Лабораторная работа n 3 Решение систем линейных и нелинейных уравнений. Цель работы.

1. Освоить способы решения системы линейных и нелинейных уравнений с помощью математического пакета MathCAD.

Постановка задачи.

1. Дана система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) вида:

A*X=B (3.1.)

где A – квадратная неособенная матрица порядка N,

X – вектор неизвестных,

B – вектор свободных членов.

Необходимо, используя средства математического пакета MathCAD найти значения элементов вектора неизвестных Х.

2. Дана система нелинейных уравнений (СНУ) вида

F(X)=0 (3.2)

где F – вектор–функция размерностью N, F=(f(1),f(2),…f(N));

X – вектор–столбец неизвестных размерностью N.

Необходимо, используя средства математического пакета MathCAD решить систему(3.2).

1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ О ПАКЕТЕ MATHCAD.

   1. Определение векторов и матриц.

Для объявления элементов матрицы и работы с ними в MathCAD’е предназначена панель векторов и матриц. Ниже приведено назначение пиктограмм панели векторов и матриц.

О ператор ввода и редактирования матрицы

О ператор работы с элементом матрицы

О ператор выделения столбца матрицы

О ператор транспонирования матрицы

О ператор вычисления детерминанта матрицы

О ператор скалярного умножения матриц

О ператор векторного умножения матриц

О ператор поэлементного умножения матриц

О ператор векторной суммы

Для ввода и редактирования векторов и матриц можно использовать команду Matrix подменю Insert главного меню, пиктограмму ввода на панели векторов и матриц или комбинацию клавиш Ctrl+M. При этом на экране появится диалоговое окно ввода матрицы, с помощью которого можно добавлять – Insert –строки – Rows (столбцы – Columns) –, удалять – Delete строки (столбцы). Переход от одного элемента к другому при вводе значений элементов матрицы осуществляется с помощью клавиши Tab. Если элементы матрицы вычисляются по заданной формуле, то для создания матрицы можно использовать оператор работы с элементами матрицы.

Например

i := 0 ..9 j := 0 ..9 X[i,j := i^2+j/2

Для доступа к каждому элементу матрицы, также используется оператор работы с элементами матрицы или комбинация клавиш Ctrl+[.

Номер первого элемента вектора и массива хранится в системной переменной ORIGIN, по умолчанию ее значение равно нулю. Изменить значение переменной ORIGIN можно посредством вкладки Built-in Variables команды Options подменю Math главного меню

Для доступа к целому столбцу матрицы используется оператор выделения столбца матрицы, а для доступа к целой строке матрицы используется оператор транспонирования в сочетании с оператором выделения столбца матрицы.

Например

В таблице 3.1 приведены некоторые функции, предназначенные для работы с векторами и матрицами.

Таблица 3.1

Функция	Назначение
augment(A,B)	Соединение двух матриц, одинаковой размерности.
cholesky(M)	Треугольное разложение матрицы М методом Холецкого.
diag(v)	Диагональная матрица, элементы главной диагонали которой – вектор v.
eigenvals(M)	Собственные значения матрицы.
identity(n)	Единичная квадратная матрица размером n
last(v)	Индекс последнего элемента вектора v.
lenght(v)	Число элементов в векторе v
lu(M)	Треугольное разложение матрицы М.
matrix(m,n,f)	Матрица, в которой (i,j)-ый элемент содержит f(i,j), где i=0,1,…,m; j=0,1,…, n
max(A)	Наибольший элемент в матрице А.
min(A)	Наименьший элемент в матрице А.
rank(A)	Ранг матрицы А.
rows(A)	Число строк в матрице А.
tr(M)	Сумма, расположенных на главной диагонали элементов квадратной матрицы М. (След матрицы)