6. Виявлення сигналів за умов Непараметричної апріорної невизначеності розподілів завад Непараметрична апріорна невизначеність сигнально-завадових ситуацій

При проектуванні апаратури виявлення сигналів ставляться вимоги до її стабільного функціонування за умов апріорної невизначеність сигнально-завадової ситуації. Особливо це відноситься до морських та метео радіолокаторів, радіосистем, які функціонують у ситуаціях радіотехнічної протидії тощо.

У таких випадках не можна обмежитись якоюсь однією параметричною моделлю розподілу суміші сигналів і завад або певним їх околом. Задача приймає непараметричний характер і описується в термінах перевірки непараметричних гіпотез. Для її розв’язку потрібно знайти статистичні процедури, які можна було б застосувати у широкому класі розподілів, наприклад, в класі всіх неперервних розподілів. Такі процедури називають вільними від розподілів.

Більшість з них було призначено для непараметричних задач, таких як перевірка гіпотез однаковості ЩРІ, і тому в літературі часто називають такі процедури непараметричними. Проте їх можна застосувати й для розв’язку параметричних задач. Звичайно, вони будуть мати дещо нижчу ефективність, ніж відповідні оптимальні чи адаптивні параметричні процедури, але забезпечать стабільність імовірності похибок першого роду при досить слабких обмеженнях.

Формулювання задач виявлення сигналу у випадку непараметричної апріорної невизначеності

Основні задачі виявлення сигналів в непараметричній постановці сформулюються як задачі статистичного порівняння двох вибірок. Гіпотеза Н₀, що перевіряється, полягає у однаковості розподілів ймовірностей двох випадкових вибірок x₁,…,x_n i y₁,…,y_m , тобто – породжені дією тільки завади. Про розподіл завади не робиться ніяких припущень, крім неперервності та незалежності випадкових значень.

У разі відкидання гіпотези Н₀ приймається рішення про наявність сигналу в одній з вибірок, що, наприклад, може призводити до зміни у ній параметра зсуву (альтернативна гіпотеза Н₁) та/або параметра масштабу (гіпотеза Н₂). Третя задача – це виявлення розбіжностей у кореляцях двох вибірок (гіпотеза Н₃). Четверта задача виникає, коли сигнал призводить до зміни форми розподілу вибірок x₁,…,x_n у порівняно з розподілом вибірки y₁,…,y_m (гіпотеза Н₄). Остання задача носить більш загальний характер, та до неї можуть бути зведені попередні як окремі випадки.

Статистики, які використовуються у непараметричних задачах

Побудова статистик, вільних від розподілу, базується на тому факті, що випадкова величина R, отримана шляхом перетворення,

r_i = F ^–1(x_i), i=1, n (6.1)

де F ^–1(.) – функція, обернена до інтегральної функції розподілу F (x) випадкової величини Х, має рівномірний розподіл на інтервалі (0,1): f (r_i)=1.

В непараметричних задачах інтегральна функція F (x) та відповідно й обернена до неї функція F ^–1(x) – невідомі. Тому згідно з емпіричним байєсівським підходом намагаються за навчальною чи опорною вибіркою y₁,…,y_m отримати оцінку функції розподілу завад , і використати її для побудови нелінійного перетворення (6.1). Тобто, відліки сигнальної вибірки x₁,…,x_n перетворюються згідно

, (6.2)

та перевіряється гіпотеза Н₀ про рівномірність розподілу випадкової величини R. Якщо ця гіпотеза приймається, то робимо висновок, що має місце гіпотеза Н₀: вибірки x₁,…,x_n і y₁,…,y_m належать одному й тому самому розподілу, тобто вибірка x₁,…,x_n не містить сигналу; інакше – сигнал присутній у вибірці x₁,…,x_n.

У непараметричних задачах емпірична функція розподілу ймовірностей

(6.3)

будується за варіаційним рядом (достатня статистика), утвореним на підставі порядкових статистик у₍₁₎, у₍₂₎,…, у_(m) вибірки y₁,…,y_m. Функція (6.3) ступінчата з розривами першого роду в точках, що дорівнюють значенням порядкових статистик.