2. Алгоритм решения задачи

Методы решения СЛАУ можно разделить на две группы: точные и итерационные (приближенные) методы.

Точными являются такие методы, которые позволяют получить решение системы после выполнения конечного числа арифметических операций над коэффициентами системы и их свободными членами. К точным методам относятся метод Гаусса и правило Крамера.

Итерационными являются методы, позволяющие получать решения системы с заданной точностью путем сходящихся бесконечных процессов. Из приближенных методов рассмотрим метод итераций.

1. Точные методы решения СЛАУ

В линейной алгебре решаются следующие основные задачи:

1. Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ);

2. Вычисление значения определителя матрицы;

3. Нахождение обратной матрицы;

Преобразуем СЛАУ к виду:

(3.3)

Очевидно, умножение обратной матрицы на столбец свободных членов есть решение СЛАУ (вектор X).

2. Итерационные методы решения СЛАУ.

Метод итераций позволяет получить последовательность приближенных значений, сходящихся к точному решению СЛАУ.

Для решения системы уравнений 3.1. итерационными методами необходимо переписать ее в виде итерационной формулы:

(3.4)

3. Итерационные методы решения СНУ.

Метод итераций основан на представлении СНУ (3.2) в итерационном виде. В матричной форме СНУ в итерационном виде может быть записана так

F(i,X_j)=X_i i<>j (3.5)

где F(i,X_j) – вектор значений функций левая часть СНУ;

X_i – вектор значений неизвестных.

3. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПАКЕТА MATHCAD.

Для решения СЛАУ в MathCAD’е предназначена функция Lsolve (A,B). Эта функция возвращает вектор решений линейной системы вида (3.1). Можно решить СЛАУ, используя обратную матрицу (3.3).

Реализация решения итерационным методом как для СЛАУ, так и для СНУ одинакова. Для решения систем итерационным методом можно воспользоваться конструкцией Given… Find(x,y) (Дано…Найти), но при этом в уравнениях требуется использовать неиндексированные переменные. Эта конструкция основана на методике поиска корня вблизи точки начального приближения, которую обязательно надо задать.

Структура блока вычислительного блока, открываемого директивой Given, следующая:

• Начальные условия (задаются в виде var:=value);

• Директива Given

• Уравнения (задаются в виде expr_left=expr_right с использованием жирного знака равенства между левой и правой частью каждого уравнения);

• Ограничительные условия;

• Выражения с функциями Find, Minerr..

Например: Решить систему уравнений

Между функциями Find, Minerr существуют принципиальные различия. Первая функция используется, когда решение реально существует (хотя и не является аналитическим). Вторая функция пытается найти максимальное приближение даже к несуществующему решению путем минимизации среднеквадратичной погрешности решения.

При использовании функции Minerr надо проявлять известную осторожность и обязательно предусматривать проверку решений. Нередки случаи, когда решения могут оказаться ошибочными.

Задание

Студентам предлагается

1. Решить систему линейных алгебраических уравнений 4-ого порядка с матрицей коэффициентов

и с различными вариантами значений вектора свободных членов , представленными в таблицу 3.1.

Таблица 3.1.

Номер варианта	Вектор свободных членов
1	16, 17, 18, 14
2	32, 34, 36, 28
3	48, 51, 54, 42
4	64, 68, 72, 56
5	29, 34, 45, 48
6	45, 51, 63, 62
7	61, 68, 81, 76
8	77, 85, 99, 90
9	51, 51, 45, 22
10	67, 68, 63, 36
11	83, 85, 81, 50
12	99, 102, 99, 64
13	20, 29, 32, 17
14	36, 46, 50, 31
15	52, 63, 68, 45

2. Решить систему нелинейных уравнений 2-ого порядка при заданной точности.

Таблица 3.2

№		Система нелинейных уравнений		Погрешн. расчета				№		Система нелинейных уравнений		Погрешн. расчета
1				1.E-5				9				1.E-5
2				1.E-6				10				1.E-6
3				1.E-7				11				1.E-7
4				1.E-8				12				1.E-8
5			1.E-4				13				1.E-5
6			4.E-4				14				1.E-6
7			1.E-5				15				1.E-6
8			1.E-6				16				1.E-6

Варианты заданий приведены в таблицах 3.1-3.2. Номер варианта соответствует номеру студента по журналу.