6. Имеется лом стали двух сортов содержанием никеля 5 % и 40 %. Сколько нужно взять каждого из этих сортов, чтобы получить 140 т стали с содержанием никеля 30%.

Решение: Составляем таблицу данных: . Добавляем данную таблицу до креста, вычитая из большего числа меньшее, стоящее к нему по диагонали: .

Значит, масса 1 сорта стали относится к массе 2 сорта стали как 10: 25=2:5. Пусть х коэффициент пропорциональности. Составляем уравнение, зная, что всего надо получить 140 т новой стали: 2х +5х = 140. Откуда находим: .Значит, стали первого сорта надо взять 2∙20= 40 (т), а стали второго сорта 5∙20=100(т).

Ответ: 40 т, 100 т.

11. Морская вода содержит по весу 5 % соли. Сколько кг пресной воды нужно прибавить к 80 кг морской, чтобы содержание соли в последней составляло 2 %?

Решение: Составляем таблицу данных: . Добавляем данную таблицу до креста, вычитая из большего числа меньшее, стоящее к нему по диагонали: .

Значит, масса морской воды относится к массе пресной воды как 2: 3. Составляем пропорцию: . Откуда находим количество пресной воды: .

Значит, добавили 120 кг пресной воды.

Решение задач III типа:

Этот блок составлен из самых сложных практически значимых задач, для решения задач данного типа необходимо использовать формулу для вычисления сложных процентов, которая не рассматривается в школьном курсе алгебры.

С = х (1+а%)ⁿ, где С – новая цена

х – первоначальная цена

а - ежемесячная процентная ставка

n – срок вклада (количество месяцев)

Вывод формулы сложных процентов:

Составим таблицу исходных данных, используя основные составляющие формулы и согласно типу задачи.

х – первоначальная цена,

а - ежемесячная процентная ставка

n – срок вклада (количество месяцев)

В первой колонке будем указывать количество месяцев накопления процентов, во второй колонке будем записывать первоначальную цену на начало каждого месяца, в третьей – выражение, которое характеризует заданный процент повышения цены, относительно того, что было, а в четвертой – новая цена на конец текущего месяца, суммарная составляющая второй и третьей колонок.

Количество месяцев	БЫЛО	ИЗМЕНИЛОСЬ	СТАЛО
1 месяц	х		х + = х (1 + )
2 месяц	х (1 + )	х∙ ∙ (1 + )	х (1 + ) + х∙ ∙ (1 + ) = =х (1 + )(1 + ) = =х∙ (1 + )2
3 месяц	х∙ (1 + )2	х∙ ∙ (1 + )2	х∙ (1 + )2 + х∙ ∙ (1 + )2 = =х(1 + )2(1 + ) = = х∙ (1 + )3
И т.д.	…	…	…
n месяц	х∙ (1 + )n-1	х∙ ∙ (1 + )n-1	х∙ (1 + )n-1 + х (1+ )n-1 = =х(1+ )n-1(1+ )= = х∙ (1 + ) n

Итак, получили формулу, для решения задач III типа.

При решении данных задач первоначально следует разобраться в сложном запутанном условии задачи. Отвечая последовательно на вопросы, задача становится более понятной и доступной для решения.

Вопросы:

1. Сколько объектов (фирм, магазинов…) описывается в условии задачи;

2. а) Определить процент повышения (понижения) цен на первом объекте;

б) Сколько месяцев подряд происходило повышение (понижение) цен на первом объекте;

3. а) Определить процент повышения (понижения) цен на втором объекте;

б) Сколько месяцев подряд происходило повышение (понижение) цен на втором объекте;

4. Какое условие задачи является связующим звеном п.2 и п.3;

5. Применить формулу сложных процентов для нахождения цен на обоих объектах.

Составленная блок-схема значительно поможет ответить на вопросы и разобраться в условии.

Задача 1 : Для определения оптимального режима повышения цен социологи предложили с 1 января повышать цену на один и тот же товар в двух магазинах двумя способами. В одном магазине – в начале каждого месяца (начиная с февраля) на 2 %, в другом – через каждые 2 месяца, в начале третьего (начиная с марта) на одно и тоже число процентов, причем такое, чтобы через полгода (1 июля) цены снова остались одинаковы. Насколько процентов нужно повышать цену товара во втором магазине?

Решение: Составим блок-схему.

1 магазин июль а% 2 магазин

июнь

n = 6 май а% n=3

а = 2% 2% а прель а = а%

ежемесячно март а%

февраль

100 р

100 р

январь

С₁ = 100(1+2%)⁶- новая цена в 1 магазине;

С₂ = 100(1+а%)³ – новая цена во 2 магазине.

По условию задачи С₁ = С₂

Составим и решим уравнение:

1 00(1+2%)⁶ = 100(1+а%)³ : 100

(1 + 0,02)⁶ = (1 + )³ понизим степень уравнения,

((1 + 0,02)²)³ = (1 + )³

(1 + 0,02)² = 1 +

1 + 0,04 + 0,0004 = 1 + ·100

100 + 4+ 0,04 = 100 + а

а = 4,04% нужно повышать цену товара во втором магазине.

Ответ: 4,04%.

Задача №2. Число 51,2 трижды увеличивали на одно и тоже число процентов, а затем трижды уменьшали на одно и тоже самое число процентов. В результате получилось число 21,6. На сколько процентов увеличивали, а затем уменьшали это число?

Решение.

По формуле Аn=A₀(1+P/100)ⁿ

A₀=51, 2

N=3

P- неизвестно

51,2(1+P/100)³ - такое число стало после трёхкратного увеличения, т. е. это А3

затем это число А3 уменьшали трёхкратно на Р% и получили

51,2(1+Р/100)³ ∙ (1-P/100)³ – по условию это выражение равно21,6

51,2(1+Р/100)³ ∙ (1-Р/100)³ =21,6 это уравнение относительно Р

((1+Р/100)(1-Р/1000))³=27/64;

(1-(Р/100)²)³=(3/4)³;

1-(Р/100)²=3/4;

(P/100)²=1-3/4;

(P/100)²=1/4;

P/100=1/2;

P=50

Значит, число процентов равно 50.

Ответ: 50%.

Задача №3 Цену товара сначала снизили на 20% , затем новую цену снизили ещё на 15% и, наконец, после перерасчета произвели снижение ещё на 10% . Какова новая цена товара, если первоначальная цена 2500р.

Решение:

1.По формуле «сложных процентов»

А3=Ао∙(1-Р1/100)∙(1-P2/100)∙(1-P3/100)

А3=А0∙ (1-20/100) ∙ (1-15/100) ∙ (1-10/100)

A3=A0∙4/5∙17/20∙9/10

A3=2500∙4∙17∙9/1000

A3= 612∙2, 5

A3= 1530

1530р. – новая цена, т. е. цена снизилась на 970р.

Ответ: 1530 р.

2.Решим эту же задачу обычным способом ( по определению процента)

1)2500∙0,2=500(руб.) – на столько снизили цену в 1-й раз

2)2500-500=2000 (руб.) – новая цена после 1-го снижения её на 20%.

3)2000∙0,15= 300 (руб.) на столько снизилась цена во 2-ой раз.

4) 2000-300=1700(руб.) – новая цена после её снижения на 15%.

5) 1700∙0.1=170 (руб.) на столько снизилась в 3-й раз

6)1700-170=1530 (руб.) – новая цена после её снижения на 10 %

Ответ: 1530 руб.

Задача №4. В 1-ый день продали 40% всех яблок, во 2-й день – 20% остатка, а в 3-й день – 50% оставшихся яблок. Сколько всего продали кг яблок, если первоначально их было 1200кг.

Решение:

1. По формуле «сложных процентов»

Аn=A₀∙ (1-40/100) ∙ (1-20/100) ∙ (1-50/100)

An=1200∙6/10∙8/10∙1/2

An=1200∙24/100=12∙24=288(кг)

Ответ: 288кг

2. По определению процента.

1) 1200 ∙ 0.4=480(кг) яблок продали в 1-й день.

2)1200-480=720(кг) яблок осталось в 1-й день.

3)720∙0.2=144(кг) яблок продали во 2-ой день.

4)720-144=576(кг) осталось во 2-ой день

5) 576∙0.5=288(кг) – осталось в 3-й день.

Ответ: 288 кг

Задача №5. Рыночная цена картофеля в связи с переменной погодой понизилась на 25%, затем повысилась на 20%, потом вновь понизилась на 10%, а весной повысилась на 20%.Выросла ли цена по сравнению с первоначальной, или понизилась и на сколько?

Решение:

Пусть Ао - первоначальная цена, а Аn – полученная цена, решаем по формуле сложных процентов

Аn=Aо∙ (1-25/100) ∙ (1+20/100) ∙ (1-10/100) ∙ (1+20/100)

An=Aо∙ (1-1/4) ∙ (1+1/5) ∙ (9/10) ∙11/5

An=Aо∙3/4∙6/5∙9/10∙6/5

An=Aо∙972/1000

Т.к. 972/1000<1,то An<Aо,

Т.е. новая цена стала меньше

Найдем разницу в процентах ( Aо-An)/Aо∙100%= (Aо-972/1000∙Aо)/Aо∙100%=

=(1-972/1000)*100%= 100% - 97,2%=2,8%

Цена стала меньше на 2,8%

Ответ: на 2,8%

Задача №6. Булочка стоила 100 рублей. Сначала цену повысили на 10%, а затем снизили на 10% (от новой цены). Сколько теперь стоит булочка?

Решение: Так как повысили на 10%, значит нужно умножить первоначальную цену на 1,1 и при понижении на 10% нужно умножить на 0,9, то есть 1,1∙0,9=0,99; 100∙0,99=99 (руб.)

или 100∙(1+0,1) ∙(1-0,1)=100∙(1-0,01)=100∙0,99=99 (руб.).

Ответ: 99 рублей стоит булочка.

Задача №7. В скорость тела, движущегося равноускоренно, каждую секунду увеличивается на 10%. В данный момент его скорость 10 м/с. Какова будет его скорость через три секунды?

Решение:

(м/с)

Ответ: через три секунды скорость будет 13,31 м/с.

Задача №8. Цену на автомобиль «Волга» снизили сначала на 20%, а затем еще на 15%. При этом он стал стоить 238000 рублей. Какова была первоначальная цена автомобиля?

Решение: Пусть х рублей будет первоначальная стоимость автомобиля.

х∙(1-0,2) ∙(1-0,15)=238000

х∙0,8∙0,85=238000

х∙0,68=238000

х= 238000:0,68

х=350000

Ответ: 350000 рублей первоначальная стоимость автомобиля.

Одна из видов записей для вычисления процентов - схема.

В финансовой практике для вычисления процентов чаще всего применяют такую форму записей, как схемы. Такой вид записи принято называть стандартной формой. Она имеет одно из преимуществ, что из неё сразу видно число процентов, на которое уменьшена или увеличена начальная сумма. Рассмотрим некоторые типичные случаи:

I. Если первоначальная цена некоторого товара составляла S_о денежных единиц, то после ее повы­шения на р% она составит

S_о + S_о ∙ р ∙ 0,01 = S_о (1 + р ∙ 0,01) (ден. ед.).

Аналогично, если первоначальная цена S_о по­низилась на р%, то она составит

S_о (1 - р ∙ 0,01) (ден. ед.).

Легко понять и запомнить эти формулы, если представить их в виде наглядных схем. Так, на рис. 1 повышение цены изображается стрелкой, идущей от S_о вверх, а понижение — стрелкой, направленной вниз от S_о .

р% S_о (1 + р ∙ 0,01)

S_о Рис.1

р% S_о (1 - р∙ 0,01)

II. В результате повышения первоначальной цены S_о на р% и последующего понижения на q% окончательная цена равна

S_о (1 + p ∙ 0,01)(1 - q ∙0,01) (ден. ед.).

Аналогично, если первоначальная цена S_о сна­чала понизилась на p%, а потом повысилась на q%, то окончательная цена равна

S_о (1 - p ∙ 0,01)(1 + q ∙ 0,01) (ден. ед.).

Изображают такую схему в виде (рис. 2)

S_о (1 + p ∙ 0,01)

р% q%

S_о (1 + p ∙ 0,01)(1 - q ∙0,01)

S _о Рис.2

S_о (1 - p ∙ 0,01)(1 + q ∙0,01)

р% q%

S_о (1 - p ∙ 0,01)

Задача №9. До снижения цен книга в киоске «Репетитор» стоила 120 рублей. Вычислите цену книги после двух последовательных снижений, если первое снижение было на 10%, а второе на 5%.

Решение: Пользуясь схемами, получаем: 120·(1-0,1)∙(1-0,05) = 120∙0,9∙0,95= 108∙0,95=102,6 (рубля) – цена книги после двух последовательных снижений.

Ответ: 102,6 рубля.

Задача №10. После снижения цен в магазине «Юнона» на 30% свитер стал стоить 2100 рублей. Сколько стоил свитер до снижения цен?

Решения:

Воспользуемся схемами, получаем, что S_о ∙(1-30∙0,01)=2100

S_о ∙0,7=2100;

S_о=3000

3000 (рублей) – стоил свитер до снижения цен.

Ответ: 3000 рублей.

Задача №11 Цена на молоко сначала снизилась на 5%, а затем повысилась на 5%. Изменилась ли первоначальная цена, и если да, то на сколько процентов?

Решение: Пусть исходная цена S_о , а окончательную за S, причем сначала составляют схему преобразований исходной цены S_о (рис. 3) и только потом переходят к вычислениям.

S_о

S_о∙(1-5∙0,01) ∙(1+5∙0,01)

5%

5% Рис.3

S_о∙(1-5∙0,01)

То есть: S= S_о∙(1-5∙0,01) ∙(1+5∙0,01) = S_о∙(1-25∙0,0001)= S_о∙(1-0,25∙0,01)

Полученная стандартная форма записи показывает, что первоначальная цена понизилась на 0,25%.

Ответ: первоначальная цена понизилась на 0,25%.

Получив ответ на вопрос задачи, можно рассмотреть и такой вариант, изменится ли результат, если в задаче цена сначала повысится на 5%, а затем понизится на 5%. Вывод такой, что результат изменения первоначальной цены не зависит от порядка произведенных преоб­разований и в этом случае первоначальная цена понизится на 0,25%.

Задача №12 . Вкладчик положил некоторую сумму на вклад «Молодежный» в народный банк Республики Казахстан. Через два года вклад достиг 2809 тенге. Каков был первоначальный вклад при 6% годовых?

Решение:

Пусть х тенге первоначальный вклад.

х∙(1+6∙0,01) ∙(1+6∙0,01)

6%

х∙(1+6∙0,01)

6%

х

х∙(1+0,06)²=2809

1,06²х=2809

1,1236х=2809

х=2500

Ответ: первоначальный вклад составлял 2500 тенге.

Задача №13 Цена мандарин в магазине «Люкс» поднялась на 25%, а потом еще на 30%. Груши поднялись в цене на 30% и стали по цене равной мандарин. Какова первоначальная цена мандарин, если груши до повышения цены стоили 125 тенге?

Решение: Обозначим искомую цену мандарин через х руб. Указанные в задаче преобразования цен можно изобразить на схеме (рис. 4) и составить уравнение, приравнивая новые цены на товары.

125· (1 + 30 · 0,01)

30%

125 тенге

Уравнение х∙(1 + 25 · 0,01) · (1 + 30 ·0,01) = 125 · (1 + 30 · 0,01). Решая, находим, что х=100, то есть первона­чальная цена мандарин 100 тенге.

Ответ: 100 тенге.

Задача №14 (из рекламы) Сотовый телефон в «Евросети» стоил 31500 тенге . После двух последовательных снижений цены он стал стоить 15120 тенге. Сколько стоил сотовый телефон после первого снижения, если второе снижение было на 20 процентных единиц больше, чем первое?

Решение: Пусть х процент первого снижения, тогда процент второго снижения - (х+20). Составим схему операций с первоначальной ценой товара.

31500 тенге

х %

31500 ∙ (1- х ∙ 0,01) тенге

(х + 20) %

31500∙(1-х∙0,01)∙(1-(х+20)∙0,01) тенге

По условию окончательная цена телефона состав­ляет 15120 тенге, что служит основанием для составления уравнения:

31500 · (1 -х · 0,01) · (1 - (х + 20) · 0,01) = 15120.

Разделив обе части уравнения на 31500, получим (1 - 0,01х)(0,8 - 0,01х) = 0,48.

Вынесем из каждой скобки число 0,01:

0,01(100 - х) · 0,01(80 -х) = 0,48.

поделим обе части уравнения на 0,0001:

(100 -х)(80 -х) = 4800.

Итак, пришли к квадратному уравнению с целыми коэффициентами

х²-180x+3200 = 0, корни которого вычисляются

то есть .

Итак, х₁, = 20, х₂ = 160.

Второй корень не подходит по смыслу задачи (иначе продавец раздавал бы товар, приплачивая еще 60% его стоимости).

Найдем значение выражения 31500∙(1-20∙0,01)= 25200 (тенге).

Ответ: цена сотового телефона после первого снижения станет равной 25200 тенге.

Решение задач повышенной сложности, тестовых и олимпиадных задач.

Задача 1.(Олимпиада 2002г Карагандинской области, 9 класс)

Хозяйка налила в дырявый бидон керосин. Сколько керосина (в процентах) выливалось из бидона в час, если через два часа в нем осталось на 9% меньше того количества керосина, которое в нем было через час после наполнения?

Решение.

Пусть из дырявого бидона вылилось х% каждый час, а М л керосина было всего в бидоне, тогда через час вылилось:

М л - 100%

У л - х% у = л, а осталось

керосина, за 2 час опять вылилось х% керосина:

л - 100%

Z л – х%

Z= л и осталось в бидоне:

л - 100%

A л – (100 – х) %

А = и это число на 9% меньше, того количества керосина, которое было в бидоне через час после заполнения:

- 100%

- (100-9)%

100

100-х= 0 или 100-х-91= 0

х= 100% (не подходит по смыслу задачи х= 9%

Ответ: 9% керосина из дырявого бидона вылилось каждый час.

Задача 2. .(Олимпиада 2002г Карагандинской области, 10 класс)

Сплавили два сорта чугуна с разным процентным содержанием хрома. Если одного сорта взять в 5 раз больше другого, то процентное содержание хрома в сплаве вдвое превысит процентное содержание хрома в меньшей из сплавляемых частей. Если же взять одинаковое количество обоих сортов, то сплав будет содержать 8% хрома. Определить процентное содержание хрома в каждом сорте чугуна?

Решение. Пусть взяли а кг чугуна, содержащего х% хрома, и а кг чугуна с у% содержания хрома, это значит:

а кг – 100%

Z₁ кг – х%

Z = - количество хрома в чугуне 1 сорта;

Z = - количество хрома в чугуне 2 сорта; количество хрома в сплаве, по условию задачи оно составляет 8%.

2а кг сплава – 100%

кг – 8%

16а =

х +у = 16;

Если же взять одного сорта в 5 раз больше другого, то имеем

5а – 100%

Z - х%

а кг – 100%

Z - у%

Z количество хрома в чугуне 1 сорта

Z количество хрома в чугуне 2 сорта

Z количество хрома в сплаве, его процентное содержание по условию 2у.

Всего сплава 5а + а = 6а (кг)

6а кг - 100 %

Получим систему уравнений

Ответ: первого сорта 11% хрома, а второго сорта 5%.

Задача 3: Двое учащихся – высокий и маленький – вышли одновременно из одного и того же дома в одну школу. Шаг одного из них на 20% короче, чем у другого, но зато он успевал за то же время делать на 20% больше шагов. Кто из них раньше пришел в школу?

Решение: Пусть х м-длина шага высокого мальчика, тогда длина шага маленького 0,8х.

Пусть у - количество шагов в единицу времени высокого мальчика, тогда количество шагов маленького мальчика 1,2у. Поэтому за одно и то же время высокий мальчик прошел ху м, а маленький мальчик (0.8х*1.2у)=0.96ху м. Следовательно, за одно и то же время высокий мальчик проходит большее расстояние. Поэтому его скорость больше, а времени он тратит на один и тот же путь меньше

Задача 4: Заработная плата некоторой категории служащих повышалась два раза, причем процент повышения во второй раз был в два раза меньше, чем в первый. Определите на сколько % повышалась заработная плата в первый раз, если до первого повышения она была равна 7000 р., а после второго – 9240 р.?

Решение: Пусть на х % повысилась з/п в первый раз.

Составим пропорцию:

7000 р.- 100%

у р. – (100+х)%

У= 70(100+х)= 7000+70х – новая зарплата, после первого повышения.

Второй раз повысили на

Составим пропорцию:

7000+70х – 100%

9240 -

(7000+70х) = 9240

3500х+35х+700000+7000х=924000

35х

35х

х

D = b = 300 =1150600=340

-320 – не подходит по смыслу задачи.

Ответ:20%

Задача 5: Имеются 2 сплава, в первом из которых содержание олова составляет 40%, а во втором – 55%. Сплавив кусок первого сплава со вторым, получили 600 г третьего сплава с содержанием олова 48%. Сколько граммов первого сплава было использовано для получения третьего сплава?

Задание. Решение:

1) 40% 7

48%

55% 8

Пусть = х, тогда .

Составим уравнение, зная, что общая масса этих сплавов 600 г:

7х+8х = 4200

15х = 4200

х= 280

Ответ: 280 г масса первого сплава.

Задача 6: Имеется два образца руды. Один содержит 14 кг железа и 6 кг примесей, другой – 13,5 кг железа и 1,5 кг примесей. Отрезав по куску от каждого сплава и сплавив их, получили 10 кг сплава с процентным содержанием железа 85%. Сколько весил кусок первого сплава?

Решение:

14+6=20(кг) первой руды.

13,5+1,5=15(кг) второй руды.

Составим пропорцию:

20 кг – 100%

14 кг – х%

х = железа в первой руде.

15 – 100%

13,5 – х%

х = железа во второй руде.

70% 5

85%

90% 15

Пусть м - х, тогда м = 10-х

3х=10-х

3х+х=10

4х=10

х=10:4

х = 2,5 (кг) весил кусок первого сплава.

Ответ: 2,5 кг.

Задача 7: Сплав алюминия и магния отличается большой прочностью и пластичностью. Первый такой сплав содержит 5% магния, второй сплав – 3% магния. Масса второго сплава в 4 раза больше, чем масса первого сплава. Эти сплавы сплавили и получили 3 кг нового сплава. Определите, сколько граммов магния содержится в новом сплаве?

Решение: Пусть х кг – масса первого сплава, тогда масса второго сплава 4х кг, 5х – общая масса этих сплавов, по условию она равна 3 кг, или 3000 г.

Составим и решим уравнение:

5х=3000

х=600 (г)

600 (г)

600 г – 100%

у г – 5%

у = (г) магния в первом сплаве.

2400 г – 100%

z г – 3%

z = (г ) магния во втором сплаве

72+30=102 (г ) магния в новом славе.

Ответ: 102 г.

Задача 8: В смеси кислоты и дистиллированной воды кислоты в 2 раза меньше, чем воды. Когда к этой смеси добавили 300 литров воды, получили смесь с процентным содержанием кислоты 28%. Сколько литров кислоты было в смеси первоначально?

Решение:

Пусть х л - кислоты в смеси, тогда воды 2х л. Всего 3х л.

Составим пропорцию:

3х л – 100%

х л – у%

у % = %

раствор 28

28%

воды 0%

м

1575:3=525 (л) – кислоты.

Ответ: 525 л.

Задача 9: М.В. Ломоносов тратил одну денежку на хлеб и квас. Когда цены выросли на 20%, на ту же денежку он приобрел полхлеба и квас. Хватит ли той же денежки хотя бы на квас, если цены ещё раз вырастут на 20%?

Решение:

Примем денежку за единицу, стоимость хлеба обозначим через х, а стоимость кваса – через у. Составим уравнения: до повышения цен х+у=1, а после повышения 1,2(0,5х+у)=1. Составим и решим систему уравнений:

Решим второе уравнение 0,6(1-у)+1,2у=1, получаем, что у= , а затем применяя схему

у (1 + 20 ∙ 0,01)(1 +20∙0,01)

20%

у (1 +20 ∙ 0,01)

20%

у

посчитаем 1,2∙1,2у=1,2∙1,2∙ = 0,96 - стоимость кваса после двух повышений цен.

Ответ: денежки хватит на квас.

Задача 10: Цену товара повышали: первый раз на р%, затем новую цену повысили на 2р%. После этого цену товара снизили на 15%. В итоге окончательная цена оказалась выше первоначальной на 12.2%. На сколько процентов была повышена цена товара в первый раз?

Решение:

Пусть исходная цена товара была А.

А₁=А∙(1+р/100) – цена после 1-го повышения

А₂=А₁∙ (1+2р/100)=А(1+р/100)(1+2р/100) – цена после 2-го повышения

0.85∙А(1+р/100)(1+2р/100) – цена после понижения на 15%

В задаче известно, что цена оказалась равной 1,122*А

Уравнение:

0.85∙А(1+р/100)(1+2р/100)=1,122А

(1+р/100)(1+2р/100)=1,32

(1+0.01р)(1+0.02р)=1,32

1+0,03р+0,0001∙2р²-1,32=0

2∙ (0,01р)²+3∙0,1р-0,32=0

Введём замену 0,01р=t

2t²+3t-0,32=0

D=9+4∙2∙0,32=11,56; D=3,4²

t₁=-3+3,4/4=0,4/4=0,1

t₂=-3-3,4/4=-1,6

Обратная замена

0,01р=а1 0,01р=-1.6

р=10% р=-160 – не подходит к условию задачи

Ответ: на 10% повысили в первый раз.

Задача 11: (Олимпиада 2002 г Карагандинской области, 11 класс) Мастер дает сеанс одновременной игры в шахматы на нескольких досках. К концу первых двух часов он выиграл 10% от числа всех играемых, а 8 противников свели вничью свои партии с мастером. За следующие два часа мастер выиграл 10 % партий у оставшихся противников, две партии проиграл, а остальные 7 партий закончил вничью. На скольких досках шла игра?

Пусть всего x партий было сыграно, то есть игра велась на х досках, тогда мастер за первые два часа выиграл 10% этих партий, т. е. (партий ). Кроме того он сыграл 8 партий вничью. Значит, за два часа было сыграно партий, а осталось сыграть партий.

За следующие два часа мастер выиграл 10% этих оставшихся партий, т. е.

Составим уравнение:

Ответ: 20 партий было сыграно.

Задача 12: (Олимпиада, посвященная 60-летию Великой Победы, 2005, КГТУ) В колбе имеется раствор поваренной соли. Из колбы в пробирку отливают часть раствора и выпаривают до тех пор, пока процентное содержание соли в пробирке не повысится вдвое. После этого выпаренный раствор выливают обратно в колбу. В результате содержание соли в колбе повышается на 3 %. Определить исходное процентное содержание соли.

Решение: Пусть исходное процентное содержание соли в растворе равно х.

М- весь имеющийся раствор; отливают часть, т.е. М, соли в этом растворе М, остальные (воды)

Теперь часть воды выпаривают, чтобы процентное содержание соли увеличилось вдвое:

соли

y – (100-2x) % воды

y = = = (воды в выпаренном растворе)

всего назад возвращают раствора.

В новом растворе: соли

Общий вес раствора:

Значит,

, разделим на М

;

;

Ответ: 27 % исходное процентное содержание соли.

Задача 13: 40 кг раствора соли разлили в 2 сосуда так, что во втором сосуде чистой соли оказалось на 2 кг больше, чем в первом сосуде. Если во второй сосуд добавить 1 кг соли, то количество соли в нем будет в два раза больше, чем в первом сосуде. Найдите массу раствора, находящегося в первом сосуде?

Решение: Пусть х кг чистой соли – в 1 сосуде, тогда во втором – (х+2) кг. Если во второй сосуд добавить 1 кг соли, то количество соли в нем будет (х+3), по условию задачи оно в 2 раза больше, чем в первом.

2 = х+3; 2х-х=3; х=3

3 кг чистой соли в 1 сосуде, тогда во втором сосуде 3+2=5 – кг чистой соли.

3+5=8 кг – чистой соли в 40 кг раствора

Составим пропорцию:

40 кг – 100%

8 кг – х%

х=

20% - соли в растворе.

Составим пропорцию:

3кг – 20%

у кг – 100%

у= кг

15 кг – раствора в первом сосуде.

Ответ: 15кг.

Задача 14: Из сосуда, наполненного кислотой, вылили несколько литров и долили водой; потом опять вылили столько же литров смеси; тогда в сосуде осталось 24 л чистой кислоты. Ёмкость сосуда 54 л. Сколько кислоты вылили в первый раз и во второй?

Решение: Обратим внимание, что на втором шаге воду не доливали.

По условию задачи объем сосуда, наполненного кислотой, 54 л. Её концентрация 100%. Пусть вылили х литров смеси( в первый раз х л кислоты), тогда в сосуде осталось (54-х) литров 100%-ной кислоты. В сосуд доливают х л воды. По определению массовой доли кислоты надо массу кислоты разделить на массу раствора: (54-х)/54.

Опять выливают х литров смеси, в сосуде остается (54-х) л смеси с массовой долей кислоты (54-х)/54.

Чтобы найти массу кислоты в этой оставшейся смеси, надо массу раствора умножить на массовую долю чистой кислоты в этом растворе. По условию масса чистой кислоты в этом растворе стала 24л. Составим и решим уравнение:

(54-Х)∙((54-Х)/54) = 24

(54-Х) = 1296,

зная, что х меньше 54, получим единственное решение х=18

В первый раз вылили 18 литров чистой кислоты. Но во второй раз вылили 18 литров смеси, в ней чистой кислоты было 18*(54-18)/54=12(л)

Ответ: 18л;12л.