1. Способ приведения к одному основанию.

При решении этим способом уравнение преобразовывается и приводится к виду . Равенство выполняется тогда, когда равны показатели степени т.е.

Пример 1. Решите уравнение:

Уравнение имеет степень с одинаковыми основаниями в левой и правой частях.

Если степени равны при равных основаниях, то равны и показатели степеней, следовательно: , приводим к стандартному виду

, решаем квадратное уравнение и получаем корни уравнения . Найденные значения являются и решением данного уравнения.

Ответ:

Пример 2. Решите уравнение:

Каждую степень приводим к основанию 2.

; при умножении с одинаковыми основаниями степеней, показатели складываются , приравниваем показатели степеней и решаем квадратное уравнение.

Ответ: -2,4

2. Способ вынесения общего множителя за скобку.

При решении этим способом определяем общий множитель, где показатель степени содержит переменную , выносим его за скобку, используя свойства степеней. В результате получаем уравнение вида . Решая это уравнение, получаем .

Пример 3. Решите уравнение:

Применим свойства степеней , вынесем общий множитель за скобку , далее , , , , т.о получаем

Ответ: 2

Пример 4. Решите уравнение:

Выносим за скобку степень с наименьшим показателем степени , получаем , далее . , , получаем ,

Ответ: 2

3. Способ квадратного уравнения.

В этом случае показательное уравнение общим видом похоже на квадратное уравнение типа . Делаем замену , получаем квадратное уравнение . Решая это уравнение, находим и возвращаемся к замене. Подставляя , получаем уравнение, которое решаем первым способом.

Пример 5. Решите уравнение:

Делаем замену , получаем уравнение . Решаем уравнение и находим корни .Таким образом и нет решения.

Ответ: 1

Пример 6. Решите уравнение:

Делаем замену ,получаем . Корни этого уравнения . Возвращаемся к замене и

Ответ:1, -1

4.Способ деления.

Если уравнение имеет степень с одинаковым показателем, то в этом случае используем свойство деления степеней. Рассмотрим примеры.

Пример 7. Решите уравнение

Разделим данное уравнение на , получаем или следовательно . Ответ:0

Пример 8. Решите уравнение:

Разделим данное уравнение на , получаем , далее т.о

Ответ:0,5

5. Графический способ. В этом случае уравнение разбивается на две функции, графики которых строим в системе координат. Точка пересечения функций и будет решением уравнения.

Пример 9. Решите уравнение

Запишем уравнение в виде двух функций

Построим графики этих функций.

у

1 х

Решением уравнения является

Ответ:1

Примеры для самостоятельного решения.

Вопросы для контроля:

1.Какие способы решения показательных уравнений вы знаете?

2. Знать способы решения уравнений.

Форма отчета: письменная работа.

Методические рекомендации по выполнению внеклассной самостоятельной работы по теме: Решение логарифмических уравнений, сводящиеся к простейшим.

Цель: Закрепление умений и навыков при решении логарифмических уравнений.

Теоретический материал:

Для решения уравнений можно использовать утверждение:

Этот переход называется потенцированием. Запишите это утверждение в тетрадь по теории. Рассмотрим решение примера №1: . Обратите внимание на оформление решения.

 не подходит, по условию  .

Ответ: корней нет.

Рассмотрим следующее уравнение пример № 2:

 (В правой части уравнения сумма логарифмов равна логарифму произведения чисел). Обратите внимание, что условие для проверки всегда составляют по исходному уравнению.

 не подходит, по условию  .

Ответ:  .

Пример № 3.Рассмотрим уравнение:   ?

(это квадратное уравнение относительно  ). (Можно ввести новую переменную). Этот метод так и называется – метод введения новой переменной.

. Пусть  , тогда  .

 или                    

Ответ: 1; 1/3.

Задание для внеклассной самостоятельной работы: 

Определить метод решения каждого уравнения, сгруппировать их по методам и решить их. Решить простейшие.

1.    2.    3. log_0,3(– x² + 5x + 7) = log_0,3(10x – 7) 4.    5. log₂₃(2x – 1) – log₂₃x = 0

6.    7.    8.    9. log_0,5x = x + 0,5 10. 

11.    12. log₁₁(x + 4) + log₁₁(x – 7) = log₁₁(x – 7) 13.    14.    15. 3log²_0,5x + 5log_0,5x – 2 = 0

16.    17. log_0,1(x² + 4x – 20) = 0 18.    19. log₂₃(2x – 1) – log₂₃x = 0

Вопросы для самоконтроля:

1.Какие способы решения уравнений вы знаете?

2. Знать способы решения уравнений.

Форма отчета: письменная работа.

Литература

1. Башмаков М.И. «Математика» /М.И. Башмаков, М.: Издательский центр «Академия» 2011. – 256с.

Методические рекомендации по выполнению внеклассной самостоятельной работы по теме: Решение логарифмических уравнения и неравенств, сводящихся к простейшим.

Цель: Закрепление математических навыков и умений на решение логарифмических уравнений и неравенств, сводящиеся к простейшим.

Рекомендации по выполнению работы:

Краткие теоретические положения:

Простейшие логарифмические уравнения имеют вид: 

1. 

2. 

Решение логарифмических неравенств, сводится к решению:

1. простейших неравенств вида  . В каждом из этих случаев нужно различать, каким числом является а, так как от этого зависит характер монотонности логарифмической функции. Если  , то функция возрастает, а если  , - убывает. Поэтому приходится рассматривать различные простейшие неравенства.

2. или неравенств вида 

1. ;

2. ;

Примеры:

1. Решить уравнение .

Решение. Исходное уравнение равносильно уравнению , которое в свою очередь равносильно квадратному уравнению . Находим корни этого уравнения : х₁=3, х₂=2.

Ответ: х₁=3, х₂=2.

2. Решить уравнение .

Решение. 1) Найдем область допустимых решений данного уравнения, для чего решим систему неравенств: . Первое неравенство системы выполняется при любых значениях переменной, второе - при . Поэтому система имеет решение .

2) Для решения уравнения перейдем к одному основанию логарифмов, а именно к основанию 2, воспользовавшись свойствами логарифмов:

.

Решая полученное дробно-рациональное уравнение, находим: , , . Из найденных значений только входит в область допустимых решений уравнения.

Ответ: .

Задания для внеклассной самостоятельной работы:

Решить уравнения:

1 вариант 2 вариант

а) log₂(х²+4х+3)=3 а) log₂(х² -3х+1)=log₂(2х-3)

б) log₃(х+6)+log₃(х-2)=2 б) log₂(1+х)+log₂(-9-2х)=log₂3

в) log₂²х – log₂х – 2=0 в)

Решить неравенство:

а) log₅ (3x + 1) < 2; а) log ₂ (3 – 5x) < 2

б) log₈ (x² – 7x) > 1; б) log₁₂ (x²  – x) ≤ 1

в) в) log₂ (5x – 9) ≤ log₂ (3x + 1);

г) б) (2 + 3x)  -1 г)

Литература: Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования / М.И.Башмаков. – М.: Издательский центр «Академия», 2011. – 256с.

Повести самоконтроль.

Форма отчета письменная работа.

Сдать работу на проверку преподавателем.

Методические рекомендации по выполнению внеаудиторной самостоятельной работы по теме: Решение тригонометрических уравнений

Цель: Закрепление умений и навыков при решении тригонометрических уравнений.

Основные вопросы по теме:

1. Решение простейших тригонометрических уравнений.

2. Решение уравнений сводящиеся к квадратным.

Рекомендации по выполнению внеаудиторной самостоятельной работы:

1.Прочтите теоретический материал (конспект, дополнительная литература или интернет ресурсы)

2. Запишите и выполните задание.

3. Запишите ответ.

Краткий теоретический материал.

При рассмотрении темы «Решение тригонометрических уравнений, сводящихся к простейшим», рассмотрим несколько способов решения уравнений.

1). К первому способу можно отнести уравнения вида:

asin²x + bsinx + c = 0, в этом случае делаем замену sinx = y

acos²x + bcosx + c = 0, в этом случае делаем замену cosx = y

atg²x + btg x + c = 0 ,в этом случае делаем замену tg x= y.

Все уравнения примут вид квадратного уравнения

ay² + by + c = 0, из которого находятся y₁,y₂. Возвращаясь к замене, получим простейшие уравнения: sinx = y₁, sinx = y₂.

Пример 1.

6sin²x - sinx - 2 = 0,

Обозначим sinx = y и получим квадратное уравнение:

6y² – y – 2 = 0

Корни этого уравнения y₁ = и y₂ = ─ , таким образом получаем два простейших уравнения:

sinx = и sinx = ─ . Решением этих уравнений будут:

x₁ = (-1)ⁿ arcsin + πn, n Z,

x₂ = (-1)^{n +1}∙ + πn, n Z.

2). Ко второму способу можно отнести уравнения, которые приводятся к квадратному уравнению после применения тригонометрических формул одного числового аргумента или преобразований.

Если уравнение имеет вид:

asin²x+bcosx+c=0, делаем замену sin²x = 1 ─ cos²x.

acos²x+bsinx+c=0, делаем замену cos²x = 1 ─ sin²x.

После подстановки и преобразования получаем квадратное уравнение.

Пример 2.

2cos²x + 5sinx – 4 = 0

Делаем замену cos²x = 1 - sin²x, получаем

2(1-sin²x) + 5sinx - 4 = 0,

2 - 2sin²x + 5sinx – 4 = 0,

-2sin²x + 5sinx - 2 = 0,

Мы пришли к первому способу: делаем замену sinx = y, получаем

2y²-5y+2=0, корни этого уравнения y₁ = и y₂ = 2, т.о. получаем два простейших уравнения sinx = и sinx = 2.

Первое уравнение дает нам решение: x = (-1)ⁿ∙arcsin + πn, n Z, второе уравнение не имеет решения т.к. выходит за область значений. Из первого уравнения получаем

х = (-1)ⁿ· + πn, n Z.

Если уравнение имеет вид:

аtgx + ctgx+c = 0, то в этом случае уравнение умножаем на tgx или ctgx. Опять получим квадратное уравнение.

Пример 3.

tgx - 3ctgx - 20 = 0, умножим уравнение на tgx, получим:

tg²x - 3ctgx∙tgx - 2tgx = 0,

ctgx∙tgx = 1, т.о. получаем

tg²x - 2tgx – 3 = 0, (I способ): tgx = y, получим уравнение:

y² - 2y - 3 = 0, корнями этого уравнения являются значения:

у=-1, y=3.

Таким образом tgx = -1 и tgx = 3. Решения этих уравнений

имеют вид:x=arctg(-1) + πn, n Z, или x=- + n, n Z

и x=arctg 3 + πk, k Z.

Пример 4.

3) Третий способ. Если уравнение имеет вид: asinx+bcosx=0, то его делим на sinx или cosx,, предполагая, что они не равны 0. Получим в результате простейшие уравнения вида: a+bctgx=0 или atgx+b=0, из которых находим сначала ctgx или tgx, а затем х.

Пример 5.

2sinx + 3cosx = 0, делим на cosx, причем cosx ≠ 0,

+ = 0 , cosx 0, получаем

2tgx + 3 = 0, решаем как линейное уравнение:

tgx = - , x = arctg(- ) + πn, n Z

Ответ: x = arctg(- ) + πn, n Z.

3). К четвертому способу можно отнести уравнения, где выносится общий множитель. К таким уравнениям можно отнести неполные квадратные уравнения вида:

а) asin²x+bsinx=0, выносим общий множитель sinx;

б) acos²x+bcosx=0, выносим общий множитель cosx;

в) atg²+btgx=0, выносим общий множитель tgx.

В результате получаем по два простейших уравнения

а) sinx = 0, или sinx = б) cosx = 0, или cos =

в) tgx = 0, или tgx =

Пример 6.

2sin² x + 3sinx = 0, выносим общий множитель sinx за скобку, получаем sinx( 2sinx + 3 ) = 0, произведение равно нулю, когда один из сомножителей равен нулю, т. е.

sinx = 0 или 2sinx + 3 = 0,

Для уравнения sinx = 0 имеется частное решение x = πn, n Z

Из второго уравнения sinx = , это уравнение не имеет решение т.к. выходит за область значений: .

Ответ: x = .

Пример 7.

2cos² x + cosx = 0, выносим cosx за скобку, получаем

cosx( 2cosx + ) = 0,

cosx = 0, его частное решение x = ,

Из второго уравнения cosx = , его решением является

x = x =

Ответ: x = , x =

Пример 8.

sin2x + sinx = 0, воспользуемся формулой синуса двойного аргумента: sin2x = 2sinxcosx, подставим в уравнение, получим 2sinxcosx + sinx = 0, выносим общий множитель sinx за скобку.

sinx ( 2cosx + sinx ) = 0, в результате получаем два уравнения sinx = 0 или 2cosx + sinx = 0.

Решением первого уравнения является x = , второе уравнение решается, как пример 4. x = arctg .

Ответ: x = . x = arctg .

5) Пятый способ – применение формул суммы и разности

а) ,

б) ,

в) ,

Пример 9.

Примеры для внеаудиторной самостоятельной работы

Вопросы:

1.Какие способы решения тригонометрических уравнений вы знаете?

2. Знать способы решения уравнений.

Мордкович А.Г. и др. Алгебра и начала анализа

10-11 кл. задачник.

2. КолмогоровА.Н. Алгебра и начала анализа, учебник 10-11 кл.

3.Симонов А.Я. Система тренировочных задач и упражнений по математике.

3.Сборник заданий для подготовки и проведения экзамена за курс средней школы.

Форма отчета: письменная работа.

Методические рекомендации по выполнению внеклассной самостоятельной работы по теме: Правильные многогранники

Цель: Закрепление обучающимися материала о правильных многогранниках и формирование у них пространственного воображения.

Вид внеурочной самостоятельной работы: Изготовление правильных многогранников.

Основные вопросы темы:

1. Что представляют собой правильные многогранники?

2. Сколько всего правильных многогранников?

3. Из каких плоских многоугольников состоит тетраэдр, гексаэдр, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр?

4. Сколько многоугольников имеют многогранники?

5.Что представляют развертки правильных многогранников?

Рекомендованная литература:

1. Башмаков М.И. «Математика» /М.И. Башмаков, М.: Издательский центр «Академия» 2011. – 256с.

2.. Атанасян Л.С. «Геометрия 10 – 11», Л.С. Атанасян и др., М, «Просвещение», 2005 год

стр. 68 – 71, № 280 – 282.

Рекомендации по выполнению работы:

1. Изучите материал по теме «Правильные многогранники»

2. Выполните правильный пятиугольник с ребром 5см (шаблон

развертки додекаэдра)

3. Начертите 12 таких пятиугольников, виды разверток предлагается

3. Вырежьте данную развертку

4. Склейте полученную модель

Додекаэдр

(шаблоны разверток октаэдра, икосаэдра, тетраэдра, куба)

Октаэдр Икосаэдр

Тетраэдр Гексаэдр (куб)

Вопросы для самоконтроля:

1.По каким признакам определяют правильность многогранника?

2. Сколько всего правильных многогранников?

3. Назовите правильные многогранники.

4. Где встречаются правильные многогранники?

Форма отчетности:

Выполненная модель

Методические рекомендации по выполнению внеклассной самостоятельной работы по теме: Производная и ее применение.

Цель: Закрепление обучающимися материала по нахождению производных функций и их применению.

Рекомендации по выполнению внеаудиторной самостоятельной работы:

1.Прочтите теоретический материал (конспект, дополнительная литература или интернет ресурсы)

2. Запишите и выполните задание.

3. Запишите ответ.

Краткий теоретический материал:

Пример 1.Найдите производную функции y = .

Решение:

y' = = = = =

=

Пример 2. Найдите точку максимума функции y = x³ – 3x + 2.

Решение:

y' = 3x² – 3, 3x² – 3 = 0 при x = 1.

При переходе через стационарную точку х = 1 производная сменила знак с “+” на “–”, значит х = –1 точка max.

Ответ: (1).

Пример 3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

f(x) = x⁵ – x³ + x + 2 на отрезке [– 1; 1].

Решение:

f( – 1) = (-1)⁵ – (-1)³ + (-1) + 2 = -1 + 1 – 1 + 2 = 1, f(1) = 15 – 13 + 1 + 2 = 3.

f '(x) = 5x⁴ – 3x² + 1, D<0, следовательно уравнение 5x⁴ – 3x² + 1= 0 не имеет действительных корней, т.е. стационарных точек нет, следовательно наибольшее и наименьшее значение функции находим на концах отрезка.

f( – 1) = 1 – наименьшее значение, f(1) = 3 – наибольшее значение.

Ответ: f( – 1) = 1 – наименьшее значение f(x) на [– 1; 1],

f(1) = 3 – наибольшее значение.

f(1) = 3 – наибольшее значение.

Примеры для внеаудиторной самостоятельной работы

Задание 1. Найти значение производной при заданном значении аргумента.

1. f(x)=4x³+6x+3; x₀=1 2) f(x)=x²- 4; x₀=4

3. f(x)= ; x₀=0 4) f(x)=x sinx; x₀=

5)f(x)=sin2x; x₀= 6) f(x)= 2x+cos2x; x₀ =

Задание 2. Задачи о касательной.

1. Составьте уравнения касательной к графику функции f(x)=x²-x³, проходящей через точку графика с абсциссой x₀ = -1.

2. Составьте уравнения касательных к графику функции y=2x-x² в точках графика ординатой y₀= -3

3. Определить угол, который составляет с осью ох касательная к графику функции у=2х² в точках с абсциссами х₀= и х₀=1.

4. Найти точки, в которых касательные к кривой у=х³+х-2 параллельны прямой у = 4х-1

Задание 3. Задачи о скорости.

1. Закон прямолинейного движения материальной точки задан зависимостью S(t)=5t³-8t+2, где s и t измеряются соответственно в метрах и секундах. Найти скорость и ускорение в момент времени t=2с.

Задание 4. Исследование на экстремум.

1. Найти точки экстремума функции у = х³- 3 х² + 18

2. Найти наименьшее и наибольшее значение функции у=2х³ + 3х² – 12х на отрезке [-4;2].

3. Исследовать функцию у=3х - х³ и построить ее график.

4. Исследуйте функцию y=6x⁵-10x³ [y=5x³ -3x² ] на монотонность и экстремумы и постройте ее график.

Рекомендованная литература:

1. Башмаков М.И. «Математика» /М.И. Башмаков, М.: Издательский центр «Академия» 2011. – 256с.

Форма отчета: письменная работа.

Методические рекомендации по выполнению внеклассной самостоятельной работы по теме: Вычисление объемов

Цель: Закрепление умений и навыков при решении задач на вычисление объемов.

Задача 1. Образующая конуса, равная 12см, наклонена к плоскости основания под углом . Найдите объем конуса, если = 30 .

Д ано: конус, SA=SB=12 см, SBO=30

Найти:V

Решение: V_кон=

1. SOB – прямоугольный, в нем катеты ОВ, гипотенуза SB.

2. = cos30 OB = SB = 12 ,

ОВ = R (радиус основания)

3. , высота

4.

Ответ: 216

Задача 2: Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой, равны 4, а высота равна .

Решение. Объем пирамиды равен ,

где   – площадь основания, а  H – высота пирамиды. Площадь равностороннего треугольника в основании,

Тогда объем пирамиды равен

Ответ: 8.

1. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 3 , а боковое ребро – 5 см. Вычислить объем пирамиды.

2. . В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 6, боковое ребро равно 10. Найдите ее объем.

3. Конус описан около правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 4 и высотой 6.

Найдите его объем.

Рекомендованная литература:

1. Башмаков М.И. «Математика» /М.И. Башмаков, М.: Издательский центр «Академия» 2011. – 256с.

2.. Атанасян Л.С. «Геометрия 10 – 11», Л.С. Атанасян и др., М, «Просвещение», 2005 год

стр. 68 – 71, № 280 – 282.

Форма отчета: письменная работа.

Методические рекомендации по выполнению внеклассной самостоятельной работы по теме: Решение систем уравнений

Цель: Закрепление математических навыков и умений при решение систем уравнений

Рассмотрим несколько способов решения систем: