2.3. Теоремалар

Пікірлер, предикаттар және олардың қолданылатын амалдар көптеген тұжырымдардың логикалық құрылымын айқындауға мүмкіндік береді.

Математикада теорема деп аталатын сөйлемдер жиі кездеседі. Теорема және оларды дәлелдеу математиканың барлық бөлімдерінде бар. Олар әртүрлі сипаттама болып келеді. Теорема мазмұны қандай сипатта болғанда да, оның ақиқаттығын дәлелдеу арқылы анықтайтын пікір болып табылады.

Өзімізге белгілі математикалық логикалық ұғымдарын пайдалана отырып, теорема құрлысына байланысты мәселелерді анықтаймыз. Мысалы, “егер натурал санның соңғы цифры жұп сан болса, онда ол екіге бөлінеді”. Бұл теореманың натурал сандар жиынында берілген екі предикаттардың импликациясы екені белгілі. Егер кез келген натурал сан болса, онда : “ санның соңғы цифры жұп сан”, : “ саны екіге бөлінеді” предикаттарына жіктеліп теореманы түрінде жазуға болады импликациясы натурал сандар жиынынан алынған барлық үшін ақиқат болады дегенді білдіреді. Сондықтан импликациясының алдында жалпылау кванторын қоямыз, сонда берілген теорема мына тілде болады: , және оны былай оқиды “кез келген натурал сан үшін болатын болса, онда ол үшін да болады”.

Мысал: “Егер нүкте бұрыштың биссектрисасында жатса, онда ол бұрыштың қабырғаларынан бірдей қашықтықта болады” деген теореманы дәлелдейік. Бұл теореманың шарты: “Нүкте бұрыштың биссектрисасын да жатыр”, қорытындысы – “Нүкте бұрыштың қабырғаларынан бірдей қашықтықта болады” деген сөйлем. Осы теореманың шарты да, қорытындысы да жазықтықтағы нүктелер жиыны – берілген предикаттар екенін көреміз. Шындығында да, “Нүкте бұрыштың биссектрисасында” жатыр деген сөйлем, жиындағы нүктелер ішінен сол бұрыштың биссектрисасын бойында жатқан нүктелер үшін ақиқат, ал басқа нүктелер үшін жалған болады. “Нүкте бұрыштың қабырғасынан бірдей қашықтықта болады” деген сөйлем туралы да дәл осы ойды айта аламыз. Осы сөйлемдерді сәйкес және деп белгілейік, мұндағы айнымалысы жиынындағы кез келген нүкте. Сонда қарастырып отырған теорема осы предикаттардың импликациясын береді, яғни предикаты “Егер нүкте бұрыштың биссектрисасын да жатса, онда ол бірдей қашықтықта жатыр” деп оқылып, ол жиынындағы барлық нүктелер үшін ақиқат пікір болады. Мұны жалпылау кванторы арқылы былай жазылады: ,

Қарастырылған теоремалар және предикаттарының импликациясы екенін анықтадық. импликациясы өзінің анықталу облысындағы кез келген үшін ақиқат болады. Сондықтан осы типтегі теоремалардың құрылысын үш бөлікке бөлуге болады:

1. Теореманың шарты: жиынында берілген предикаты;

2. Теореманың қорытындысы: жиынында берілген предикаты;

3. Түсіндіру бөлігі: мұнда теоремада сөз болып, объектілер жиыны баяндалады, теореманың символикалық жазылуындағы оның түсіндіру бөлігіне жазуы жатады;

Теореманың сөзбен берілуінде оны түсіндіру бөлігі әдетте айқындалып көрсетілмейді. Бірақ теоремамен жұмыс істеу барысында (қолданғанда, дәлелденгенде) оны бөліп айқындау қажет.

Кез келген теореманың сөзбен берілгенде “егер”, “онда” сөзі бар болса, онда оның құрылысы мына түрде болады: , мұндағы жиыны , предикаттары анықталатын жиын. “Егер”, “онда” сөзін қолданбай құрылған сөздердің құрылысы осындай болады: мысалы, “Ромбының диагональдары өзара перпендикуляр” деген теореманы алайық. Бұл теоремада егер барлық төртбұрыштары жиыны ішінен кез келген ромбты алсақ, оның диагональдары өзара перпендикуляр болады. Сондықтан, бұл теореманы былай деп тұжырымдай аламыз: “Егер төртбұрыш ромб болса, онда оның диагональдары өзара перпендикуляр болады” жазықтықтағы төртбұрыштар жиыны деп, ал оы жиындағы кез келген төртбұрышты деп белгілесек, бұл теорема , түрінде жазылады, мұндағы : “ төртбұрышы – ромб”, : “ төртбұрыштарының диагональдары өзара перпендикуляр” деген предикаттар. Теореманың қорытындысы үшін қажетті шарты, ал шарты қорытындысы үшін жеткілікті шарт болады.

Осы терминдерді пайдаланып “Ромбының диагональдары өзара перпендикуляр” деген теореманы былайша оқуға болады:

1. Төртбұрыш ромб болу үшін, оның диагональдарының өзара перпендикуляр болуы қажетті;

2. Төртбұрыштың диагональдары өзара перпендикуляр болу үшін, оның ромб болу жеткілікті;

Кейде “қажетті” шарт, “жеткілікті” шарт деген сөздердің орнына “қажетті белгі”, “жеткілікті белгі” деген сөздер қолданылады. Сандардың 9 – ға бөлінгіштігінің “Егер натурал санның цифрларының қосындысы 9 – ға бөлінетін болса, онда ол санның өзі де 9 – ға бөлінеді” деген белгіні қарастырайық. Бұл теореманы , түрде жазуға болады. Мұндағы жазылуы теореманың түсіндіру бөлігі, : “Натурал санның цифрларының қосындысы 9 – ға бөлінеді” деген предикат теореманың шарты, ал : “натурал сан 9 – ға бөлінеді” деген предикат теореманың қорытындысы.

Осы теореманы түсіндіру бөлігінің орнында қалдырып, оның шарты мен қорытындысының орындарын ауыстырайық. Сонда , түріндегі жаңа теорема аламыз. Бұл теорема былай оқылады: “Егер натурал сан 9 – ға бөлінетін болса, онда оның цифрларының қосындысы 9 – ға бөлінеді”. Бұл – алғашқы теоремаға кері теорема деп аталады.

Егер және жиынында берілген предикаттар болса, онда , және , теоремалары өзара кері теоремалар деп аталады. Олардың түсіндіру бөлігі бірдей болады.

Мектепте тура және кері теоремалар жиі қарастырылады. Өзара кері теоремалар анықтамасынан олардың кез келгені тура теорема ретінде алуға болады, сонда екінші оған кері теорема болып есептеледі. Жоғарыда қарастырылған мысалдағы екі теорема да ақиақат. Дегенмен әрдайым бұлай бола бермейді.

– барлық төртбұрыштар жиынында : “төртбұрыш – ромб ”, : “ төртбұрышының диагональдары өзара перпендикуляр” деген предикаттар берілсін. “Егер төртбұрыш ромб болса онда оның диагональдары өзара перпендикуляр” деген теореманы қарастырайық. Бұл теорема ақиқат. Енді, осыған кері теорема , : “Егер төртбұрыштың диагональдары өзара перпендикуляр болса, онда ол ромб болады” түрінде құрылады. Бұл теореманың жалған екенін көрсетуге болады.

6 - сызба

6 – сызбада кескінделген АВСД төртбұрышының диагональдары өзара перпендикуляр болғанымен ол ромб емес. Егер өзара кері теоремалардың екеуі де ақиқат болса онда оларды бір теоремаларға біріктіруге болады: , , яғни жиынында берілген және жиынында предикаттар эквивалентті. Мұндай жағдайда , предикаттарының әрқайсысы қажетті және жеткілікті шарт болып саналады.

Алғашқы мысалға қайта оралайық “Егер натурал саның қосындысы 9 – ға бөлінетін болса, онда ол сан да 9 – ға бөлінеді” деген теореманы және оған кері “Егер натурал сан 9 – ға бөлінетін болса, онда оның қосындысы 9 – ға бөлінеді” деген теоремаларды біріктіріп, “Натурал сан 9 – ға бөлінуі үшін оның цифрларының қосындысы 9 – ға бөлінуі қажетті және жеткілікті” теорема түрінде тұжырымдауға болады. “Қажетті және жеткілікті” сөздерінің орнына “сонда тек сонда ғана” сөздері жиі қолданылады.

, теореманың шарты мен қорытындысы оның терістеуімен ауыстырайық , түрінде жаңа теорема аламыз. Бұл теореманы берілген теоремаға қарма-қарсы теорема деп атайды. Мысалы, натурал сндар жиынында : “ санының ондық жазылуы нольмен аяқталады” және : “ саны 5 – ке бөлінеді” предикаттары берілсін. Сонда, , теоремасы былай оқылады: “Егер натурал санның жазылуы нольмен аяқталса, онда ол сан 5 – ке бөлінеді”. Ал бұл теоремаға қарама-қарсы теорема: “Егер натурал санның ондық жазылуы нольмен аяқталмаса, онда ол сан 5 – ке бөлінбейді”.

Бұл мысалдағы теорема ақиқат, ал оған қарама-қарсы теорема жалған, себебі нольмен аяқталмайтын, бірақ 5 – ке бөлінетін сандардың мысалын көптен келтіруге болады (5,15,25,...).

, теоремасы берілген теоремаға кері теореманың қарама-қарсы теоремасы болады. Сонда бұл “Егер натурал сан 5 – ке бөлінсе, онда оның ондық жазылуы онмен аяқталмайды” деген теорема “Егер натурал сан 5 – ке бөлінсе, онда оның жазылуы нольмен аяқталады” деген теоремаға қарама-қарсы, санмен қатар “Егер санның ондық жазылуы нольмен аяқталса, онда ол 5 – ке бөлінеді” деген теоремаға кері тоерема.

Сонымен, , және , теоремалардың теңбе-тең екенін көрдік, яғни егер , теоремасы ақиқат болса, сонда тек сонда ғана , теорема ақиқат болады. Бұл факт қарсы жорып дәлелдеу әдісіне негізделген, яғни , теореманың ақиқаттығын дәлелдеу үшін оған кері теоремаға қарама-қарсы теореманың ақиқаттығын дәлелдеу керек.

Қарсы жорып дәлелдеу әдісімен “Егер екі түзу үшінші түзуге параллель болса, онда олар өзара параллель болады” теоремасын дәлелдейік. Бұл теореманың шарты : “ , түзулері өзара параллель” деген предикаттар болады. Теореманың қорытындысын жалған деп жориық, яғни , түзулері параллель емес және олар бір нүктесінде қиылыссын. Бұл жағдайда түзулердің параллельдік аксиомасы бойынша, , түзулері бір мезгілде түзуіне параллель бола алмайды. Сонымен, түзуінің түзуіне параллель еместігінен, , түзулері түзуіне бір мезгілде параллель болмайды, ол бұл шартқа қайшы, олай болса пен параллель емес жору қате, яғни берілген теоремаға кері теореманың қарама-қарсы теоремасы ақиқат болады. Бұдан берілген теореманың ақиқаттығы шығады.