13.Przedstaw sposób postępowania z danymi statystycznymi w przypadku linearyzacji modelu potęgowego oraz modelu wykładniczego.
W przypadku linearyzacji modelu potęgowego należy zamiast zebranych danych dotyczących zmiennej objaśnianej i zmiennych objaśniających wprowadzić zmienne będące ich logarytmami naturalnymi. W przypadku linearyzacji standardowego modelu wykładniczego należy zamiast zebranych danych dotyczących zmiennej objaśnianej wprowadzić zmienna będącą logarytmem naturalnym tej zmiennej.
14. Przedstaw I omów najczęściej stosowane modele trendu.
Modele trendu, podobnie jak inne modele ekonometryczne, mogą mieć postać liniową, nieliniową sprowadzalną do liniowej albo nieliniową niesprowadzalną do liniowej.
W przypadkach silnie uzasadnionych merytorycznie stosowane są liniowe modele trendu, które można przedstawić w postaci ogólnej
Jest to najczęściej wykorzystywana w praktyce postać funkcji trendu, stosowana zawsze w przypadku, gdy można przyjąć założenie o stałych przyrostach wartości zmiennej y w jednostce czasu.
W pozostałych przypadkach zastosowanie znajdują nieliniowe modele trendu. Spośród trendów nieliniowych sprowadzalnych do liniowych warto rozważyć:
a)trend logarytmiczny, np.
Przydatny okazać się może trend logarytmiczny w sytuacji, gdy chcemy opisywać tłumienie trendu w czasie, czyli stopniowy zanik wzrostu (lub spadku).
b)trendy wielomianowe, np.
c)trend potęgowy
W pewnych aspektach jest on podobny do niektórych z wyżej opisanych i stanowi dla nich rodzaj uzupełnienia ,ale należy pamiętać, że nie jest im w ogólności równoważny. Zależnie zatem od opisywanych zjawisk, może on okazać się bardziej odpowiedni niż podobne mu trendy innego typu. Ponadto w przypadku wielomianów wyższych stopni jego przewagą jest mniejsza liczba parametrów potrzebnych do opisania dynamicznego monotonicznego wzrostu.
d)trendy wykładnicze, np. klasyczny trend wykładniczy
Mankamentem tego modelu jest brak parametru odpowiedzialnego bezpośrednio za poziom. Startowa wartość (pierwsza obserwacja) trendu może być ustalona przy pomocy parametru βo, ale będzie to miało konsekwencje dla dopasowania trendu. Z tego powodu rozważać też możemy model wzbogacony o zmienną wolną.
W praktyce często wykorzystywane są także trendy nieliniowe niesprowadzalne do łiniowych, np. zmodyfikowane trendy wykładnicze
przy czym w szczególnych przypadkach przyjmuje się, że β2=e którego rozwinięciem jest tzw. krzywa opadająca, np.
15. Przedstaw I omów istotę I założenia estymacji klasyczną metodą najmniejszych kwadratów.
Najczęściej stosowaną metodą estymacji jest klasyczna metoda najmniejszych kwadratów KMNK, jest ona relatywnie prosta i uzasadniona intuicyjnie, sprowadza się do wyznaczenia takiej linii teoretycznej, aby wybrane punkty leżące na niej były jak najmniej oddalone od odpowiednich punktów empirycznych. KMNK może być stosowana gdy: estymowany jest model jednorównaniowy, zmienna objaśniana przyjmuje wartości losowe, zmienne objaśniające są nielosowe i przyjmują wartości ustalone z góry, zmienne objaśniające nie są współliniowe, zmienne objaśniające nie są skorelowane ze zmienną losową, parametry strukturalne modelu są stałe dla wszystkich obserwacji itp. Jeśli spełnione są jednocześnie powyższe założenia to otrzymujemy estymatory: nieobciążone, zgodne, najbardziej efektywne. Jeśli założenia są nie spełnione to stosujemy inną metodę, np. KMNK przy warunkach ubocznych, metodę uogólnioną najmniejszych kwadratów Aitkena (występuje heteroscedastyczność składnika losowego), metodę najmniejszych kwadratów Cochrane’a Orcutta (występuje autokorelacja składnika losowego), metodę różniczki zupełnej, wartości parametrów strukturalnych zmieniają się w okresie diagnozy jednokrotnie ( podział na dwa podokresy i KMNK trzech modeli , itp.