5.5.Перпендикулярность прямых и плоскостей

5.5.1.Перпендикуляр к плоскости

Если плоскость – частного положения, то перпендикуляр к ней тоже прямая частного положения: перпендикуляр к проецирующей плоскости – линия уровня, к плоскости уровня – проецирующая прямая (рис.39). Проведение нормали к плоскости не требует каких-либо построений.

Если плоскость – общего положения, то перпендикуляр к ней тоже прямая общего положения и его построение основывается на следующем положении.

Определение: прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна к каждой из двух пересекающихся прямых, лежащих в плоскости. Если пересекающиеся прямые – линии уровня плоскости, то по теореме проецирования прямого угла в горизонтальную плоскость проекций проецируется в натуральную величину прямой угол между перпендикуляром n и горизонталью, а во фронтальную - прямой угол между перпендикуляром и фронталью: n₁h₁ и n₂  f₂ .

Задача. Из точки D опустить перпендикуляр на плоскость  (АВС) и найти его основание (рис.40).

Алгоритм решения

1. Проводим в плоскости  произвольные линии уровня.

Фронталь плоскости уже имеет-ся – сторона АВ. Горизонталь h проводим через вершину В: В₂ h₂ x₂ , В₁ h₁ 1₁ .

2. Через точку D проводим нормаль к плоскости: D₁ n₁ h₁, D₂ n₂  f₂ .

3. Находим основание перпендикуляра (первая основная позиционная задача):

3а. Заключаем нормаль во фронтально проецирующую плоскость  : ₂ = n₂.

3б. Строим линию l пересечения плоскостей  и  (АВС): l    l₂ = ₂;

l    2₁ l₁ 3₁.

3в. Находим точку пересечения перпендикуляра n с плоскостью  (АВС): К₁ = n₁ l₁ ,

К₂ n₂.

3г. Видимость нормали на П₂ определяем с помощью конкурирующих точек 2 АС и 4 n. Видимость на П₁ такая же, т.к. плоскость  - восходящая.

5.5.2.Плоскость, перпендикулярная прямой

Задача. Через точку А провести плоскость , перпендикулярную прямой l (рис.4

Алгоритм решения

Прямая l – общего положения, следовательно, и плоскость, ей перпендикулярная, тоже общего положения и должна быть задана определителем. Проще всего это можно сделать, задав её проходящими через точку А фронталью и горизонталью, каждая из которых перпендикулярна прямой l, при этом А₁ h₁  l₁ и А₂ l₂  f₂. Плоскость  ( f h )  l .

5.5.3.Взаимно перпендикулярные прямые

Определение – прямые взаимно перпендикулярны, если через каждую из них можно провести плоскость, перпендикулярную другой прямой.

Задача. Из точки А опустить перпендикуляр на прямую l (рис.42).

Алгоритм решения

1. Из точки А проводим плоскость , перпендикулярную прямой l, задав её линиями уровня, перпендикулярными прямой l: А h l и А f  l (см. предыдущую задачу на рис. 41).

2. Находим точку К пересечения прямой l с плоскостью (первая основная позиционная задача):

2а. Заключаем прямую l в плоскость  П₁ : l₁ = ₁ .

2б. Строим линию m пересечения плоскостей  и  :

m₁ = ₁ , 1₂ m₂ 2₂ .

2в. Находим искомую точку К : К ₂ = m₂ l₂ , K₁ l₁.

3.Строим искомый перпендикуляр к прямой l , соединяя точки А и К.