Практическое занятие 6 Обратная матрица. Вычисление и свойства обратной матрицы

, , где ─ определитель, получаемый из матрицы А путем вычеркивания i-ой строки j-го столбца (алгебраическое дополнение элемента a_ij матрицы A).

Пример 6.1. Найти , если .

Решение: 1) .

2) , , , .

3) .

Решить задачи:

1.99. Обратной к матрице является матрица

1.100. Обратной к матрице является матрица

1.101. Обратной к матрице является матрица

1.102. Обратной к матрице является матрица

1.103. Найдите А^–1, если .

1.104. Найдите А^–1, если .

1.105. Решите матричное уравнение: .

Практическое занятие 7 Решения систем линейных уравнений матричным методом

1.7. Матричный метод решения систем линейных уравнений

Для систем трех линейных уравнений с тремя неизвестными

введем следующие обозначения:

, .

В этих обозначениях система уравнений примет вид: .

Если определитель матрицы отличен от нуля, то она имеет обратную матрицу , которая может быть вычислена по следующей формуле:

, где ─ определитель, получаемый из матрицы А путем вычеркивания i-ой строки j-го столбца (алгебраическое дополнение элемента a_ij матрицы A).

Умножим обе части матричного уравнения слева на :

- решение системы.

Пример 7.1. Записать систему в матричной форме и решить ее средствами матричного исчисления.

Решение: Запишем систему уравнений в матричном виде:

Решим систему матричным методом. Введем некоторые обозначения:

, , .

Так как определитель матрицы отличен от нуля, то она имеет обратную матрицу . Решение системы найдем по формуле: .

Таким образом, для нахождения решения нужно сначала найти матрицу, обратную матрице . Она находится следующим образом:

, где ─ соответствующие алгебраические дополнения матрицы .

; ;

; ;

; ;

; ;

;

;

.

, , значит, , , .

Ответ: ; ; .

Решить задачи:

1.106. Решить ее средствами матричного исчисления:

1.107. Решить ее средствами матричного исчисления:

1.108. Решить ее средствами матричного исчисления:

1.109. Решить ее средствами матричного исчисления.

Практическое занятие 8 Ранг матрицы. Определение ранга матрицы

Рассмотрим матрицу размера :

.

Выделим в ней строк и столбцов ( ). Из элементов, стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов, составим определитель го порядка. Все такие определители называются минорами этой матрицы.

Определение. Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля, называется рангом матрицы. Обозначается , , .

Минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным. У матрицы может быть несколько базисных миноров.

Свойства ранга матрицы.

1. При транспонировании матрицы ее ранг не меняется.

2. Если исключить из матрицы нулевой ряд, то ранг матрицы не изменится.

3. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы.

Задачи.

1.110. Найти ранг матриц:

1. .

3.

2. .

4. .

5. . 6.

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12.