4. Решение игры 2х2 в смешанных стратегиях аналитическим методом

Рассмотрим игру с размерностью платежной матрицы 2 х 2, которая является простейшим случаем конечной игры. Если такая игра имеет седловую точку, то оптимальное решение - это пара чистых стратегий, соответст­вующих этой точке.

Для игры, в которой отсутствует седловая точка, в соответствии с основной теоремой теории игр оптимальное решение существует и определяется парой смешанных стратегий и

Для того чтобы их получить, воспользуемся теоремой об активных стратегиях. Если игрок А придерживается своей оптимальной стратегии R_A*, то его средний выигрыш будет равен цене игры V, какой бы активной стратегией ни пользовался игрок В.

Для игры 2 x 2 любая чистая стратегия противника является активной, если отсутствует седловая точка. Выигрыш игрока А (проигрыш игрока В) - случайная величина, математическое ожидание (среднее значение) которой является ценой игры. Поэтому средний выиг­рыш игрока А (оптимальная стратегия) будет равен V и для l-й, и для 2-й стратегии противника.

Пусть игра задана платежной матрицей

Средний выигрыш игрока А, если он использует оптимальную смешанную стратегию

,

а игрок В - чистую страте­гию В₁ (это соответствует l-му столбцу платежной матрицы Н), равен цене игры V:

Тот же средний выигрыш получает игрок А, если 2-й игрок применяет стратегию В₂, _т.е.

Учитывая, что , получаем систему уравнений для определения оптимальной стратегии R_A^* и цены игры V:

Решая эту систему уравнений, получим аналитические выражения для вычисления вероятностей оптимальной смешанной стратегии

и цену игры

.

Применяя теорему об активных стратегиях при отыскании S_B^*- оптимальной стратегии игрока В, получаем, что при любой чистой стратегии игрока А (R₁ или R₂) средний проигрыш игрока В равен цене игры V, т.е.

Тогда вероятности применения оптимальной стра

тегии S_B(q₁^*,q₂^*) определяется по формулам:

Пример 3. Применим полученные результаты для отыскания оптимальных стратегий для игры, имеющей следующее вербальное описание.

Игра «поиск» . Игрок А может спрятаться в одном из двух убежищ (I или II ). Игрок В ищет игрока А . Если найдет, то получает штраф 1 ден.ед, в противном случае - платит игроку В 1 ден. ед . Необходимо получить решение игры.

Решение. Определим стратегии игрока A:

- стратегия A₁ – игрок A прячется в убежище I;

- стратегия A₂ – игрок A прячется в убежище II.

Определим стратегии игрока В:

- стратегия В₁ – игрок В ищет игрока А в убежище I;

- стратегия В₂ – игрок В ищет игрока А в убежище II;

Если игрок А принял стратегию А₁ (прячется в убежище I) и игрок В принял стратегию В₁ –(отыскивает игрока А в убежище I), то игрок В обнаруживает игрока А и игрок А платит штраф игроку В 1 д.. ед, т.е. а₁₁ = -1. Аналогично получается а₂₂ = - 1. Очевидно, что стратегии (А_1,В₂) и (А₂, В₁) дают игроку А выигрыш в 1 д. ед, т.е. а₁₂ = а₂₁ = 1.

Получаем платежную матрицу вида .

Вычислим нижнюю α и верхнюю β цену игры:

α = - 1; β = 1.

Вывод: игра не имеет седловой точки, решения в чистых стратегиях нет и его необходимо вычислять в смешанных стратегиях.

Используя полученные формулы, произведем расчеты вероятностей, использования стратегий:

=

Подставляя значения коэффициентов a_ij из платежной матрицы в остальные формулы, получим:

p₂^* = q₁^* = q₂^* = ½ . V = 0.

Это означает, что оптимальная стратегия каждого игрока состоит в том, чтобы применять свои чистые стратегии случайным образом, выбирая каждое из убежищ с вероятностью 1/2, при этом средний выигрыш (средний проигрыш) будут равны 0.

Практическая часть

Задание 2. В соответствии с таблицей 2 решить игру с заданной платежной матрицей аналитическим методом. Дать интерпретацию полученных результатов.

Таблица 2- Варианты заданий

№ по журналу	1, 17	2,. 18	3, 19	4, 20	5, 21	6, 22	7, 23	8, 24	9, 25	10, 26	11, 27	12, 28	13, 29	14, 30	15, 31
Вариант	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15

Вариант 1. H = . Вариант 2. H =

Вариант 3. H = . Вариант 4. H = .

Вариант 5. H = . Вариант 6. H = .

Вариант 7. H = . Вариант 8. H = .

Вариант 9. H = Вариант 10. H = .

Вариант 11. H = . Вариант 12. H = .

Вариант 13. H = . Вариант 14. H = .

Вариант 15. H = .

Теоретическая часть