1 Образование аксонометрической проекции. Термины и определения

В соответствии с ГОСТ 2.317-2011 аксонометрической проекцией объекта называется проекция на плоскость с помощью параллельных лучей, идущих из центра проецирования (который удалён в бесконечность) через каждую точку объекта до пересечения с плоскостью, на которую проецируется объект. Таким образом, аксонометрия является плоским однокартинным изображением (т.е имитирует трёхмерность), полученным параллельным проецированием предмета на плоскость вместе с осями прямоугольных координат, к которым предмет жёстко привязан в пространстве. Система координат позволяет производить измерения по осям, определяя положение предметов и их элементов в пространстве.

В аксонометрических проекциях сохраняются все свойства параллельных проекций, например: параллельные в пространстве прямые имеют параллельные проекции; если отрезок прямой линии делится в пространстве точкой в каком-либо отношении, то и проекция отрезка делится проекцией точки в том же отношении; точка пересечения проекций двух пересекающихся прямых является проекцией точки пересечения этих прямых в пространстве.

Для того, чтобы получить аксонометрическую проекцию какого-либо предмета (рис. 1), необходимо мысленно:

- поместить предмет (в данном случае точку А) в систему трёх взаимно перпендикулярных координатных осей Оxyz;

- выбрать аксонометрическую (картинную) плоскость проекций α и расположить предмет перед ней;

- выбрать направление параллельных проецирующих лучей s, которое не должно совпадать с направлением ни одной из координатных осей;

- направить проецирующие лучи через все точки предмета и координатные оси до пересечения с плоскостью α, получив тем самым изображение предмета и координатных осей.

 Для обеспечения обратимости такого чертежа вместе с предметом проецируют и его ортогональную проекцию на одну из координатных плоскостей (в данном случае горизонтальную проекцию А′ на плоскость Оxy).

На картинной плоскости рис. 1 определены следующие элементы аксонометрической проекции:

x _α, y _α, z _α – аксонометрические оси (оси аксонометрических координат);

A′_α – вторичная горизонтальная проекция точки А (проекция ортогональной горизонтальной проекции);

A _α – аксонометрическая проекция точки А.

В качестве вторичной проекции вместо горизонтальной может присутствовать фронтальная A′′_α или профильная A′′′_α .

Рис. 1

Ломаная пространственная координатная линия ОА_x А′А (ОА_x – абсцисса точки А, А_xА′ - ордината, А′А – аппликата) в системе декартовых координат проецируется на картинную плоскость в плоскую координатную ломаную линию О_αА_xαА′_αА_α , т.е.при построении аксонометрии координаты откладывают вдоль аксонометрических осей x _α, y _α, z _α .

 На аксонометрическом чертеже аксонометрическая и одна из вторичных проекции предмета обеспечивают метрическую определенность и обратимость однокартинного изображения.

 Проекции прямых, параллельных в пространстве декартовым координатам, параллельны соответствующим аксонометрическим осям. Это свойство параллельных проекций обеспечивает простоту построения аксонометрического чертежа.

На координатных (декартовых) осях рис. 1 отложены отрезки e - единичные отрезки (масштабные, они же натуральные, единицы), которые одинаковы для всех осей. Аксонометрические проекции e_xα, e_yα, e_zα, этих отрезков на картинную плоскость называются аксонометрическими масштабами, они в общем случае не равны натуральному масштабу и не равны друг другу, т.к. координатные оси x,y,z имеют различные углы наклона к плоскости α. Отрезки e_xα, e_yα, e_zα принимают за единицы длины по соответствующим аксонометрическим осям. Так как при параллельном проецировании отношение длин отрезков параллельных прямых сохраняется, то аксонометрические масштабы e_xα, e_yα, e_zα откладываются на каждой из соответствующих сторон ломаной О_αА_xαА′_αА_α столько раз, сколько раз натуральный масштаб e откладывается на каждой из сторон пространственной координатной ломаной ОА_xА′А.

Отношения к_x, к_y, к_z аксонометрических масштабов к натуральному масштабу называют коэффициентами (показателями) искажения по соответствующим аксонометрическим осям:

к_x = e_x /e к_y= e_y /e к_z = e_z /e (1.1)

Перевод величин декартовых координат x, y, z в аксонометрические

x_α, y_α, z_α осуществляется по формулам:

x_α= к_x x y_α= к_y y z_α= к_z z (1.2)

Перевод аксонометрических координат в декартовы – по формулам:

x = x_α / к_x y = y_α / к_y z = z_α / к_z (1.3)

Можно получить множество аксонометрических проекций, имеющих различные направления аксонометрических осей и различные значения коэффициентов искажения и обладающих различной степенью наглядности, по-разному располагая предмет перед плоскостью и выбирая при этом различное направление проецирующих лучей. Обратимость аксонометрического чертежа (возможность определения натуральных размеров изображаемого объекта) обеспечивается заданием (или возможностью определения) коэффициентов искажения и возможностью построения аксонометрической ломаной координатной линии любой точки поверхности, принадлежащей изображённому объекту.