Марковська послідовність

Нехай випадковий процес X(t) в дискретні моменти часу t₁<t₂<...t_n набуває значення неперервної множини. Випадкова послідовність x₁=X(t₁+0), x₂=X(t₂+0) ... x_n=X(t_n+0) називається марківською, якщо для будь-якого m для умовних функцій розподілу F_m і умовних щільностей ймовірностей _m виконуються співвідношення:

(1.15)

Ці співвідношення означають, що для марківської послідовності умовні функції розподілу або щільності ймовірності для моменту часу t_m залежать тільки від того, якого значення набув процес у попередній момент часу t_m-1, і не залежать від інформації про те, яких значень він набував за t<t_m-1.

Із співвідношень (1.15) витікає, що сумісна щільність імовірності значень процесу в m послідовних моментах часу виражається через щільність імовірності початкового стану f₁(x₁) і щільності ймовірностей переходів _l(x_l/x_l-1), l=2,...,m

Для однорідної марковської послідовності перехідна щільність імовірності не залежить від часу і є функцією тільки двох змінних x_ і x_-1.

Щільність імовірності переходу задовольняє рівняння

що є окремим випадком рівняння Колмогорова  Чепмена.

Процеси із “забрудненим” розподілом типу Тьюкі

На практиці часто буває так, що до відліків основного процесу з відомим розподілом f₁(x) домішуються відліки іншого процесу (завади) з розподілом f₂(x), що “забруднюють” основну вибірку; стохастичне правило:

(1.16)

де _i  випадкова величина, що набуває двох значень  нуля і одиниці з ймовірностями (1р) і р відповідно; X_1i, X_2i  відліки основного і “забруднюючого” процесів відповідно.

Механізм формування вибірки (1.16) описує дію імпульсних завад промислового або атмосферного походження, збої синхронізації в комутаторах приймачів, короткочасні завади, що утворюються випроміненням радіоелектронних систем, в тому числі організовані завади.

Одновимірна ЩРІ відліків стохастичної суміші сигналів і завад, що відповідає правилу (1.16), записується у вигляді двох складових:

(1.17)

Як правило, вважається, що р незначне (р<0,1), а відліки завад стохастично більші, ніж відліки сигналів. За цих умов відліки суміші за розподілом f₂(x) називають викидами або аномальними значеннями.

У більшості випадків, які розглядаються в літературі, f₁(x)  є нормальною функцією розподілу, а f₂(x) може бути відомою з точністю до параметрів або й зовсім невідомою функцією. У задачах, де суміші сигналів і завад описуються негаусівськими розподілами типу Тьюкі, відліки процесу вважають статистично незалежними і обмежуються знанням одновимірної функції розподілу ймовірностей (1.17).

Процеси з полігаусівським розподілом

Для описання випадкових процесів з негаусівським розподілом ймовірностей часто використовують так звані полігаусівські моделі, запропоновані Ш.М. Чабдаровим. Випадковий сигнал або заваду називають полігаусівською, якщо відповідні функції розподілу ймовірності F(.) і щільність імовірності f(.) можна подати сумішшю з N гаусівських розподілів:

Властивості радіотехнічних систем часто природно породжують полігаусівські представлення. Так, у випадку із “забрудненим” розподілом f₂(x) може бути гаусівським і розподіл типу Тьюкі буде окремим випадком полігаусівської моделі при N=2, p₁=1p, p₂=p.

Полігаусівські розподіли широко застосовують у прикладних задачах статистичної теорії зв’язку, радіолокації тощо. Якщо параметри полігаусівської моделі N, p_i, m_i, _i, i=1,...,N визначені, вона зручна для використання.

10