Практическое занятие 9 Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений заключается в приведении системы уравнений к треугольному виду путем элементарных преобразований уравнений системы, к которым относятся:

- перестановка двух уравнений;

- умножение обеих частей одного из уравнений на ненулевое число;

- прибавление к обеим частям одного из уравнений соответствующих частей другого уравнения.

Элементарные преобразования переводят данную систему в эквивалентную ей.

Пример 9.1.. Решить системы линейных уравнений методом Гаусса.

1)

Решение: Решим систему методом Гаусса. Первое уравнение системы оставляем без изменения, для получения второго уравнения умножим первое на 2 и сложим со вторым, а для получения третьего - умножим первое на 6 и сложим с третьим:

Первых два уравнения оставим без изменения, а для получения третьего умножим второе на 7 и сложим с третьим:

Ответ: ; ; .

2)

Ответ: решений нет.

3)

Ответ: Бесчисленное множество решений: .

Решить задачи:

1.111. Решите систему линейных уравнений:

1.112. Решите систему линейных уравнений:

1.113. Решите систему линейных уравнений:

1.114.Решите систему линейных уравнений:

1.115.Решите систему линейных уравнений:

1.116.Решите систему линейных уравнений:

Практическое занятие 10 Решение систем линейных уравнений методом Жордана-Гаусса

Пример 1. Решить систему методом Жордана-Гаусса

Решение:

1-й шаг. По данным системы составим таблицу. Выбираем разрешающий элемент , для удобства вычислений берем . Все элементы первой строки делим на этот разрешающий элемент. Все элементы разрешающего столбца , кроме элемента , обнуляем. Все остальные элементы таблицы вычисляем по правилу прямоугольника.

базис 2 2 -1 1 4 -2 3 2 2 5 1 1 -2 1 1 2 2 -1 1 4 -6 - 1 4 0 -3 -1 -1 -1 0 -3 -10 0 7 1 -2 6 1 -4 0 3 5 0 - 5 0 0 -3 0 0 1 -2 2 1 0 0 3 -1 0 1 0 0

Записываем полученные данные в таблицу. Осуществляем контроль:

Т.к. элементы контрольного столбца, вычисленные по правилу прямоугольника, равны элементам контрольного столбца, вычисленные суммированием элементов по строке, то полученная таблица составлена верно. Выбранному разрешающему элементу соответствовала переменная , следовательно, переменную записываем в базис.

Переходим к следующему шагу.

2-й шаг. Выбираем разрешающий элемент из второй и третьей строчки, для удобства вычислений берем . Все элементы второй строки делим на этот разрешающий элемент. Все элементы разрешающего столбца , кроме элемента , обнуляем. Все остальные элементы таблицы вычисляем по правилу прямоугольника.

Третий столбец в новую таблицу можно переписать без изменений, т.к. в разрешающей стоке в третьем столбце стоит ноль. Записываем полученные данные в таблицу. Осуществляем контроль:

Т.к. элементы контрольного столбца, вычисленные по правилу прямоугольника, равны элементам контрольного столбца, вычисленные суммированием элементов по строке, то полученная таблица составлена верно. Выбранному разрешающему элементу соответствовала переменная , следовательно, переменную записываем в базис.

Переходим к следующему шагу.

3-й шаг. Выбираем разрешающий элемент из третьей строчки, т.к. в этой третьей строке только один элемент отличный от нуля, то в качестве разрешающего элемента выбираем этот элемент . Все элементы третьей строки делим на этот разрешающий элемент. Все элементы разрешающего столбца , кроме элемента , обнуляем. Все остальные элементы таблицы вычисляем по правилу прямоугольника.

Первый, третий и контрольный столбцы в новую таблицу можно переписать без изменений, т.к. в разрешающей строке в первом, третьем и контрольном столбцах стоят нули. Записываем полученные данные в таблицу. Осуществляем контроль:

Т.к. элементы контрольного столбца, вычисленные по правилу прямоугольника, равны элементам контрольного столбца, вычисленные суммированием элементов по строке, то полученная таблица составлена верно. Выбранному разрешающему элементу соответствовала переменная , следовательно, переменную записываем в базис.

Т.к. все строки побывали разрешающими и система приведена к единичному базису, то выписываем ответ:

Ответ: .

Задание 1.117. Решить систему линейных уравнений методом Жордана – Гаусса.

1) 2)

3) 4)

5)