Операции над матрицами

Суммой матриц A и B одинаковой размерности называется матрица C= A + B той же размерности, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов слагаемых матриц, т.е. .

Сложение матриц коммутативно, т.е. .

Произведением матрицы A на число называется матрица B= A той же размерности, получающаяся из матрицы умножением каждого элемента на , т.е. .

Произведением матриц A и B называется матрица C= AB , каждый элемент которой равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы A на соответствующие элементы j - го столбца матрицы B. Умножение матрицы на матрицу возможно только при условии, что число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B, т.е. n=p. Тогда матрица С имеет размерность и .

Заметим, что для любых квадратных матриц det (AB) = detAdetB.

Произведение матриц не коммутативно, т.е. . В частном случае может оказаться, что . Такие матрицы называются перестановочными. Самым характерным примером может служить единичная матрица, которая является перестановочной с любой другой матрицей того же размера: АЕ = ЕА = А. Перестановочными могут быть только квадратные матрицы одного и того же порядка.

Операция умножения матриц ассоциативна, т.е. (АВ)С=А(ВС).

Операция умножения матриц дистрибутивна по отношению к сложению, т.е. А(В + С) =АВ + АС.

Матрица, полученная из данной матрицы A заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется матрицей, транспонированной к данной, и обозначается . Если определено произведение АВ, то определено произведение В^ТА^Т и выполняется равенство .

Пример. Даны матрицы А = , В = , С = и число  = 2. Найти А^ТВ+С.

A^T = ; A^TB =  = = ;

C = ; А^ТВ+С = + = .

Обратная матрица

Определим операцию деления матриц как операцию, обратную умножению.

Если существуют квадратные матрицы Х и А, удовлетворяющие условию: XA = AX = E, где Е - единичная матрица того же самого порядка, то матрица Х называется обратной к матрице А и обозначается .

Каждая квадратная матрица с определителем, не равным нулю, имеет обратную матрицу и притом только одну. Чтобы найти обратную матрицу , надо составить матрицу из алгебраических дополнений элементов матрицы A , транспонировать ее и умножить на число .

Ранг матрицы и его вычисление

Выберем в матрице A размера произвольно k строк и k столбцов (k . Элементы, стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу порядка k, определитель которой называется минором k-го порядка матрицы A. Заметим, что таких миноров можно составить – число сочетаний из n элементов по k.

Если у матрицы все миноры порядка k r равны 0, а среди миноров порядка r имеется хотя бы один, отличный от 0, то число r называется рангом матрицы A и обозначается .

Итак, рангом матрицы называется наибольший порядок, отличных от 0 миноров матрицы.

Ранг нулевой матрицы равен 0.

Однако, обычно для определения ранга матрицы используется метод элементарных преобразований.

Элементарные преобразования матрицы:

1. Перестановка местами строк.

2. Умножение всех элементов строки на некоторое число, отличное от 0.

3. Прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на некоторое число.

Аналогичные преобразования можно выполнять над столбцами матрицы.

Т.о, при транспонировании матрицы её ранг не меняется.

С помощью элементарных преобразований, которые не меняют ранга, матрица приводится к ступенчатому виду, когда первый, отличный от 0, элемент каждой её строки, начиная со 2-ой, находится правее 1-го, отличного от 0, элемента предыдущей строки.

Матрица, полученная с помощью элементарных преобразований, называется эквивалентной данной.