1.2 Вполне определенные игры (игры с седловой точкой)

Рассмотрим конечную бескоалиционную игру с двумя участниками. Игрок А имеет m стратегий, игрок В – n стратегий. Выбор игроком А стратегии с номером I , а игроком В стратегии с номером j – определяет исход игры. Ни один из игроков не знает выбора противника. Игрок А получает в качестве выигрыша сумму а_ij , а игрок В – сумму b_ij. Такая игра называется игрой двух лиц в нормальной форме.

Игра двух лиц с матрицами выигрыша а_ij и b_ij называется антагонистической (или игрой с нулевой суммой), если а_ij + b_ij = 0 при любой стратегии I игрока А и любой стратегии j игрока В . Антагонистическая игра описывается одной матрицей (платежной или выигрышей).

Теория антагонистических игр разработана наиболее детально. Ее математический аппарат связан с таким разделом математики, как линейное программирование.

В теоретико-множественной форме антагонистическая матричная игра записывается в виде

Н = { A, B, H(m,n)}, ( 1 )

где A = {a₁,a₂,…a_m} - множество стратегий игрока А;

В = {b₁,b₂,…b_n} - множество стратегий игрока B;

H(m,n) – платежная матрица или матрица выигрышей, размерностью m х n.

Любой элемент матрицы Н – (a_ij) – численно показывает величину выигрыша игрока А, если он примет стратегию i, и соответственно, величину проигрыша игрока В, если он примет стратегию j.

Решить игру ( 1 ) означает вычислить пару стратегий (a_i,b_j) , которая наилучшим образом удовлетворяла бы интересы обоих игроков.

Наиболее простым случаем матричной антагонистической игры является. вполне определенная игра (ига с седловой точкой).

Вполне определенной игрой или иг­рой с седловой точкой называется игра, у которой совпадают нижняя и верхняя цены игры, то есть выполняется равенство:

 = max min а_ij = min max a_ij = .

i j j i

При этом величина V = a =  называется ценой игры, элемент а_ij соответствующий равенству, называют седловой точкой.

Простота решения игры с седловой точкой заключается в том, что оптимальные стратегии ( в этом случае их называют чистыми стратегиями) обоих игроков получаются сразу. Для примера 1 α = β = 6 , т.е цена игры V = 6 у.е., а элемент матрицы Н, находящийся на пересечении строки 2 (стратегия А₂) и столбца 2 (стратегия В₂) – седловая точка игры.

Седловая точка всегда является минимальным элементом соответствующей строки и максимальным элементом соответствующего столбца. Эта точка есть точка равновесия игры, однозначно определяющая чистые оптимальные стратегии.

Такое решение обладает свойством устойчивости в том смысле, что если один из игроков применяет свою оптималь­ную стратегию, то любое отклонение другого игрока от оптимальной стратегии может оказаться не выгодным для него.

Седловых точек к матрице может быть несколько. Между тем значение цены игры всегда единственное.

Стратегии игроков, подразумевающие разумность действий противников в достижении поставленных целей, получили в теории игр название принципа гарантированного результата, или принципа максимина.

Решением игры в примере 1 является выбор стратегии А₂ игроком А и В₂ игроком В, при этом цена игры V = 6.