Построение прямой по её уравнению.
Для построения прямой нужно иметь две её точки. Удобно взять точки пересечения с осями координат учитывая что прямая не параллельна ни одной оси и не проходит через начало координат.
Для большей точности можно взять ещё 1 или 2 точки.
Условие, при котором три точки лежат на одной прямой.
Три точки лежат на одной прямой в том и только том случае, если выполняется:
(28)
Эта формула показывает, что площадь треугольника ABC равна нулю.
Решение типовых задач.
Задача 1. Составить уравнение прямой проходящей через точку А(2;1) и через точку пересечения прямых.
Решение: 1)Найдём точку пересечения прямых:
(.)М
Используем формулу (11), составим уравнение прямой, проходящей через две точки:
;
,
откуда
и
Ответ:
Задача 2.Указать точку пересечения
прямой
и прямой
Решение: Реши систему:
;отсюда
Ответ: М (1;-2).
Задача 3. Найти уравнение прямой,
проходящей через точку перечисления
прямых
и
и
наклонной к оси ОХ под углом
.
Решение: 1) Найдем точку пересечения прямых.
Прямая проходит через точку А (1;-3).
2)
3)Используя уравнение (9):
получим:
Ответ:
Задача 4. Найти уравнение прямой проходящей через точку D(-2;1) и середину отрезка AB, где A(2;7),B(4;3).
Решение: 1)Найти координаты середины отрезка AB.
т.е. точка M(3;5) – середина
отрезка AB.
Искомая прямая проходит через точки:
M(3;5) и D(-2;1).Используем формулу (11)
по свойству пропорции:
-4(x-3)=-5(y-5)
-4x+12=-5y+25
-4x+5y+12-25=0
4x-5y+13=0
Ответ: 4x-5y+13=0
Задача 5. Найти уравнение прямой, проходящей через точку D(-3;4) параллельно прямой 2x-y+1=0.
Решение: 1)Найдём угловой коэффициент прямой
2x-y+1=0
y=2x+1; =2
2) По условию параллельности прямых (формула 16)
= =2
3) т.к. искомая прямая проходит через точку D(-3;4) и имеет угловой коэффициент =2, от по формуле (9) имеем:
y-4=2(x+3)
y-4=2x+6
Откуда 2x-y+10=0
Ответ: 2x-y+10=0
Задача 6. Найти расстояние от точки A(-2:-2) до прямой
3x-2y+6=0
Решение: Используем формулу (2):
Ответ:
Задача 7. Найти уравнение прямой,
проходящей через точку пересечения
прямой
с осью OX,
Перпендикулярно прямой
Решение: 1)Найдём угловой коэффициент прямой
y=-x+1;
=-1;
=1
(прямой
)
2) Найдём координаты точки пересечения прямой ;
с осью OX,при этом y=0
3x+6=0; x=-2
(.)M(-2;0)
3) Искомая прямая проходит через (.)M(-2;0) и имеет
=1:
(y-0)=1(x+2)
y=x+2
x-y+2=0
Ответ: x-y+2=0
Задача 8. При каком значении параметра а прямые
перпендикулярны?
Решение: Представим уравнения прямых
в виде:
Ответ: .
Задача 9: Найти площадь треугольника
с вершинами A(1;5),
Решение: Если считать A – первая вершина, B – вторая, C – третья, получим:
Ответ:
усл. кв. ед.
Задача 10: Построить прямую
Решение: При
при
Построим эти точки и проведём прямую
через точки
