылатын деп, қандай беттер жайылмайтын деп аталады?
Жаймалардың негізгі қасиеттерін атаңыз.
Конус пен цилиндрдің жаймаларын графикалық тұрғызу ретін айтып беріңіз.
Беттің аппроксимациясы деп нені айтады?
Көпжақтың жаймасын салудың қандай тəсілдерін білесіз?
52
14-дəріс. Сандық белгілері бар проекциялар. Нүкте, түзу, жазықтық.
Фигураның горизонталь проекция жазықтығынан қандай қашықтықта орналасқанын білдіретін цифрлармен бірге берілген горизонталь проекция жазықтығындағы ортогональ проекцияларын сандық белгілер бар проекциялар деп атайлы. (14.1-сурет).
|
|
|
|
|
|
A |
|
z |
|
|
x |
|
|
10 |
8 |
6 |
4 |
2 |
0 |
|
|
|
|
|
B-5 |
|
A6 |
|
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
П0 |
C º C0 |
|
|
|
|
6 |
|
|
||
|
|
|
8 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
B |
|
y |
|
|
|
|
||
|
|
a) |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
O |
|
|
||
х |
12 |
10 |
8 |
6 |
4 |
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
A
6
4
|
|
A |
|
|
z |
|
|
|
|
Dh |
hА |
0 |
|
x |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
a A |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
hВ |
B |
|
|
|
|
|
|
3 |
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П0 |
|
|
|
|
|
|
х |
|
a) |
y |
|
O |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
A6
l
-
B-5
6
l
l
C0
8
B3
-1 0 1 2
10
-1 0 1 2
12
П0
б)
П0
y
14.2-сурет
б)
y
14.1-сурет
горизонталь проекциясын оның планы деп атайды
Бейнеленетін объектінің
(
14.1б-сурет).
Нольдік деңгейден жоғары орналасқан
нүктелердің сандық белгілері оң мəнді,
ал төмен орналасқан нүктелердің мəндері
теріс болады. Нольдік деңгей жазықтығындағы
нүктелердің сандық белгілері нольге
тең болады.
Сандық белгілерді вертикаль өлшемдері(биктіктері) горизонталь өлшемдерімен салыстырғанда кішкентай болатын күрделі қисық сызықты беттердің сызбаларын орындағанда қолданған . тиімдіСондықтан бұл проекцияларда топографиялық беттердің сызбалары орындалады.
hA-hB=Dh – А нүктесінің В нүктесінен биіктік айырмасы.
АВ кесіндісінің проекциясын L əрпімен белгілеп, оны АВ кесіндісінің жатысы деп атаймыз.
Dh/L=tga=i қатынасы түзудің көлбеулігі деп аталады. Көлбеулікке кері шама:
1/i = L/Dh=l – түзудің интервалы деп аталады.
53
Түзудің интервалы оның бір бірлікке көтерілуіне сəйкес жатыстың шамасын анықтайды.
Түзудің интервалын анықтау үшін орындалатын графикалық əрекеттерді
түзуді бөліктеу (градуирование) деп атайды.
Түзуді бөліктеу - түзу жатысындағы бүтін сандық белгісі бар нүктелерді
анықтау болады.
Түзуді бөліктеу кесіндіні пропорционал бөлу тə,сіліменпалетканың
(палетка – калькада жасалған трафарет) көмегімен, қосымша графиктердің
көмегімен жəне т.б. тəсілдермен орындалады (14.3-сурет).
1. Сызбада жатыстары параллель,құлау бағыттары бірдей жəне
интервалдары тең түзулер кеңістікте өзара параллель болады (14.4а-сурет).
2. Планда проекциялары қиылысатын жəне қиылысу нүктесінде сандық
белгілері бірдей болатын түзулер кеңістіктеқиылысатын түзулер болады
а |
б |
в |
|
г |
|
|
|
|||||
|
14.3-сурет |
|
|
|
|
|
||||||
(14.4б-сурет). |
|
3. |
Егер |
|
параллельдік |
|
||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
немесе |
қиылысу |
шарттары |
|
|||||||
|
|
орындалмайтын |
|
, болса |
|
|||||||
|
|
түзулер |
|
|
|
кеңістік |
|
|||||
|
|
айқасатын болады. |
|
|
||||||||
|
|
Сандық |
белгілері |
бар |
|
|||||||
|
|
проекцияларда жазықтық бір |
|
|
||||||||
|
|
түзудің |
бойында |
жатпайтын |
|
|
||||||
|
|
үш нүктемен, түзумен жəне |
|
|
||||||||
|
14.4-сурет |
одан тыс жатқан нүктемен, |
|
|||||||||
|
параллель |
|
түзулермен, |
|
||||||||
|
|
|
|
|||||||||
қиылысатын түзулермен жəне т.б берлуі мүмкін. Бірақ жазықтықтың көлбеулік |
|
|
||||||||||
масштабымен берілгені ыңғайлы. |
|
|
|
|
|
|||||||
Жазықтықтың көлбеулігі ең үлкен сызығының проекциясының бөліктелген |
|
|||||||||||
проекциясы |
оның көлбеулік |
масштабы деп аталады. |
Көлбеулік |
масштабы |
|
|
||||||
54
қосарланған (жуан жəне жіңішке) сызықпен бейнеленеді жəнеi индексімен
белгіленеді. Жазықтықтың |
горизонтальдарының |
пландағы |
проекциялары |
||||
көлбеулік |
масштабына |
перпендикуляр болады,горизонтальдардың (бүтін |
|||||
сандық |
белгілерімен) көршілес проекцияларының |
арасындағы |
қашықтық |
||||
|
|
14.5-сурет |
|
|
|
|
|
|
|||||
жазықтықтың |
|
|
|
Жазықтықтың |
құлау a бұрышы |
депР |
|
||||||
интервалы болады. |
|
|
|||||||||||
жазықтығының |
П0 проекция |
|
жазықтығына |
көлбеулігін |
айтады.Ол |
|
|||||||
жазықтықтың |
көлбеулігі |
ең |
үлкенАВ |
сызығымен Рi горизонталь |
|
||||||||
проекциясының арасындағы бұрышпен анықталады. |
|
|
|
||||||||||
Жазықтықтың |
созылым бағыты деп сандық белгілердің өсу жағына |
|
|||||||||||
қарағандағы горизонтальдардың оң бағытын айтады. |
|
|
|
||||||||||
Жер меридианы мен созылым бағыты арасындағы бұрышjсозылым бұрышы деп аталады. Бұл бұрыш меридианның солтүстік ұшынан сағат тіліне қарсы бағытта созылым бағытына дейінгі бұрышпен анықталады.
Параллель жазықтықтар. Параллель жазықтықтардың көлбеулік масштабы сызықтары өзара параллель, интервалдары тең болады жəне сандық белгілері бір бағытта өседі. Бұл шарттардың біреуі орындалмайтын болса, жазықтықтар кеңістікте қиылысады.
Негізгі əдебиет: 1 нег.[290-300], 2 нег. [148-152]
Негізгі əдебиет: 1 қос.[317-318].
Бақылау сұрақтары:
Түзудің көлбеулігі мен интервалы дегеніміз не?
Түзуді бөліктеу деген не?
Жазықтықтың көлбеулік масштабы деген не?
Жазықтықтың горизонтальдары оның көлбеулік масштабына қатысты қалай орналасады?
Қандай бұрышты жазықтықтың құлау бұрышы деп атайды?
Қандай бұрышты жазықтықтың созылым бұрышы деп атайды?
55