2. Приведение квадратной матрицы к диагональному виду

Матрица А приводится к диагональному виду, если можно подобрать такую невырожденную матрицу T, что Т ^–1А Т – диагональная матрица. Матрица А порядка n приводится к диагональному виду тогда и только тогда, когда в пространстве Rⁿ имеется базис, состоящий из собственных векторов матрицы А. Столбцами матрицы T являются координаты векторов этого базиса.

В пространстве Rⁿ имеется базис, состоящий из собственных векторов матрицы А, тогда и только тогда, когда объединение базисов подпространств А(λ₁), А(λ₂), … , А(λ_m) является базисом пространства Rⁿ, где λ₁, λ₂, …, λ_m – все различные собственные значения матрицы А.

Правило построения матрицы Т, приводящей матрицу А порядка n к диагональному виду:

1. Найти все собственные значения матрицы А.

2. Для каждого собственного значения λ_i найти фундаментальную систему решений однородной системы линейных уравнений (A – λ_i E) х = θ .

3. Построить матрицу T, столбцами которой являются координаты решений всех найденных фундаментальных систем.

4. Если полученная матрица T является квадратной, то она приводит матрицу А к диагональному виду. Если же матрица T не будет квадратной, то матрица А не может быть приведена к диагональному виду.

Пример 1. Найти матрицу Т, которая приводит матрицу А = к

диагональному виду. Найти матрицу В = Т ^–1А Т .

Р е ш е н и е. Вычислим определитель матрицы A – λE:

| A – λE | = = (2 – λ)²(4 – λ) + 6 + 4(2 – λ) – 3(4 – λ) =

= (2 – λ) ((2 – λ) (4 – λ ) + 4) – 3(2 – λ ) = (2 – λ) ( λ² – 6 λ + 8 + 4 – 3) =

= (2 – λ) ( λ² – 6 λ + 9) = (2 – λ) ( λ – 3)² .

Собственные значения матрицы А равны 2 и 3.

Теперь надо найти фундаментальные системы решений систем уравнений (A – 2E) х = θ и (A – 3E) х = θ:

Находим собственные векторы, соответствующие λ = 2.

=> ~ ~ ~

~ => Решая данную систему, получим x₁ = 0, x₂ = –x₃. Фундаментальная система решений состоит из одного вектора .

Далее рассматриваем случай λ = 3:

=> ~ ~ ~

=> Решая данную систему, получим x₂ = – x_3; x₁ = x₃.

Фундаментальная система решений состоит из одного вектора .

Следовательно, матрица Т имеет вид: Т = . Полученная матрица не является квадратной, поэтому матрица А не приводится к диагональному виду.

Пример 2. Найти матрицу Т, которая приводит матрицу А = к диагональному

виду. Найти матрицу В = Т ^–1А Т .

Р е ш е н и е. Вычислим определитель матрицы A – λE:

| A – λE | = = λ² – 9 + 8 = λ² – 1 = 0.

Собственные значения матрицы А равны –1 и 1.

Теперь надо найти фундаментальные системы решений систем уравнений (A + E) х = θ и (A –E) х = θ:

Находим собственные векторы, соответствующие λ = –1.

=> ~ ~ => x₁ + x₂ = 0. Решая данную систему, получим x₁ = –x₂. Фундаментальная система решений состоит из одного вектора .

Далее рассматриваем случай λ = 1:

=> ~ ~ => 2x₁ + x₂ = 0. Решая данное уравнение, получим x₁ = – x₂.

Фундаментальная система решений состоит из одного вектора .

Следовательно, матрица Т имеет вид: Т = .

Ищем обратную к матрице Т : Т ^–1 = . | T | = –1, = => Т ^–1 = .

Матрица В = Т ^–1А Т :

Т ^–1А = = ; Т ^–1А Т = = .

Задания. Найти матрицу Т, которая приводит данную матрицу А к диагональному виду, и найти матрицу В = Т ^–1А Т .

1. А = , 2. А₂ = , 3. А₃ = ,

4. А₄ = .