2. Доминирующие и доминируемые стратегии

Сложность решения игры в значительной мере определяется размерностью матрицы игры, поэтому прежде чем вычислять цену игры и определять оптимальные стратегии необходимо выяснить, нет ли возможности понизить размерность матрицы.

Это можно сделать, если в ней имеются доминирующие и доминируемые строки и столбцы.

Если в матрице игры Все элементы строки А_i = (a_i₁,a_i₂,…,a_in) не меньше соответствующих элементов строки А_k= (a_k₁,a_k₂,…,a_kn) и, по крайней мере, один элемент строго больше, то строка А_i(и соответствующая стратегия) называется доминирующей, а строка А_k(и соответствующая стратегия) – доминируемой.

Аналогичны понятия доминирующий столбец (и соответствующая стратегия) и доминируемый столбец (и соответствующая стратегия).

Игроку А не целесообразно применять стратегии, которым соответствуют доминируемые строки, а игроку В – стратегии, которым соответствуют доминирующие столбцы. Поэтому при решении игры можно уменьшить размерность платежной матрицы путем удаления из нее доминирующих столбцов и доминируемых строк.

Пример 2. Платежная матрица игры имеет вид

Н =

Требуется решить игру (вычислить цену игры и определить оптимальные стратегии игроков).

Решение. В матрице Н строка 3 доминирует над строкой 2 ( 6>4; -1>-2; 4>3) , поэтому строку 2 можно удалить из платежной матрицы. В результате удаления матрица примет вид

Н₁ = .

В матрице Н₁ первый и третий столбцы доминируют над вторым (2>-3; 6>-1 и 5>-3 ; 4> -1), следовательно, их можно удалить из матрицы Н₁. В результате платежная матрица преобразуется в вектор столбец

Н₂ = .

В матрице Н₂ вторая строка доминирует над первой, следовательно платежная матрица вырождается в один элемент

Н₃ = (-1) .

Из анализа матрицы Н следует, что игрок А должен выбрать стратегию А₃, а игрок В – стратегию В₂. Эти стратегии будут чистыми оптимальными, а цена игры V = -1.

Для проверки решим игру, не проводя упрощений:

α₁ = -3, α₂ = -2, α₃ = -1, тогда α = -1;

β₁ = 6, β₂ = -1, β₃ = 5, тогда β = -1;

Таким образом, α = β = -1, т.е. задача имеет седловую точку, V = -1 и оптимальными являются чистые стратегии А₃ и В₂, что и подтверждает правильность первого варианта решения задачи.

Практическая часть

Задание 1. В соответствии с таблицей 1 решить игру с заданной платежной матрицей. Дать интерпретацию полученных результатов.

Таблица 1- Варианты заданий