2 Типы аксонометрий

В зависимости от направления проецирования по отношению к картинной плоскости аксонометрические проекции делят на прямоугольные (направление проецирования перпендикулярно к плоскости α) и косоугольные ( направление проецирования неперпендикулярно к плоскости α).

Существуют изометрические, диметрические и триметрические проекции. К изометрическим проекциям относятся такие проекции, которые имеют одинаковые коэффициенты искажения по всем трем осям (название "изометрия" по-гречески означает "равные измерения"). Диметрическими проекциями называются такие проекции, у которых два коэффициента искажения по осям одинаковые, а величина третьего отличается от них (название "диметрия" по-гречески означает "двойное измерение"). К триметрическим проекциям относятся проекции, у которых все коэффици­енты искажения различны.

По соотношению размеров проецируемого объекта и его изображения на картинной плоскости все аксонометрические проекции разделяют на действительные и подобно увеличенные (приведенные).

ГОСТ 2.317-2011 «Аксонометрические проекции» устанавливает правила построения (отображения) на плоскости следующих пяти аксонометрических проекций:

- прямоугольной изометрической проекции (рис. 2а);

- прямоугольной диметрической проекции (рис. 2б);

- косоугольной фронтальной изометрической проекции (рис. 2в);

- косоугольной фронтальной диметрической проекции (рис. 2г);

- косоугольной горизонтальной изометрической проекции (рис. 2д).

Рис. 2

На приведенных выше рисунках показаны направления аксонометрических осей для каждой из этих аксонометрий.

 Согласно ГОСТ 2.317-2011 в необходимых случаях допускается применять другие теоретически обоснованные аксонометрические проекции.

В машиностроительном производстве наиболее употребляемыми на чертежах аксонометрическими проекциями являются прямоугольная изометрия (рис. 2а) и прямоугольная диметрия (рис. 2б).

Для прямоугольной изометрии (в дальнейшем изложении – изометрии) действительные коэффициенты искажения по всем осям равны и имеют значение 0,82. Для упрощения и удобства построений изометрию выполняют, как правило, с использованием приведенных коэффициентов искажения, равных 1. В этом случае изображение объекта получается подобно увеличенным в 1/0,82 ≈ 1,22 раза (масштаб 1,22:1).

Для прямоугольной диметрии (далее – диметрии) действительные коэффициенты искажения по осям x и z равны и имеют значения 0,94, а по оси y – 0,47. Для упрощения построений диметрию выполняют, как правило, с использованием приведенных коэффициентов искажения, равных 1 для осей x и z и 0,5 для оси y. В этом случае изображение объекта получается увеличенным в 1/0,94 ≈ 1,06 раза (масштаб 1,06:1).

3 Аксонометрии простейших геометрических объектов

3.1 Точка, прямая, плоскость. Типовые задачи

Аксонометрическое изображение обычно строят на основе ортогональных проекций (комплексного чертежа) предмета.

Построение аксонометрической проекции любого геометрического объекта начинается с построения аксонометрических осей (здесь и далее индекс α картинной плоскости в обозначении осей и аксонометрических проекций будем опускать). Ось z для всех аксонометрий располагается вертикально (рис. 2). Оси x и y с соблюдением для конкретного типа аксонометрии заданных углов можно строить транспортиром с приемлемой точностью. Приблизительное построение аксонометрических осей по тангенсу углов представлено на рис. 3а (прямоугольная диметрия) и рис. 3б (прямоугольная изометрия). При этом учитывается, что tg 7°10′ ≈ 1/8, tg 41°25′ ≈ 7/8, tg 30° ≈ 3/5. Далее следует определиться, какие коэффициенты искажения будут применяться для построений – действительные или приведенные. Для простоты построений рекомендуются приведенные коэффициенты искажения. В этом случае для изометрии по всем осям и параллельно им откладываются истинные (натуральные) размеры, для диметрии по осям x и z откладываются натуральные, а по оси y (и параллельно ей) - сокращённые в два раза размеры.

а) б)

Рис. 3

 Для любого заданного типа аксонометрии положение точки в пространстве определяется: тремя аксонометрическими координатами; аксонометрической и одной из вторичных проекций; любыми двумя вторичными проекциями.

Для определения положения на чертеже аксонометрической проекции точки в заданных осях и принятых коэффициентах искажения (действительных или приведенных) строят плоскую координатную ломаную линию, проходящую через одну из вторичных проекций (рис. 4а для диметрии и рис. 4б для изометрии). Из сопоставления рисунков очевидно, что порядок построения аксонометрии точки А в обоих случаях одинаков; разница заключается в расположении осей и длине отрезков, откладываемых вдоль оси y. При построении координатной линии используют либо заданные координаты точки в виде А(x_А,y_А,z_А), либо координаты точки снимаются с комплексного чертежа точки А (рис. 5) в принятой на нём системе координат.

а)

б)

Рис. 4

Рис. 5

 Вторичные проекции точек используют в процессе построения аксонометрии, но на готовом аксонометрическом чертеже их сохраняют в исключительных случаях.

Для построения аксонометрической проекции прямой линии достаточно построить проекции двух любых её точек. Для примера на рис. 6а изображена в диметрии прямая (отрезок) общего положения (не параллельная ни одной из плоскостей проекций), на рис. 6б – фронтальная прямая (параллельна плоскости П₂, а значит y_A = y_B ; при этом вторичная горизонтальная проекция параллельна оси x), на рис. 6в – горизонтальная прямая (параллельна П₁, а значит z_A = z_B ; при этом аксонометрическая проекция прямой параллельна её вторичной горизонтальной проекции).

а) б) в)

Рис. 6

Ни на одном из приведенных выше рисунков аксонометрическая проекция АВ отрезка не равна его истинной величине. Аксонометрия отрезка равна его величине только в том случае, когда отрезок параллелен какой-либо оси координат (на рис. 7а – оси x , на рис. 7б – оси y , на рис. 7в – оси z).

Для построения аксонометрической проекции плоскости достаточно построить проекции трёх любых её точек, не лежащих на одной прямой. Существует несколько способов задания плоскости на чертеже. На рис. 8а изображена плоскость общего положения (не перпендикулярная плоскостям проекций), заданная плоской фигурой – треугольником. На рис. 8б и рис. 8в – тоже плоскости общего положения, заданные соответственно двумя параллельными прямыми и следами (линиями пересечения плоскости с плоскостями проекций, где h′_0α – горизонтальный след, f ″_0α – фронтальный след, X _α – точка схода следов). На рис. 8г изображена горизонтально-проецирующая (перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций) плоскость, при этом вторичная горизонтальная проекция плоскости – прямая линия. На рис. 8д - такая же плоскость, заданная следами, при этом фронтальный след f ″_0α параллелен оси z.

а) б) в)

Рис. 7

а) б) в)

Рис. 8

г) д)

Рис. 8 (окончание)

При выполнении и защите семестровых графических работ, а также при решении задач в рабочей тетради по темам «Точка», «Прямая», «Плоскость», предлагается к решению ряд типовых задач.

 Следует понимать, что геометрические задачи в аксонометрии решают, придерживаясь тех же алгоритмов, что и на ортогональных проекциях (комплексном чертеже).

Задача 3.1 Определение следов прямой линии.

Д а н о: аксонометрическая и вторичная горизонтальная проекции прямой (АВ), рис. 9. Т р е б у е т с я: построить следы заданной прямой; определить, через какие октанты пространства проходит прямая линия (ход линии).

 Следом прямой линии называется точка пересечения линии с плоскостью проекций. В зависимости от положения прямой по отношению к плоскостям проекций П₁, П₂, П₃ можно построить: три следа (для прямой общего положения), два – для прямой, параллельной одной плоскости проекций, один – для проецирующей прямой. Каждый след – это точка, одновременно принадлежащая прямой линии и соответствующей плоскости проекций, то есть имеющая одну из координат, равную нулю (у горизонтального следа z = 0, у фронтального y = 0, у профильного x = 0). Каждый след совпадает с соответствующей проекцией на одну из плоскостей проекций (например, горизонтальный след- с горизонтальной проекцией).

На рис. 9а представлено задание прямой (АВ). На рис. 9б – последовательность построений. Алгоритм решения задачи:

- анализируем положение прямой по отношению к плоскостям проекций; в данном случае задана прямая общего положения (рис. 6а), поэтому строим три следа;

- горизонтальный след M строится в пересечении вторичной горизонтальной и аксонометрической проекций, при этом M = M';

- для фронтального следа N вначале строится вторичная горизонтальная проекция N' (y = 0), а затем в проекционной связи N'' = N;

- для профильного следа P вначале строится вторичная горизонтальная проекция P' (x = 0), а затем в проекционной связи P''' = P.

Из расположения следов на рис. 9б видно, что заданная прямая проходит через 4 - 1 – 5 - 6 октанты.строится ии вторичной горизонтальной и аксонометрической проекций ат, равную нулю (у горизонтальн

а) б)

Рис. 9

Задача 3.2 Определение координат точки в заданной плоскости.

Д а н о: аксонометрическая проекция точки К, принадлежащей плоскости α (АВС). О п р е д е л и т ь: координаты точки К (положение точки в заданной системе координат). На рис. 10а представлено задание, на рис. 10б - окончательный вид решённой задачи, на рис. 11 продемонстрированы этапы решения.

Для определения координат точки необходимо построить в аксонометрии координатную ломаную линию. Алгоритм решения задачи:

- анализируем положение плоскости по отноше­нию к плоскостям проекций, в данной задаче задана плоскость общего положения (рис. 8а); в этом случае дейст­вует общее правило: точка в плоскости строится с помощью прямой, лежащей в этой плоскости;

- проводим в аксонометрической проекции плоскости α через точку К любую дополнительную прямую линию (в данном случае линию А1) и строим её вторичную проекцию (рис. 11б);

- проецируем точку К на плоскость П₁ – строим вторичную проекцию К' (рис. 11в);

- строим ломаную координатную линию и определяем аксонометрические коор­динаты (рис. 11г);

- в зависимости от типа аксонометрической проекции и принятых коэффициентов искажения рассчитываем по формулам (1.3) декартовы коорди- Рис. 10 наты (например, в прямоугольной диметрии аксоно- метрическую ординату y увеличиваем в два раза).

а) б) в) г)

Рис. 11

Задача 3.3 Проведение проецирующей плоскости через заданную прямую.

Д а н о : Аксонометрическая и вторичная проекции прямой линии.

П о с т р о и т ь: проецирующую плоскость, включающую в себя заданную прямую линию.

 Через прямую линию в пространстве можно провести множество различных плоскостей, однако перпендикулярную какой-либо плоскости проекций (проецирующую) – только одну.

На рис. 12а изображено задание на аксонометрическом чертеже прямой линии (АВ). На рис. 12б через эту прямую проведена горизонтально - проецирующая плоскость α, при этом вторичная проекция α' плоскости – прямая линия, совпадающая с проекцией А'В' прямой. На рис. 12в через прямую проведена такая же плоскость, заданная следами, при этом горизонтальный след h′_0α проведён через вторичную проекцию прямой, а профильный след p''′_0α параллелен оси z.

а) б) в)

Рис. 12

Задача 3.4 Определение точки пересечения прямой с плоскостью.

Д а н о : аксонометрические и вторичные проекции плоскости α (АВС) и прямой линии (EF). О п р е д е л и т ь: точку пересечения прямой с плоскостью.

 Результатом пересечения прямой с плоскостью является единичное множество – точка, принадлежащая одновременно прямой и плоскости. Определяемая точка строится как пересечение заданной прямой с какой-либо прямой, лежащей в заданной плоскости.

На рис. 13а изображено задание, на рис. 13б – окончательный вид решённой задачи. На рис. 14 продемонстрированы этапы решения.

Алгоритм решения задачи заключается в последовательном выполнении следующих операций:

- анализируем положение плоскости и прямой по отноше­нию к плоскостям проекций – в данном случае заданы прямая и плоскость общего положения (рис. 6а, 8а);

- проводим через заданную прямую (EF) горизонтально - проецирующую плоскость (посредник) γ (рис. 14б); проведение такой плоскости рассмотрено в задаче 3.3 (рис. 12б);

- строим линию пересечения вспомогательной и заданной плоскостей - линию (12) (рис. 14в); точки 1 и 2 определяются как точки пересечения сторон треугольника с плоскостью γ, линия (12) принадлежит заданной плоскости;

- строим точку К как пересечение линии (12) с линией (EF) (рис. 14г), гарантией их пересечения является то, что обе линии лежат в одной плоскости - посреднике γ; полученная точка является результатом решения задачи;

Рис. 13 - методом конкурирующих точек в предположении вида сверху определяем видимость аксонометрической проекции прямой в границах треугольника (рис. 14г).

На рис. 15 представлены последовательные этапы решения аналогичной задачи при задании плоскости следами.

а) б) в) г)

Рис. 14

а) б) в) г)

Рис. 15

Задача 3. 5 Определение линии пересечения двух плоскостей.

Д а н о: аксонометрический чертёж двух плоскостей, заданных плоскими фигурами (треугольниками): α (ABC) и δ (DEF). О п р е д е л и т ь: линию пересечения плоскостей.

 Результатом пересечения двух плоскостей является прямая линия, все точки которой принадлежат обеим плоскостям. Для определения линии пересечения достаточно построить две точки, общие для заданных плоскостей.

На рис. 16а изображено задание, на рис. 16б – окончательный вид решённой задачи. На рис. 17 продемонстрированы этапы решения.

Линию пересечения плоскостей строим, определяя точки пересечения прямых одной плоскости с другой. Алгоритм решения задачи:

- анализируем положение заданных плоскостей по отношению к плоскостям проекций, в данном случае обе плоскости являются плоскостями общего положения (рис. 8а);

- в плоскости δ выбираем прямую (EF) и определяем точку её пересечения с плоскостью α (ABC) – точку К (рис. 17б); определение такой точки рассмотрено в задаче 3.4 (здесь γ - плоскость-посредник);

- в плоскости δ выбираем прямую (ED) и определяем точку её пересечения с плоскостью α (ABC) – точку L (рис. 17в), здесь β - плоскость-посредник;

- строим прямую линию (KL), которая является линией пересечения двух плоскостей (рис. 17г);

- методом конкурирующих точек в предположении вида сверху определяем видимость аксонометрических проекций плоскостей в пределах их общей части (рис. 17г).

Рис. 16

а) б) в) г)

Рис. 17

На рис. 18 представлены последовательные этапы решения аналогичной задачи при задании одной из плоскостей следами.

а) б) в) г)

Рис.18