Смешанное произведение векторов.
Если
,
то
.
Приложения смешанного произведения:
1)
- объем параллелепипеда;
-
объем пирамиды, построенной на векторах
;
2)
векторы
компланарны
тогда и только тогда, когда
.
Пример
14.3.
По координатам вершин пирамиды
найти:
1) объем пирамиды ;
2)
длину высоты пирамиды
,
опущенную из вершины
;
;
;
;
.
Решение: Найдем объем пирамиды :
.
Ответ:
.
4) Найдем длину высоты пирамиды , опущенную из вершины :
.
Ответ:
.
Решить задачи:
39.
Найти смешанное произведение векторов,
если
40.
Найти смешанное произведение векторов,
если
41.
Определить, какой является тройка 
(правой или левой), если
= i
+ j,
= i
– j,
c
= k.
42. Установить колпларны ли векторы если : = {2; 3; -1}, = {1; -1; 3} и = {1; 9; -11}.
43. Даны вершины тетраэдра А(2; 3; 1), В (4; 1; -2), С (6; 3; 7) и D (-5; -4; 8). Найти длину его высоты, опущенной из вершины D.
44.
Доказать, что векторы
,
удовлетворяющие условию 
компланарны.
45.
Доказать, что | 
| 
|
| 
|
|
| 
|; в каком случае здесь может иметь место
знак равенства?
46. Доказать, что четыре точки А (1; 2; -1), В (0; 1; 5), С (-1; 2; 1) и D (2; 1; 3) лежат в одной плоскости.
47.
Доказать тождество (
(
)
(
)
= 2
6
.
Задание домой: готовиться к контрольной работе.
48.
Вектор
перпендикулярен к векторам 
равен 30 
.
Зная, что |
| = 6, |
| = 3, |
| = 3, вычислим
.
49. Установить, компланарны ли векторы , если : 2) : = {3; -2; 1}, = {2; 1; 2}, = {3; -1; -2}. 3) = {2; -1; 2}, = {1; 2; -3} и = {3; -4; 7}.
50.
Доказать тождество 
(
+
)
= 
,
где 
и 
- какие угодно числа.
51. Объем тетраэдра V = 5, три его вершины находящиеся в точках А (2; 1; -1), В (3; 0; 1) и С (2; -1; 3). Найти координаты четвертой вершины D, если известно, что она лежит на оси ОУ.
Практическое занятие 16
Комплексные числа.
Сложение, вычитание, умножение, деление.
Тригонометрическая форма комплексного числа.
Возведение в степень, извлечение корня.
52. Решить уравнение
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
53. Алгебраическая форма записи комплексного числа, изображенного на рисунке, имеет вид… 1) z= 6–2i 2) z= –2+6i
3)
z=
4
4) z=
|
|
54. Алгебраическая форма записи комплексного числа, изображенного на рисунке, имеет вид…
1) z= 5 2) 7
3) z= 4+3i 4) z=3+4i |
|
55. Изобразить геометрически комплексные числа:
1) z= 5 –2i
2) z= –1 + i
3) z= 4 +2i
4) z= 4 –2 i
5) z= –3 i
56. Найти модуль комплексного числа:
1) z= 1 +3i .
2) z= 4 – i
3) z= 2 +3i
57. Найти значение выражения:
1) (2 + 3i)(5 – i)
2) (1 – i)(–3 + 2i)
3) (–5 + i)(1 + 5i)
58.
Найти
,
если
1)
2)
3)
59.
Найти
,
если
1)
2)
3)
4)
60. Даны два комплексных числа z1 и z2 (см. рис). Тогда аргумент произведения arg(z1z2) (в градусах) равен 1) 320000 2) 400 3) 3600 4) 1,250 |
|
|
61.
Даны два комплексных числа z1
и z2
(см. рис). Тогда аргумент частного arg 1) 2100 2) 98000 3) 20 4) 700 |
|
|
(в градусах) равен
62.
Результат операции деления числа z1
=
на число z2
=
равен…
63.
Результат операции деления числа z1
=
на число z2
=
равен…
64.
Найти
,
если z1
=
, а z2
=
.
65.
Найти
,
если z1
=
,
а z2
=
.
66. Вычислить значение функции:
1)
в точке z0
= 2 – i
;
2)
в точке z0
= 1 + 5i
;
3)
в точке z0
= i
;
4)
в точке z0
= 3 + i
.
67. Найти действительную часть комплексного числа:
1)
2)
68. Найти мнимую часть комплексного числа:
1)
2)
69. Найти число, сопряженное комплексному числу:
1) (2–7i)2 i
2) (1+2i)3
3) i(2 – 5i)2
70. Записать комплексное число в алгебраической форме:
1)
2)
3)
4)
71. Записать комплексное число в тригонометрической форме:
1)
2)
3)
4)
72. Дано комплексное число z. Требуется записать число в алгебраической и тригонометрической формах.
|
|
73. Найти результат возведения в степень:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
74. найти значения:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
