Нормальний випадковий процес і його використання для моделюванні випадкових сигналів і завад

У радіотехнічних і багатьох інших прикладних задачах зустрічається так званий нормальний випадковий процес.

Випадковий процес називається нормальним або гаусівським, якщо сумісна функція розподілу для будь-якої скінченної множини випадкових величин (1.3) визначається за формулою:

, (1.7)

де  визначник коваріаційної матриці,  елементи оберненої коваріаційної матриці.

Гаусівська модель отримала широке використання в задачах обробки сигналів завдяки хорошій апроксимації ряду сигналів, що пояснюється явищем нормалізації згідно з центральною граничною теоремою теорії ймовірностей, а також внаслідок зручності математичного дослідження.

Для нормального випадкового процесу визначення стаціонарності в широкому розумінні та стаціонарності у вузькому розумінні збігаються. Одновимірна і двовимірна функції розподілу стаціонарного нормального випадкового процесу мають вид:

де ²  дисперсія процесу; r()  коефіцієнт кореляції між значеннями процесу, які розділені інтервалом часу .

Коефіцієнт кореляції обчислюється за формулою:

Якщо будь-які два значення нормального випадкового процесу будуть некорельованими, то R_ik=R_ki=0, (ik), R_ii=² і з виразу (1.7) маємо формулу:

. (1.8)

Тобто m-вимірна функція розподілу є добутком одновимірних функцій розподілу, що відповідає незалежності значень процесу. Таким чином, із некорельованості значень нормального випадкового процесу випливає їх статистична незалежність.

Однією з математичних моделей, яку часто використовують для описання широкого класу явищ, що мають місце в радіотехнічних пристроях і викликані дробовим ефектом та тепловим рухом електронів, є білий шум. Основна властивість білого шуму полягає в тому, що яке б мале значення інтервалу часу  не брали, значення білого шуму, розділені цим інтервалом, будуть статистично незалежними. Кореляційна функція білого шуму визначається виразом:

,

де N  значення спектральної щільності потужності білого шуму. Спектральна щільність потужності білого шуму є однаковою на всій осі частот R(0)=N,(0)=, тобто потужність білого шуму нескінченна.

В реальних випадках при застосуванні моделі білого шуму роблять такі припущення.

1. Вважають, що мають справу з процесом, що пройшов через лінійну систему з обмеженою смугою прозорості _f. Такий процес нормалізується. Дисперсія процесу на виході системи ²=R(0)=fN є скінченною величиною.

2. Щоб мати незалежні відліки, інтервал дискретизації процесу має бути

.

тоді багатовимірна ЩРІ описується виразом (1.8) з ²=_fN.

Білий шум являє собою вдалий приклад компромісного рішення при виборі математичної моделі. З одного боку, білий шум добре апроксимує, наприклад, власні шуми радіоприймального пристрою, оскільки для них характерний ефект нормалізації й ширина спектру шумів набагато більша від смуги прозорості пристрою. З другого боку, білий шум зручний при математичних дослідженнях, зокрема, завдяки простоті обчислень інтегралів, що містять дельта-функцію.

Часто доводиться вивчати процеси, які є сумою нормального стаціонарного випадкового процесу X(t) і детермінованого S(t). Розподіл такої суми також нормальний, але математичне сподівання в цьому випадку є функцією часу +S(t). Отже, така сума є нестаціонарним процесом.