Практические занятия 3 Определители 4-го и более высоких порядков. Вычисление и свойства определителей 4-го и более высоких порядков

Минором некоторого элемента определителя n–го порядка называется определитель (n-1)–го порядка, полученный из исходного путем мысленного вычеркивания строки и столбца на пересечении которых находится выбранный элемент. Обозначается .

Например, если , то , .

Алгебраическим дополнением элемента определителя называется его минор, взятый со знаком «плюс», если сумма – четное число, и со знаком «минус», если эта сумма нечетная. Обозначается .

Пример 1. Вычислить определитель матрицы .

Решение: Для разложения определителя обычно выбирают тот ряд, где есть нулевые элементы, т. к. соответствующие им слагаемые в разложение будут равны нулю.

.

Решить задачи:

1.41. Определитель равен…

1.42. Определитель равен…

1.43. Определитель равен…

В задачах 1.44.- 1.52 требуется вычислить определители четвёртого порядка.

1.44. . 1.45.

1.46. . 1.47. .

1.48. . 1.49. .

1.50. . 1.51. .

1.52.

Практическое занятие 4 Решение систем линейных уравнений методом Крамера

1) Правило Крамера решения систем линейных уравнений второго порядка.

Рассмотрим систему:

,где

- главный определитель;

, - вспомогательные определители. Они получаются заменой в главном определителе колонки коэффициентов при х (₁) и при y (₂) колонкой свободных членов.

Решение системы по правилу Крамера имеет вид:

.

Пример 4.1. Решить систему:

Решение: . Система имеет единственное решение.

Ответ:

Пример 4.2. Решить систему:

Решение:

Система имеет бесчисленное множество решений .

Пример 4.3. Решить систему:

Решение:

Система не имеет решений.

Решить задачи:

1.53.Решить систему:

1.54.Решить систему:

1.55.Решить систему:

1.56.Решить систему:

1.57.Решить систему:

1.58. Решить систему

1.59. Решить систему

1.60. Определить, при каких значениях а и b система уравнений

1) имеет единственное решение; 2) не имеет решений; 3) имеет бесконечно много решений.

1.61. Определить, при каком значении а система однородных уравнений

имеет ненулевое решение.

2) Однородная система двух уравнений первой степени с тремя неизвестными

Пусть дана система двух однородных уравнений

тремя неизвестными х, у, z. Введём обозначения:

;

Если хотя бы один из определителей _{1 ,} _{2 ,} ₃ , не равен нулю, то все решения системы будут определяться по формулам х =₁t _, y =₂t _, z =₃t _, где t — произвольное число. Каждое отдельное решение получается при каком-либо определённом значении t.

Для практики вычислений полезно заметить, что определители _1, _2, ₃, получаются при помощи поочерёдного вычёркивания столбцов таблицы:

.

Если все три определителя _1, _2, ₃, равны нулю, то коэффициенты уравнений системы пропорциональны. В этом случае одно из уравнений системы есть следствие другого и система фактически сводится к одному уравнению. Такая система, естественно, имеет бесконечно много решений; чтобы получить какое-нибудь из них, следует двум неизвестным придать произвольно численные значения, а третье найти из уравнения.

1.62. Найти все решения каждой из следующих систем уравнений:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

11) 12)