Практическое занятие 13 Скалярное произведение векторов и его приложения. Скалярное произведение векторов
1)
.
2)
Если
,
то
,
-
координатная форма скалярного произведения.
3)
;
4)
;
5)
.
Пример 13.1. Даны вершины треугольника ; ; .
Найти косинус угла между сторонами и .
Решение:
По
формуле:
.
.
Ответ:
.
Пример
13.2. Дано
разложение векторов
и
по
векторам
и
.
Требуется найти:
1) длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах и ;
2) косинус угла между векторами и ;
,
,
,
,
.
Решение:1)Одна
из диагоналей параллелограмма равна
,
другая ─
.
,
,
Ответ:
;
.
2) Найдем косинус угла между векторами и :
Ответ:
.
Решить задачи:
15.
Найти скалярное произведение векторов
и
,
если А(2;3;0), B(1;-1;2),
C(1;-1;0)
и D(1;1;1);
16.Найти скалярное произведение векторов и , если А(2;1;-1), B(1;1;0),C(0;-1;0) и D(2;1;-3);
17.
Найдите скалярное и векторное произведение
векторов
.
18.
Даны векторы
.
Вычислите угол между ними.
19. Найти угол между векторами и , если А(2;1;0), B(0;-1;2), C(0;-1;0) и D(1;-1;1);
20.
Векторы
и 
образуют угол 
= 
,
зная, что |
| = 3, |
| = 4 вычислить (3
- 2
) (
+ 2
);
Найти модуль вектора
= 3
- 2
;
вычислить угол между векторами 
= 
– b
и
=
- 2
;
Найти проекцию
.
21.
Даны векторы 
= {4; -2; 4},
= {6; -3; 2}. Вычислить а) (2
- 3
) (
+ 2
),
б)
(
)
.
22.
Даны три вектора
= {1; -3; 4},
= {3; -4; 2} и
= {-1; 1; 4}. Вычислить
.
23. Даны вершины четырехугольника А(1; -2; 2), В(1; 4; 0), С(-4; 1; 1) и D(-5; -5; 3). Доказать, что его диагонали АС и BD взаимно перпендикулярны.
24.
Вычислить какую работу производит сила
= {3; -5; 2}, тогда её точка приложения
перемещается из начала в конец вектора
= {2; -5; -7}
25. Даны вершины треугольника А(-1; -2; 4), В(-4; -2; 0) и С(3; -2; 1). Определить его внутренний угол при вершине B
26.Найти
целое значение параметра m,
при котором векторы
ортогональны.
Практическое занятие 14 Векторное и смешанное произведения векторов, их приложения Векторное произведение векторов
;
;Если , то
или
,
где
- единичные векторы на осях ОХ, ОY,
OZ.
Свойства и приложения векторного произведения векторов:
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
-
площадь параллелограмма, построенного
на векторах
и
.
7)
- площадь треугольника, построенного
на векторах
Пример
14.1.
Вычислить площадь треугольника
,
если
; ; .
Решение:
Площадь
треугольника
вычислим по формуле:
.
.
Ответ:
.
Пример 14.2. Дано разложение векторов и по векторам и .
Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и .
, , , , .
Решение:
Ответ:
.
Решить задачи:
27. Найти векторное произведение векторов и , если А(2;3;0), B(1;-1;2), C(1;-1;0) и D(1;1;1);
28. Найти векторное произведение векторов и , если А(2;-1;1), B(0;-1;2), C(2;-1;0) и D(2;1;-1);
29. Найти площадь треугольника ABC с вершинами в точках А(1;1;-1), B(0;-1;2), C(2;-1;0);
30.
Векторы 
образуют угол
= 
;
зная, что |
| = 6, |
| = 5, вычислить |
|; наибольшая площадь параллелограмма
построенного на векторах 
и 
;
и синус угла между диагоналями
параллелограмма построенного на векторах
и
.
31.
Даны : |
| = 3, |
| = 26 и |
| = 72. Вычислить 
.
32. Даны точки А (1; 2; 0), В (3; 0; -3) и С (5; 2; 6). Вычислить площадь треугольника АВС.
33.
Какому условию должны удовлетворять
векторы
,
что бы векторы 
и 
были коллинеарны?
34.
Сила 
= {3; 4; -2} приложена к точке С (2; -1; 2).
Определить величину и направляющие
косинусы момента этой силы относительно
начала координат.
35. Даны вершины треугольника А (1; -1; 2), В (5; -6; 2) и С (1; 3; -1). Вычислить его высоты, опущенной из вершины В на сторону АС.
36.
Векторы 
связанны соотношениями 
.
Доказать коллинеарность векторов 
и 
.
37..
Даны векторы
= {3; -1; -2} и
= {1; 2; -1}. Найти координаты векторного
произведения (2
)
(2
.
38.
Даны векторы
= {2; -3; 1},
= {-3; 1; 2} и
= {1; 2; 3}. Вычислить 
.