3 Игры, не содержащие седловой точки. Смешанные стратегии

Среди конечных игр, имеющих практическое значение, сравнительно редко встречаются игры с седловой точкой. Более типичными являются случаи, когда нижняя и верхняя цены игры не совпадают (a ¹ b), причем, нетрудно показать, что тогда а < b.

Пример 2. Платежная матрица имеет вид

Н =

Требуется решить игру.

Решение.

1. Проверяем наличие доминирующих и доминируемых строк и столбцов:

- строка 2 доминирует над строкой 1, следовательно

Н₁ = ;

- строка 1 доминирует над строкой 2, следовательно

Н₂ =

В матрице Н₂ доминирующих и доминируемых строк и столбцов нет.

2. α₁ = 2; α₂ = 5; α = 2 ;

β₁ = 5; β₂ = 4; β₃ = 5; β = 4 .

Таким образом, α < β. Седловой точки в игре нет и применение чистых стратегий не даeт оптимального решения игры.

В играх, не имеющих седловой точки, нижняя цена игры a всегда меньше верхней b.

Установленный факт означает, что если игра одноходовая, то есть партнеры играют один раз, выбирая по одной чистой стратегии, то в расчете на разумно играющего про­тивника они должны придерживаться принципа минимакса, это гарантирует выигрыш V ³ a игроку А и проигрыш V £ b игроку В. Следовательно, при применении минимаксных стра­тегий величина платежа V ограничена неравенством

a < V < b.

Если же игра повторяется неоднократно, то постоянное применение минимаксных стратегий становится неразумным. Например, если игрок В будет уверен в том, что на следующем ходу А применит прежнюю стратегию, то он несомненно выберет стратегию, отвечающую наименьшему элементу в этой строке, а не прежнюю.

Таким образом, мы приходим к выводу, что при неоднок­ратном повторении игры обоим игрокам следует менять свои стратегии. Тогда возникает вопрос: каким образом их ме­нять, чтобы в среднем выигрыш одного и проигрыш другого был аналогично одноходовой игре ограниченным снизу и сверху соответственно?

Интуитивно понятно, что такое чередование чистых стратегий должно быть случайным. Такое чередование чистых стратегий называется решением в смешанных стратегиях.

Смешанная стратегия состоит в том, что в ходе игры происходит случайный выбор стратегии из некоторого множества (набора) стратегий и для каждой из них вводится вероятность ее выбора.

Таким образом, смешанной стратегией S_A игрока А называется применение чистых стратегий A_l, А₂, ..., А_т с вероятностями p₁, p₂ ..., p_m , причем сумма вероятностей равна 1, т.е.

Смешанные стратегии игрока А записываются в виде строки Р_A = (p₁,p₂,..,p_т).

Аналогично смешан­ные стратегии игрока В обозначаются: Q_B = (q₁,q₂,…,q_n).

Сумма вероятностей появления стратегий также равна 1, т.е. ­

Чистые стратегии можно считать частным случаем смешанных, и задавать строкой, в которой индекс i соответствует чистой стратегии.

Платежная матрица игры без седловой точки принимает вид, показанный в таблице 1.

Таблица 1 – Общий вид платежной матрицы игры без седловой точки

Стратегии игрока А	Вероятность выбора стратегии	Стратегии игрока В
		S1	S2	S3	…	Sn
		q1	q2	q3	…	qn
R1	p1	a11	a12	a13		a1n
R2	p1	a21	a22	a23		a2n
R3	p1	a31	a32	a33		a3n
…	…	…	…	…	…	…
Rm	pm	am1	am2	am3		amn

Игрок А выбирает стратегию R_i так , чтобы максимизировать наименьший ожидаемый максимум по столбцам платежной матрицы, а игрок В выбирает стратегию S_j с целью минимизировать наибольший ожидаемый проигрыш по строкам. Такой выбор стратегий отвечает принципу минимакса.

Математически критерий минимакса при смешанных стратегиях записывается следующим образом:

Игрок А выбирает стратегию R_i , дающую

( 2 )

Игрок В выбирает стратегию S_j , дающую

( 3 )

По существу игрок А стремится выбрать ту смешанную стратегию, которая обеспечивает максимум математического ожидания выигрыша, а игрок В – ту стратегию, которая обращает в минимум математическое ожидание проигрыша.

Если стратегии оптимальны R_i^* и S_j^* , то выполняется строгое равенство между максиминным ожидаемым выигрышем и минимаксным ожидаемым проигрышем, а результирующее значение равно оптимальному (ожидаемому) значению игры.

Этот вывод следует из теоремы фон Неймана и минимаксе. Основная теорема теории игр (доказана фон Нейманом в 1928 году) утверждает:

каждая матричная игра с нулевой суммой имеет, по край­ней мере, одно решение, возможно, в области смешанных стратегий, то есть существуют стратегии R* и S*, оптималь­ные для обоих игроков, причем max min M(R;S) = min max M(R;S) и равен M(R*;S*).

Примечание. Нулевая сумма означает, что выигрыш од­ного игрока равен проигрышу другого.

Данная теорема утверждает, что выражения (1) и (2) при оптимальных стратегиях получают одно и тоже значение (число) V = M(R*;S*), называемое ценой игры.

Если R_i* и S_j* - оптимальные решения для обоих игроков , то каждому элементу платежной матрицы a_ij соответствует вероятность, вычисляемая, как

p_i* x q_j* .

Следовательно, оптимальное ожидаемое значение игры

.

Из основной теоремы следует, что каждая конечная игра имеет цену и она лежит между нижней и верхней ценами игры

a ≤ V ≤ b.

Если один из игроков придерживается своей оптималь­ной стратегии, то выигрыш (проигрыш) его остается неиз­менным независимо от тактики другого игрока, если, конеч­но, последний не выходит за пределы своих «полезных» стра­тегий, иначе выигрыш (проигрыш) возрастает.

Пусть R_А^* = (p₁,p₂,...,P_т) И S_В* = (q₁,q₂,...,q_n) - пара опти­мальных стратегий. Если чистая стратегия входит в оптимальную смешанную стратегию с отличной от нуля вероятностью, то она называется активной.

Доказана теорема об активных стратегиях: если один из игроков придерживается своей оптимальной смешанной стратегии, то выигрыш остается неизменным и равным цене игры V, если при этом второй игрок не выходит за пределы своих активных стратегий, иначе выигрыш (проигрыш) возрастает.

Эта теорема имеет большое практическое значение - она дает конкретные модели вычисления оптимальных стратегий при от­сутствии седловой точки.

Решить конечную игру в смешанных стратегиях - получить векторы Р* = (p₁,p₂,...,P_т ) и Q*= (q₁,q₂,...,q_n) (получить оптимальные стратегии), удовлетворяющие теореме о минимаксе, и вычислить величину ожидаемого платежа M(R*;S*).,

Известно несколько методов решения задач без седловой точки, но наиболее употребительными из них являются:

- аналитический метод;

- графический метод;

- метод сведения к задаче линейного программирования.

Наиболее простое решение имеют игры с размерностью платежной матрицы 2 х 2.