4.2 Тела вращения

В составе формы многих изделий встречаются поверхности вращения: прямой круговой цилиндр, конус, сфера. Построение аксонометрических проекций цилиндра и конуса заключается в построении аксонометрической проекции основания, нахождении аксонометрической проекции высоты (или длины) геометрического тела и отображении на этой основе остальной поверхности геометрических тел. На рис. 41 продемонстрирована последовательность построения изометрии вертикального цилиндра (рис. 40), основание которого параллельно плоскости xOy (горизонтальной); начало координат – в центре нижнего основания. Для этого необходимо:

- построить аксонометрические оси и определиться с коэффициентами искажения;

- построить основание по правилам построения аксонометрических проекций окружности (эллипс или заменяющий его овал), рис. 41а;

Рис. 40 - с учётом высоты цилиндра построить верхнее основание, каждая точка которого может быть построена также по точкам нижнего основания путём откладывания размера высоты цилиндра на линии, параллельной аксонометрической оси z; при замене эллипса овалом таким же приёмом можно построить центры дуг (рис. 41б);

а) б) в) г)

Рис. 41

- провести касательные к двум эллипсам, получая изображения крайних (очерковых) образующих и цилиндра в целом (рис.41в);

- обвести цилиндр с учетом видимости (рис.41г).

На рис. 42 показаны аксонометрии цилиндров, каждый из которых ориентирован перпендикулярно одной из плоскостей проекций (соответственно П₁, П₂, и П₃), при этом построение цилиндров с горизонтально расположенными осями аналогично изложенному выше. На рис. 43 те же цилиндры изображены с удалёнными по координатным плоскостям четвертями.

Рис. 42

Рис. 43

Построение аксонометрии конуса происходит по похожей схеме (рис. 44): строим аксонометрические оси, затем – нижнее основание (начало связанной с конусом системы координат принимаем в его центре), потом - вершину конуса, проводим очерковые образующие (касательно к основанию), обводим с учётом видимости.

Рис. 44

На рис. 45 показаны аксонометрии усечённого конуса при различных положениях по отношению к плоскостям проекций; здесь на высоте конуса строится верхнее основание и очерковые образующие проводятся касательно обоим эллипсам. На рис. 46 те же конуса изображены с удалёнными четвертями.

Рис.45

Рис. 46

Аксонометрической проекцией сферы всегда является окружность, описанная из проекции центра сферы и касательная к эллипсам, построенным в координатных плоскостях (огибающая их). На рис. 47 изображены прямоугольные изометрии сферы, в том числе с удалённой четвертой и восьмой частями. Радиус окружности (проекции сферы) равен 1,22R_сф (больше натуры в 1,22 раза) при приведенных коэффициентах искажения и R_сф при действительных коэффициентах. Здесь видно, что «северный» и «южный» полюса не принадлежат очерковой окружности, их расстояние до центра сферы равны радиусу сферы (или 0,82 его величины). На рис. 48 изображена сфера в прямоугольной диметрии, при этом радиус окружности (проекции сферы) равен соответственно 1,06 R_сф (больше натуры в 1,06 раза) или R_сф.

Рис. 47

Рис.48

При выполнении и защите семестровых графических работ по теме «Тела вращения» и решении задач в рабочей тетради предлагается ряд типовых задач.

Задача 4.3 Определение координат точки на поверхности вращения.

Д а н о: аксонометрическая проекция точки К, принадлежащей поверхности прямого кругового конуса (рис. 49а). О п р е д е л и т ь: координаты точки К (положение точки в заданной системе координат). На рис. 49 продемонстрированы этапы решения.

 Следует помнить, что точка принадлежит поверхности, если она принадлежит линии, лежащей на этой поверхности. В качестве линии на поверхности конуса следует выбирать прямолинейную образующую.

Для определения координат точки необходимо построить в аксонометрии координатную ломаную линию, для чего достаточно определить положение одной из вторичных проекций точки (в данном случае – горизонтальной).

Алгоритм решения задачи:

- проводим на поверхности конуса через точку К образующую линию (в данном случае линию S1) и строим вторичную проекцию линии (рис. 49б);

- проецируем точку К на плоскость П₁ – строим вторичную проекцию К', принадлежащую вторичной проекции образующей (рис. 49в);

- строим ломаную координатную линию и определяем аксонометрические коор­динаты (рис. 49г);

- в зависимости от типа аксонометрической проекции и принятых коэффициентов искажения рассчитываем по формулам (1.3) декартовы координаты.

а) б) в) г)

Рис. 49

Задача 4.4 Построение аксонометрии усечённого тела вращения.

Д а н о: аксонометрическая и вторичная фронтальная проекции прямого кругового цилиндра, а также фронтально-проецирующая плоскость α (рис. 50а).

П о с т р о и т ь: линию пересечения (сечение) цилиндра плоскостью.

 Сечением цилиндра в данном случае является плоская кривая –эллипс, точки которого одновременно принадлежат поверхности цилиндра и секущей плоскости. Для определения линии пересечения (сечения) надо построить ряд точек, удовлетворяющих этому условию.

Любая точка сечения строится как пересечение образующей цилиндра с секущей плоскостью. При заданной проецирующей плоскости эти точки легко определяются на фронтальной плоскости проекций. Алгоритм решения задачи:

- вначале строим точки, определяющие большую (точки A и B) и малую (точки C и D) оси, как точки пересечения образующих цилиндра, параллельных плоскостям проекций П₂ и П₃. Размер большой оси эллипса зависит от наклона плоскости α, а размер малой оси всегда равен диаметру цилиндра (рис. 50б);

- строим дополнительные точки как пересечение произвольных образующих с плоскостью α (пример – точка 1 на рис. 50в); при этом учитываем двойную симметрию точек эллипса относительно большой и малой осей. Обводим полученное сечение (рис. 50в).

Дополнительные точки в данном примере можно было не определять, а строить эллипс по большой и малой осям (рис. 24).

а) б) в)

Рис. 50

Задача 4.5 Построение линии пересечения поверхностей вращения.

Д а н о: аксонометрические проекции двух цилиндрических поверхностей (круговых цилиндров одинакового диаметра), рис. 51а. П о с т р о и т ь: линию пересечения цилиндров. На рис. 51 приведены этапы решения задачи.

 Результатом пересечения двух поверхностей вращения является в общем случае пространственная кривая линия, все точки которой одновременно принадлежат обеим поверхностям. Для определения линии пересечения надо построить ряд точек, удовлетворяющих этому условию.

Построения можно выполнять по координатам точек, принадлежащих линии пересечения и взятых с комплексного чертежа (ортогональных проекций), или строить линию пересечения непосредственно на аксонометрическом изображении, используя вспомогательные секущие поверхности (чаще всего плоскости, которые позволяют получить простые в построении линии пересечения вспомогательных плоскостей с заданными поверхностями). В этом случае каждая точка искомой линии пересечения поверхностей стро­ится как результат пересечения линий одной поверхности с линиями другой. Алгоритм решения задачи:

- определяем положение вспомогательных секущих плоскостей (посредников); в данном случае выбираем посредники α параллельными осям цилиндров (а также параллельными плоскости П₂), такие посредники пересекают цилиндры по прямолинейным образующим;

- для каждой вспомогательной секущей плоскости строим линии её пересечения с заданными цилиндрами, в данном примере – прямолинейные образующие (рис. 51б);

- строим точки пересечения образующих, полученных на разных цилиндрах от одного посредника (рис. 51б);

- определяем видимость, при этом точка считается видимой, если она лежит на видимых частях обеих поверхностей; обводим линию по полученным точкам с учётом видимости (рис. 51в).

а) б) в)

Рис. 51