1. Система векторов

   1. Разложение вектора по системе векторов

Вектор k₁ a₁ + k₂ a₂ + … + k_n a_n называется линейной комбинацией векторов

a₁, a₂, … , a_n с коэффициентами k₁, k₂, … , k_n .

Вектор b линейно выражается через векторы a₁, a₂, … , a_n , если

b = k₁ a₁ + k₂ a₂ + … + k_n a_n .

В этом случае говорят также, что b разлагается по векторам a₁, a₂, … , a_n. Каждый

n-мерный вектор b = { b₁, b₂, … , b_n } однозначно разлагается по диагональной системе

e₁ = {1, 0, … , 0},

e₂ = {0, 1, … , 0},

. . . . . . . . . . . . . .

e_n = {0, 0, … , 1}

с коэффициентами, которые равны координатам вектора b:

b = b₁ e₁ + b₂ e₂ + … + b_n e_n.

Чтобы найти разложение вектора b по системе векторов a₁, a₂, … , a_n достаточно найти какое-нибудь решение системы уравнений

a₁ x₁ + a₂ x₂ + … + a_n x_n = b.

Пример.

Выяснить, разлагается ли вектор b по системе векторов a₁, a₂, … , a_n :

b = { 2, 7, 17 , 0 }, a₁ = { 2, 4, 3 , 0 }, a₂ = { –3, 0, 1 , 3 }, a₃ = { 1, –1, 10, –3 }.

Р е ш е н и е. Ищем общее решение системы уравнений

a₁ x₁ + a₂ x₂ + a₃ x₃ = b

методом Гаусса. Для этого запишем эту систему по координатам:

Расширенная матрица системы

~ ~

~ ~ ~ .

Разрешенная система имеет вид: (r_A = r_A|B = 3, n = 3). Система определена: х₃ = 1, х₂ = 1, х₃ = 2.

Следовательно, b = 2a₁ + a₂ + a₃ .

Задания. Выяснить, разлагается ли вектор b по системе векторов a₁, a₂, … , a_n :

1. b = { 2, 2, 3 , 3 }, a₁ = { 1, 2, 3 , 1 }, a₂ = { 2, 1, 2 , 3 }, a₃ = { 3, 2, 4, 4 }.

2. b = { 4, 1, 3 , 1 }, a₁ = { 2, 0, 1 , 1 }, a₂ = { 1, 1, 2 , -2 }, a₃ = { 2, 1, 3, -3 }.

3. b = { -1, 1, 3 , 1 }, a₁ = { 1, 2, 1 , 1 }, a₂ = { 1, 1, 1 , 2 }, a₃ = { -3, -2, 1, -3 }.

4. b = { 1, 0, 0 , 1 }, a₁ = { 2, 1, 1 , 3 }, a₂ = { 3, 0, -1 , 2 }, a₃ = { 1, -1, 0, 1 },

a₄ = { 1, 0, -2, -1 }.

2. Линейная зависимость

Система векторов a₁, a₂, … , a_n называется линейно зависимой, если можно подобрать такие числа k₁, k₂, … , k_n , не все равные нулю, что

k₁ a₁ + k₂ a₂ + … + k_n a_n = Θ, где Θ = {0, 0, … , 0}.

Система векторов a₁, a₂, … , a_n называется линейно независимой, если из каждого соотношения вида k₁ a₁ + k₂ a₂ + … + k_n a_n = Θ следует

k₁ = k₂ = … = k_n = 0.

Система векторов л и н е й н о з а в и с и м а тогда и только тогда, когда система уравнений

a₁ x₁ + a₂ x₂ + … + a_n x_n = Θ

имеет ненулевое решение. Система векторов л и н е й н о н е з а в и с и м а тогда и только тогда, когда система уравнений a₁ x₁ + a₂ x₂ + … + a_n x_n = Θ имеет только нулевое решение.

Вектор b разлагается по линейно независимой системе a₁, a₂, … , a_n тогда и только тогда, когда a₁, a₂, … , a_n, b – линейно зависимая система векторов.

Система векторов л и н е й н о з а в и с и м а, если количество координат у векторов системы меньше, чем векторов в системе.

Если каждый вектор системы b₁, b₂, … , b_n разлагается по векторам a₁, a₂, … , a_m и n > m, то b₁, b₂, … , b_n – линейно зависимая система векторов.

Пример 1.

Выяснить, является ли данная система векторов линейно зависимой или линейно независимой:

a₁ = { 3, 5, 1 , 4 }, a₂ = { –2, 1, -5 , -7 }, a₃ = { -1, –2, 0, –1 }.

Р е ш е н и е. Ищем общее решение системы уравнений

a₁ x₁ + a₂ x₂ + a₃ x₃ = Θ

методом Гаусса. Для этого запишем эту однородную систему по координатам:

Матрица системы

~ ~ ~ .

Разрешенная система имеет вид: (r_A = 2, n = 3). Система совместна и неопределена. Ее общее решение (x₂ – свободная переменная ): x₃ = 13x₂ ; 3x₁ – 2x₂ – 13x₂ = 0 => x₁ = 5x₂ => X_o = . Наличие ненулевого частного решения, например, , говорит о том, векторы a₁, a₂, a₃ линейно зависимы.

Пример 2.

Выяснить, является ли данная система векторов линейно зависимой или линейно независимой:

1. a₁ = { -20, -15, - 4 }, a₂ = { –7, -2, -4 }, a₃ = { 3, –1, –2 }.

Р е ш е н и е. Рассмотрим однородную систему уравнений a₁ x₁ + a₂ x₂ + a₃ x₃ = Θ

или в развернутом виде (по координатам)

Система однородна. Если она невырождена, то она имеет единственное решение. В случае однородной системы – нулевое (тривиальное) решение. Значит, в этом случае система векторов независима. Если же система вырождена, то она имеет ненулевые решения и, следовательно, она зависима.

Проверяем систему на вырожденность:

= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.

Система невырождена и , т.о., векторы a₁, a₂, a₃ линейно независимы.

Задания. Выяснить, является ли данная система векторов линейно зависимой или линейно независимой:

1. a₁ = { -4, 2, 8 }, a₂ = { 14, -7, -28 }.

2. a₁ = { 2, -1, 3, 5 }, a₂ = { 6, -3, 3, 15 }.

3. a₁ = { -7, 5, 19 }, a₂ = { -5, 7 , -7 }, a₃ = { -8, 7, 14 }.

4. a₁ = { 1, 2, -2 }, a₂ = { 0, -1, 4 }, a₃ = { 2, -3, 3 }.

5. a₁ = { 1, 8 , -1 }, a₂ = { -2, 3, 3 }, a₃ = { 4, -11, 9 }.

6. a₁ = { 1, 2 , 3 }, a₂ = { 2, -1 , 1 }, a₃ = { 1, 3, 4 }.

7. a₁ = {0, 1, 1 , 0}, a₂ = {1, 1 , 3, 1}, a₃ = {1, 3, 5, 1}, a₄ = {0, 1, 1, -2}.

8. a₁ = {-1, 7, 1 , -2}, a₂ = {2, 3 , 2, 1}, a₃ = {4, 4, 4, -3}, a₄ = {1, 6, -11, 1}.

9. Доказать, что система векторов будет линейно зависимой, если она содержит:

а) два равных вектора;

б) два пропорциональных вектора.