Практические занятия 17 Самостоятельное решение задач

1. Найти длину вектора

1) 2) 1 3) 0 4)

2. Скалярное произведение векторов и равно …

1) (15; 0; –8) 2) 7 3) 9 4) 23

3. При каких значениях параметров и векторы и будут коллинеарными?

1) 2) 3) 4)

4. Найти смешанное произведение векторов , и

1) 40 2) 14 3) –16 4) 16

5. Найти косинус угла между векторами и

1) 0,2 2) 0,3 3) 0,4 4) 0,5

6. Найти площадь треугольника АВС, если ; ; .

1) 2) 3) 4)

7. Разложение вектора по базису и , при –1) и равно…

1) 2) 3) 4)

8. Укажите соответствие между парой из векторов = (0; 1; 1), =(–3; 2; –1), =(6; –4; 2) и утверждениями об их взаимном расположении.

1) и 2) и 3) и

Ответы:

А) векторы коллинеарные (противоположно направленные)

Б) векторы коллинеарные (сонаправленные)

В) угол между векторами острый

Г) угол между векторами тупой, неразвернутый

Ответы:

1.	2.	3.	4.
	7		40

5.	6.	7.
0,5

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

2.1. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Практические занятия 17

Уравнение прямой на плоскости.

Основные теоретические сведения.

1) - каноническое уравнение прямой, проходящей через заданную точку A₁(x₁, y₁), параллельно вектору .

- направляющий вектор.

2) - уравнение прямой, проходящей через 2 заданные точки A(x₁, y₁), A(x₂, y₂).

3) y-y₁=k(x-x₁) уравнение пучка прямых с центром A(x₁, y₁) и угловым коэффициентом k.

4) y=kx+b уравнение прямой с угловым коэффициентом.

5) A(x-x₁)+B(y-y₁)=0 уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору ( - нормаль прямой).

После упрощения последнего уравнения получаем:

Ax+By+C=0 - общее уравнение прямой, где C=-(Ax₁+By₁).

Угловой коэффициент прямой находим по формуле .

Пример 1. Даны вершины треугольника . Найти:

1) уравнение высоты, опущенной из вершины ;

2) точку пересечения высоты и стороны ;

3) точку пересечения медиан треугольника .

; ; .

Решение: 1) Составим уравнение высоты , проходящей через точку перпендикулярно вектору :

;

,

.

Ответ: .

2) Составим уравнение стороны :

,

,

,

.

Найдем точку пересечения высоты и стороны , для чего решим следующую систему уравнений:

Ответ: .

3) Найдем середину стороны :

, .

, .

Составим уравнение прямой проходящей через точку и точку :

,

,

,

.

Найдем середину стороны :

, .

, .

Составим уравнение прямой проходящей через точку и точку :

,

,

,

.

Найдем точку пересечения найденных медиан:

Ответ: .

Решить задачи:

2.1. Даны две точки А (3; -1) и В (2; 1). Определить координаты точки М, симметричной точки А относительно точки В.

2.2. Даны три вершины параллелограмма А (3; -5), В (5; -3), С (-1; 3). Определить четвертную вершину D, противоположную В.

2.3. Отрезок, ограниченный точками А (1; 3) и В (4; 3) разделен на три части. Определить координаты точек деления.

2.4. (Устно) Определить, какие из точек М1 (3; 1), М2 (2; 3), М4 (-3; -3), М5 (3; -1), М6 (-2; 1), лежали на прямой 2х – 3у – 3 = 0 и какие не лежат на ней.

2.5. Определить точки пересечения прямой 2х – 3у – 12 = 0 с координатными осями и построить эту прямую на чертеже.

2.6. Даны уравнения двух сторон параллелограмма 8х + 3у +1 = 0, 2х + у – 1=0, и уравнение одной из его диагоналей 3х + 2у + 3 = 0. Определить координаты вершин этого параллелограмма.

2.7. (Устно) Определить угловой коэффициент и отрезок в отсекаемый на оси ОУ, для каждой из прямых:

1. 5х – у + 3 = 0, 4) 3х + 2у = 0, 3) 5х + 3у + 2 = 0.

2.8. Даны уравнения двух сторон прямоугольника 2х – 3у + 5 = 0, 3х+ 2у – 7 = 0 и одна из его вершин А (2; -3). Составить уравнения двух других сторон этого прямоугольника.

2.9. Найти точку Q симметричную точке P (-5; 13) относительно прямой 2х –3у – 3 = 0.

2.10. Составить уравнения прямых, проходящих через вершины треугольника А (5; 4), В (-1; 3), С (-3; -2) параллельно противоположным сторонам.

2.11. Даны вершины треугольника А (1; -1), В (-2; 1) и С (3; 5). Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины А на медиану, проведенную из вершины В, длину этой медианы .

Задание домой: Уравнение прямой линии. Расстояние от точки до прямой.

2.12. Даны две смежные вершины на параллелограмма А (-3; 5), В (1; 7) и точка пересечения его по диагонали М (1; 1). Определение две другие вершины.

2.13. Даны уравнения двух сторон прямоугольника х – 2у = 0, х – 2у + 15 = 0 и уравнение одной из его диагоналей 7х + у - 15 = 0. Найти вершины прямоугольника.

2.14. Найти проекции точки Р (-6; 4) на прямую 4х – 5у + 3 = 0.

2.15. Даны вершины треугольника М1 (2; 1), М2 (-1; 1), М3 (3; 2). Составить уравнения его высот.

2.16. Стороны треугольника даны уравнениями 4х – у – 7 = 0, х + 3у – 31 = 0,

х + 5у – 7 = 0. Определить точку пересечения его высот.

Практические занятия 18

Взаимное расположение прямых на плоскости

Условие паралельности и перпендикулярностипрямых.

Угол между двумя прямыми.

Угол между двумя прямыми равен углу между их нормалями или направляющими векторами (см. скалярное произведение).

Если - угловые коэффициенты двух прямых, то:

при - прямые параллельны,

при - прямые перпендикулярны.

2.17. Даны уравнения двух сторон прямоугольника 5х + 2у – 7 = 0, 5х + 2у – 36 = 0 и уравнение его диагонали 3х + 7у – 10 = 0. Составить уравнения остальных сторон и второй диагонали этого же прямоугольника.

2.18. Точка А (-4; 5) является вершиной квадрата, диагональ которого лежит на прямой 7х – у + 8 = 0. Составить уравнения сторон и второй диагонали этого квадрата.

2.19. Составить уравнения сторон прямоугольника АВС, если даны одна из его вершин А (1; 3) и уравнения двух медиан х – 2у + 1 = 0 и у – 1 = 0.

2.20. Определить, при каком значении а прямая (а + 2) х + ( – 9) у + 3 - 8а + 5 = 0 1) параллельно оси общие, 3) проходит через начало координат. В каждом случае написать уравнение прямой.

2.21. Определить, при каких значениях а и b две прямые ах – 2у – 1 = 0, 6х – 4у – b = 0 1) имеют одну общую точку, 2) параллельны, 3) совпадают.

2.22. Точка А (2; 5) является вершиной квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой х – 2у – 7 = 0. Вычислить площадь этого квадрата.

2.23. Две стороны квадрата лежат на прямых 5х – 12 – 65 = 0, 5х – 12 + 26 = 0. Вычислить его площадь.

2.24. Даны две смежные вершины квадрата А (2; 0) и В (-1; 4). Составить уравнения его сторон.

2.25. Даны вершины треугольника А (-10; -13), В (-2; 3), С (2; 1). Вычислить длину перпендикуляра, опущенного из вершины С.

2.26. Составить уравнения прямых, параллельных прямой 3х – 4у – 10 = 0 и отстоящих от нее на расстояние d = 3. Задание домой: окружность и эллипс.

2.27. Даны две противоположные вершин квадрата А (-1; 3) и С (6; 2). Составить уравнения его сторон.

2.28. Составить уравнения сторон треугольника, если одна из его вершин В (-4; -5) и уравнения двух высот 5х + 3у – 4 = 0 и 3х + 8у + 13 = 0.

2.29. Определить, при каких значениях m и n две прямые mх + 8у + n = 0, 2х + mу – 1 = 0 1) параллельны, 2) совпадают, 3) перпендикулярны.

2.30. Даны уравнения двух сторон прямоугольника 3х – 2у – 5 = , 2х + 3у + 7 = 0 и одна из его вершин А (-2; 1). Вычислить площадь прямоугольника.

2.31. Составить уравнения биссектрис угла образованного двумя пересекающимися прямыми х – 2у – 3 = 0, 2х + 4у + 7 = 0.

2.32. Даны вершины треугольника АВС: А(-3, 1), В(0, 4), С(2, 5). Написать уравнение высоты, проведенной из вершины С к стороне АВ.

2.33. Стороны треугольника АВС заданы уравнениями:

x+y=2 (AB), 2x-y=-2 (AC), x-2y=2 (BC).

Написать уравнение высоты, проведенной из вершины А к стороне ВС.

2.34. Даны вершины треугольника АВС: А(4, -2), В(3, -1), С(2, 6). Написать уравнение средней линии ΔАВС, параллельной стороне АС.

2.35. Стороны треугольника АВС заданы уравнениями:

x+y-3=0 (AB), y-2x=0 (AC), x-y-1=0 (BC).

Написать уравнение прямой, проходящей через вершину А параллельно стороне ВС.

2.36. Даны вершины четырехугольника A(0, 6), B(7,12), C(6, 2), D(2, 2). Найти точку пересечения его диагоналей.

2.37. Даны вершины треугольника АВС: А(0, 4), В(-3, 2), С(2, 6). Написать уравнение медианы, проведенной из точки В.

2.38. Даны вершины треугольника АВС: А(2, 4), В(-2, 5), С(-1, 2). Написать уравнение высоты, проведенной из вершины А к стороне ВС.

2.39. Даны вершины трапеции A(-2,-3), B(-3, 1), C(7, 7), D(3, 0). Написать уравнение средней линии трапеции.

2.40. В треугольнике MNP написать уравнение медианы, проведенной из вершины М, если известно, что М(4, -1), N(2, 3), P(-4, -2).

2.41. Стороны треугольника лежат на прямых: x-y=-2 (AB), x+y=1 (BC), x-2y=1 (AC). Написать уравнение высоты, опущенной из вершины В на сторону АС.